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相关试卷

1、过抛物线 $y^{2} = 6 x$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点， $C$ 在抛物线的准线上，则 $∠ A C B$ 的最大值为；若 $△ A C B$ 为等边三角形，则其边长为.

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2、在 ${(a x - y + z)}^{7}$ 的展开式中，记 $x^{m} y^{n} z^{k}$ 项的系数为 $f (m, n, k)$ ，若 $f (3, 2, 2) = \frac{70}{9}$ ，则 $a$ 的值为.

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3、下列命题正确的是（）

A、若事件A与B相互独立，且 $0 < P (A)$ ， $P (B) < 1$ ，则 $P (A |B) = P (A)$ B、设随机变量X服从正态分布 $N (0, 1)$ ，则 $P (|X| < \frac{1}{2}) = 1 - 2 P (X < \frac{1}{2})$ C、在回归分析中，对一组给定的样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ 而言，当样本相关系数 $|r|$ 越接近1时，样本数据的线性相关程度越强 D、在回归分析中，对一组给定的样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好

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4、已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0), N (0, - \sqrt{2})$ 动点 $M$ 满足直线 $A M$ 和 $B M$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，过坐标原点的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，点 $P$ 在第一象限， $P E ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，连接 $Q E$ 并延长交 $C$ 于点 $G$ ，则（）

A、曲线 $C$ 的方程为： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $△ P Q G$ 为直角三角形 C、 $△ P A N$ 面积最大值为 $2$ D、 $△ P Q G$ 面积最大值为 $\frac{16}{9}$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}, S_{7} = S_{9}$ ，则（）

A、 $S_{16} = 0$ B、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{S_{n}\}$ 中的最大项为 $S_{8}$ D、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列

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6、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 的一条直线与C交于A，B两点，且 $A F_{1} ⊥ A B$ ， $|B F_{2}| = 1$ ，则椭圆长轴长的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、6 D、 $4 + 2 \sqrt{2}$

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7、已知 $1 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根， $i$ 为虚数单位，则 $p + q i =$ （）

A、 $- 2 - 3 i$ B、 $5 + 2 i$ C、 $- 2 + 5 i$ D、 $2 + 5 i$

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - 1 (a \in R)$ 有唯一的极值点 $x_{0}$ ．

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $f (x)$ 的两个零点，记 $A (x_{1}, 0)$ ， $B (x_{2}, 0)$ ， $C (x_{0}, f (x_{0}))$ ．
（i）证明： $x_{0} < f (x_{0})$ ；
（ii）判断 $△ A B C$ 是否可能为直角三角形，并说明理由．

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9、甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投篮的命中率均为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率；

(2)、若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记 $X$ 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 $X$ 的分布列与数学期望；

(3)、若甲单独投篮，规定：首次出现连续 $n (n \in N^{*})$ 次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为 $Y_{n}$ ，随机变量 $Y_{n}$ 的数学期望为 $E (Y_{n})$ ，记 $a_{n} = E (Y_{n})$ ．写出 $a_{n}$ 与 $a_{n - 1} (n \geq 2)$ 的递推关系，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- 2, 0)$ ， $F_{2} (2, 0)$ 、动点 $P$ 满足 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2$ ， $\vec{O Q} = 2 \vec{O P}$ ，记点 $Q$ 的轨迹为曲线 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程：

(2)、已知点 $M (4, 0)$ ， $N (t, 0)$ ，过点 $M$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，设直线 $N A$ ， $N B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $\frac{1}{k_{1}}$ ， $- \frac{1}{k}$ ， $\frac{1}{k_{2}}$ 成等差数列，求 $t$ ．

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11、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 b cos C + 3 c cos B - 5 a cos A = 0$ ．

(1)、求 $cos 2 A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 的内切圆半径为1，求 $△ A B C$ 的面积．

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B C / / A D$ ， $P A = A D = 2 B C = 2 C D$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ， $\vec{B P} = 3 \vec{B F}$ ．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 为 $C$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $b c$ ， $△ A B F_{1}$ 的内切圆与 $A B$ 相切于点 $N$ ，若 $\vec{A B} = 6 \vec{A N}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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14、已知曲线 $y = a x ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 相切，则 $a =$ ．

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15、已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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16、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B ⊥ P A$ ， $P B = 2 P A = 2 a$ ， $P C = b$ ， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $P O = 1$ ，则（）

A、 $P C ⊥$ 平面 $P A B$ B、 $\frac{5}{4 a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ C、三棱锥 $P - A B C$ 体积的最小值为 $\frac{5 \sqrt{3}}{8}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 外接球表面积的最小值为 $\frac{25 π}{2}$

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17、已知函数 $f (x) = ln x^{2} + |x| - \frac{1}{|x|}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、不等式 $f (x) < f (2 - x)$ 的解集为 $(0, 1)$ D、若 $f (a) + f (b) = 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $2$

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18、已知复数 $z = \frac{1 - i}{i}$ ，则（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $- i$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限 D、 $z$ 为方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = ln (2 - \frac{1}{a_{n} + 1}) (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $0 < a_{2026} < \frac{1}{5052}$ B、 $\frac{1}{5052} < a_{2026} < \frac{1}{2027}$ C、 $\frac{1}{2027} < a_{2026} < \frac{1}{2026}$ D、 $\frac{1}{2026} < a_{2026} < \frac{1}{2}$

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20、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $2 sin β = cos (α + β) sin α$ ，则 $\tan β$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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