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相关试卷

1、如图，正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（）.

A、该三棱台的侧面积为 $6 \sqrt{3}$ B、该三棱台的高为 $\sqrt{3}$ C、该三棱台的体积为 $\frac{13 \sqrt{2}}{6}$ D、若点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，则 $A P + C P$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$

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2、已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，则下列说法一定正确的是（）

A、 $z_{1}$ 和 $\bar{z_{1}}$ 在复平面上所对应的点关于实轴对称 B、 $z_{1}^{2} = {|z_{1}|}^{2}$ C、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ D、若 $z_{1}, z_{2}$ 为纯虚数，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数

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3、某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为 $2 \sqrt{3} dm$ （骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（）

A、 $4 {πdm}^{2}$ B、 $\frac{16 π}{3} {dm}^{2}$ C、 $\frac{32 π}{3} {dm}^{2}$ D、 $16 {πdm}^{2}$

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4、在 $△ A B C$ 中， $(a + b) (\sin A - \sin B) = c (\sin C - \sin B)$ ， $a^{2} = b c$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、等边三角形 B、等腰非等边三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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5、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $|\vec{b}| = 4$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、0 B、1 C、8 D、4

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ， $A = 60 °$ ，则角 $C$ 等于（）

A、30° B、60° C、30°或60° D、60°或120°

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7、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $△ O A B$ 的直观图，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、12 B、24 C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $12 \sqrt{2}$

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8、 $\vec{D C} + \vec{A B} - \vec{A C} =$ （）

A、 $\vec{C B}$ B、 $\vec{B C}$ C、 $\vec{A D}$ D、 $\vec{D B}$

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9、已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + \frac{2 x}{x + 2} - \ln n$ ， $n \in N^{*}$ ，设 $f (x)$ 的零点为 $a_{n}$ .

(1)、求 $a_{1}$ 的值；

(2)、证明： $\{a_{n}\}$ 为单调数列，并求 $\{a_{n}\}$ 中的最小项；

(3)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + a_{i}} \leq 2 \sqrt{n} - 1$ .

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10、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = \sqrt{5}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A C = 4$ ， P为棱 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，点Q为 $A B_{1}$ 的中点.

(1)、若 $\vec{A_{1} C_{1}} = 2 \vec{A_{1} P}$ ，
（i）证明： $B C_{1} //$ 平面 $C P Q$ ；
（ii）求直线 $C Q$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 的所成角的余弦值；

(2)、若平面 $C P Q$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $C_{1} P$ 的值.

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11、某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为 $p （ 0 < p < 1 ）$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立．

(1)、记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的极大值点 $p_{0}$ ．

(2)、工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的 $p_{0}$ 作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a cos B - b cos A = b + c, D$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{7}, A D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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13、已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4 ， |\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为．

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14、已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} - 2 |x| - 2 |y| + 1 = 0$ ，曲线 $L : y = k |x| - 3$ ，则（）

A、 $C$ 的周长为 $8 π$ B、当 $k = \frac{3}{4}$ 时， $L$ 与 $C$ 有且只有2个公共点 C、当 $L$ 与 $C$ 有且只有6个公共点时，则 $k$ 的取值集合为 $\{2, 3\}$ D、当 $L$ 与 $C$ 有8个公共点时， $k$ 的取值范围为 $(\frac{15}{8}, 3) \cup (3, + \infty)$

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15、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : x^{2} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的两个焦点，点 $A (\frac{1}{2}, \sqrt{3})$ 在椭圆 $C$ 上， $B$ 是椭圆 $C$ 上的动点， $B N ⊥ x$ 轴，垂足为 $N$ ，且点 $P$ 为 $B N$ 的中点， $B M ⊥ y$ 轴，垂足为 $M$ ，且点 $Q$ 为 $B M$ 的中点，则（）

A、 $|A F_{1}| + |A F_{2}| = 4$ B、 $|A P|$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $△ P O A$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ D、 $△ P O Q$ 面积的最大值为 $\frac{3}{8}$

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16、将函数 $f (x) = \sin ω x + 1 (ω > 0)$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x) = \cos ω x + 1$ 的图象．设函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，若 $φ$ 的最小值为 $\frac{π}{6}$ ，则（）

A、 $ω = 3$ B、直线 $x = \frac{π}{2}$ 是 $h (x)$ 图象的一条对称轴 C、点 $(- \frac{π}{12}, 2)$ 是 $h (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $h (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上单调递增

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17、已知函数 $f (x) = |ln x^{2}| - m$ 的四个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，恰好成递增的等差数列，则m的值为（）

A、 $ln 3$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} ln 3$

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18、已知复数 $z ＝ \frac{2 - i}{a + i}$ 为纯虚数，则 $|2 a + \sqrt{2} i| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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19、已知实数 $x, y$ 满足方程 $\sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}} = x - 1$ ，则 $\frac{y + 2}{x}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{3}, 4]$ B、 $[\frac{4}{3}, 2]$ C、 $[\frac{4}{3}, + \infty)$ D、 $[2, 4]$

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20、如图在直角梯形ABCD中，已知 $\vec{D E} = \vec{E C}$ ， $\vec{B F} = \frac{1}{2} \vec{F C}$ ， $A B = 5, A D = 3$ ， $C D = 2$ ，则 $(\vec{A E} + \vec{A F}) \cdot \vec{A C} =$ （）．

A、22 B、24 C、20 D、18

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