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相关试卷

1、函数 $f (x) = e^{2} x + \ln x$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0, \frac{1}{e^{3}})$ B、 $(\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e^{2}})$ C、 $(\frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{e}, 1)$

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2、若 $\forall x > 0$ ， ${(t - 4)}^{2} < x$ ，则实数 $t =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x + 1, x < 0, \\ x + b, x > 0 \end{array}$ 是奇函数，则 $a - b =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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4、设甲： $\ln x^{2} > 0$ ，乙： $(x + 2) (x - 3) > 0$ ，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、设集合 $A = \{x |x^{2} \leq 3\}$ ， $B = A \cap N$ ，则 $B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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6、设命题 $p : \exists x > 0$ ， $x^{3} > x^{2} + 2$ ，则 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x^{3} \leq x^{2} + 2$ B、 $\forall x > 0$ ， $x^{3} > x^{2} + 2$ C、 $\forall x > 0$ ， $x^{3} \geq x^{2} + 2$ D、 $\exists x > 0$ ， $x^{3} \leq x^{2} + 2$

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7、如图，过椭圆的左右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 分别作长轴的垂线 $l_{1}, l_{2}$ 交椭圆于 $A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}$ ，将 $l_{1}, l_{2}$ 两侧的椭圆弧删除再分别以 $F_{1}, F_{2}$ 为圆心，线段 $F_{1} A_{1}, F_{2} A_{2}$ 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在 $l_{1}, l_{2}$ 之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在 $l_{1}, l_{2}$ 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为 ${(x \pm \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 1$ ．
（1）求椭圆段的方程；
（2）已知直线l过点 $F_{1}$ 与“椭圆帽”的交于两点为M，N，若 $\vec{F_{1} M} + 2 \vec{F_{1} N} = \vec{0}$ ，求直线l的方程；
（3）已知P为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l经过点 $F_{1}$ ，与“椭圆帽”交于两点为M，N，若 $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{M N} = 0$ ，求 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围．

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8、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直， $A C = 2, B C = 2 \sqrt{3}, A B = A A_{1} = 4$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、求 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $C D B_{1}$ 所成角的正弦值.

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9、过椭圆 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ 上一动点P分别向圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 作切线，切点分别为M，N，则 $| P M |^{2} + 2 | P N |^{2}$ 的最小值为．

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10、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴垂线交双曲线于 $A, B$ 两点， $△ F_{1} A B$ 为正三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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11、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{2}, 0)$ ，四条直线 $x = \pm a$ ， $y = \pm b$ 所围成的区域面积为 $4 \sqrt{3}$ .
（1）求 $C$ 的方程；
（2）设过 $D (0, 3)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ，若以弦 $A B$ 为直径的圆恰好经过原点 $O$ ，求直线 $l$ 的方程.

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12、已知斜率为1的直线l与双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 相交于B，D两点，且BD的中点为 $M (1, 3)$ ，则C的离心率是．

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13、已知 $P$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 y = 0$ 上一动点，若直线 $l : 3 x - 4 y - 12 = 0$ 上存在两点 $A, B$ ，使得 $∠ A P B = \frac{π}{2}$ 能成立，则线段 $A B$ 的长度的最小值是（）

A、 $\frac{18}{5}$ B、 $\frac{22}{5}$ C、 $\frac{43}{5}$ D、 $\frac{98}{5}$

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14、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为 $K_{P M}, K_{P N}$ ，当 $K_{P M} \cdot K_{P N} = - \frac{1}{4}$ 时，则椭圆方程为（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$

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15、已知F₁ ， F₂是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，P为C上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3} ，$ 若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积是 $6 \sqrt{3} ，$ 则 $b =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、2

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16、如图所示，空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在OA上，且 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， N为BC中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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17、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{m}$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n}$ ，则能使 $l // α$ 的是（）

A、 $\vec{m} = (1, 2, 1)$ ， $\vec{n} = (1, 0, 1)$ B、 $\vec{m} = (0, 1, 0)$ ， $\vec{n} = (0, 3, 0)$ C、 $\vec{m} = (1, - 2, 3)$ ， $\vec{n} = (- 2, 2, 2)$ D、 $\vec{m} = (0, 2, 1)$ ， $\vec{n} = (- 1, 0, - 1)$

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ ，不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(2, 3)$ ．

(1)、求 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、在 $[0, 1]$ 上，函数 $f (x)$ 的图象总在一次函数 $y = 2 x + m$ 的图象的上方，求实数 $m$ 的取值范围；

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19、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 4 x - 12 \leq 0\}$ ， $B = \{x |a - 1 < x < 3 a + 2\}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围

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20、已知 $f (x) = \{\begin{cases} a x - 2, x \leq a \\ \frac{1}{x - a}, x > a \end{cases}$ ，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的最大值为.

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