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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} + \sin x - a x, a \in R$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、 $\forall x \in [0, + \infty)$ ， $f (x) \geq \cos x$ 成立，求实数a的取值范围；

(3)、若 $a = 1, x \in [- 2 π, + \infty)$ 时， $y = m$ 与 $y = f (x)$ 的图象有三个交点，横坐标分别为 $x_{p}$ ， $x_{q}$ ， $x_{r}$ （ $x_{p} < x_{q} < x_{r}$ ），求证： $2 x_{q} < x_{p} + x_{r}$ .

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = {sin}^{2} θ, a_{2} = {cos}^{2} θ, S_{4} = 4$ ，其中 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、求公差 $d$ 及 $θ$ 的值；

(2)、设数列 $b_{n} = a_{n} sin \frac{n π}{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{20}$ .

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3、为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表：
男性
女性
需要
40
20
不需要
160
280

(1)、在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为 $P$ ，求 $P$ 的估计值；

(2)、完成抽样数据列联表，并根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关；并指出该调查中更优的抽样方法.
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ ，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 1 ， \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} = \frac{1}{2}$ ，则 $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4}$ 的值为.

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5、已知函数 $f (x) = (m \cdot 2^{x} + 2^{- x}) \cdot x$ 为偶函数，则 $m$ 的值为.

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6、已知函数 $f (x) = {sin}^{k} (2 x) + {cos}^{k} (3 x), k \in N^{*}$ ，则（）

A、当 $k = 2$ 时， $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、不存在整数 $k$ ，使得 $f (x)$ 的最大值为2 D、当 $k = 2 n + 1, n \in N^{*}$ 时， $f (x)$ 在 $[- π, 3 π]$ 上恰有 $12$ 个零点

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7、已知 $P (x_{0}, y_{0})$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 上一点，且 $x_{0} > 0$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是 $C$ 的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，下列说法正确的有（）

A、 $C$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ B、若 $|O P| = |O F_{1}|$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为1 C、若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} < 0$ ，则 $y_{0}$ 的取值范围是 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于A，B两点，若 $△ A F_{1} B$ 为等腰直角三角形，且 $∠ A F_{1} B = 90^{\circ}$ ，则 $l$ 的斜率为 $\pm \sqrt{2}$

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8、已知 $b > 0$ ， $e^{b + \ln 2} + 2 \ln a e = 4$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $b < \ln \frac{1}{a}$ B、 $e^{b + \ln 2} > 4 - 2 a$ C、 $a e^{b} > 1$ D、 $b + a - 1 > 0$

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9、平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $y = x^{2} + m x - 3, m \in R$ 与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在 $y$ 轴上截得的弦长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、5

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10、已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为 $28 \sqrt{7}$ ，则其表面积为（）

A、148 B、 $68 + 20 \sqrt{7}$ C、168 D、80

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11、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\sqrt{2} \vec{b}$ B、 $- \sqrt{2} \vec{b}$ C、 $\vec{b}$ D、 $- \vec{b}$

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12、点 $M$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上， $F$ 为 $C$ 的焦点， $M F ⊥ x$ 轴，过 $M$ 且与 $x$ 轴平行的直线与 $C$ 的准线交于点 $N, △ M N F$ 的面积2，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、已知 $a$ 、 $b \in R$ ，集合 $A = \{1, \frac{a}{b}\}$ ， $B = \{a, b\}$ ，若 $A \cap B = \{2\}$ ，则 $b =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $2$ 或 $1$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ .对任意 $x_{0} \in R$ ，定义集合 $D (x_{0}) = {d \in R ∣ f (x_{0} + d) > f (x_{0})}$ .

(1)、若当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 1 - x$ ，求 $D (- 1)$ ；

(2)、设 $f (x)$ 满足：①若 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则 $D (x_{2}) \subseteq D (x_{1})$ ；②当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < f （ 0 ）$ .
（i）证明： $f （ 0 ） \geq 1$ ；
（ii）证明： $f (x)$ 在区间 $(0, + ∞)$ 单调递增.

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于0的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $P O$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$ .
（i）若 $△ P Q R$ 的面积是 $△ P F O$ 的面积的3倍，求 $l$ 的方程；
（ii）求 $t a n ∠ P Q R$ 的最小值.

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16、设整数 $N \geq 2$ ，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 $N$ 次.当且仅当投中1次时或 $N$ 次均未投中时，停止练习.设该同学每次投中的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，各次投中与否相互独立.记 $X$ 为停止练习时该同学的投篮次数.

(1)、当 $N = 4$ ， $p = \frac{1}{3}$ 时，求 $X$ 的分布列；

(2)、设 $k$ ， $m$ 均为自然数.
（i）当 $k \leq N - 1$ 时，求 $P (X > k)$ ；
（ii）当 $k + m \leq N - 1$ 时，证明： $P (X > k + m ∣ X > k) = P (X > m)$ .

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17、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $c o s B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求 $c o s A$ ；

(2)、设 $D$ ， $E$ 两点满足： $D$ 在 $B A$ 的延长线上， $D E ∥ B C$ ， $A E ⊥ A C$ .若 $D E = \sqrt{6}$ ，求 $C E$ .

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $A C = B C$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $D E ∥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、设 $C C_{1} = 2$ ，直线 $D E$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成的角为 $4 5^{∘}$ ，求直线 $D E$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离.

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19、设实数 $q$ 满足：存在数列 ${a_{n}}$ ，使得对于任意 $n \in N^{*}$ ，均有 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{3 n} = n^{2} + n$ ，且 ${a_{n}}$ 中有某连续9项 $a_{k}, a_{k + 1}, ⋯, a_{k + 8}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则 $q$ 的最大值为.

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20、已知 $f (x) = 2 s i n (a x + θ)$ $(a \in Z, 0 \leq θ < 2 π)$ 是偶函数， $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 单调递增，则 $θ =$ ， $f (\frac{2 π}{3}) =$ .

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	男性	女性
需要	40	20
不需要	160	280

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879