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相关试卷

1、复数 $z$ 满足 $z = \frac{3 + 4 i}{i}$ ，则 $z$ 的虚部为， $| z | =$ .

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2、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）

A、若 $a^{2} + c^{2} - b^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A > c o s B$ C、若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形或直角三角形 D、若 $c = a c o s B$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形

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3、已知点 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心，则下列说法中正确的有（）

A、 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ B、 $\vec{A O} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ C、 $\vec{A O} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ D、 $\vec{O B} + \vec{O C} = \frac{1}{6} (\vec{A B} + \vec{A C})$

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4、已知复数 $z$ 的共轨复数为 $\bar{z}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z + \bar{z}$ 一定是实数 B、 $z \cdot \bar{z}$ 一定是实数 C、 $z - \bar{z} -$ 定是纯虚数 D、 $z^{2} = | z |^{2}$

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $(\vec{b} - \vec{a}) / / \vec{b}$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 20$ D、与向量 $\vec{a}$ 同向的单位向量是 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

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6、在等边三角形 $A B C$ 的三边上各取一点D，E，F，满足 $D E = 3$ ， $D F = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ D E F = 90 °$ ，则三角形 $A B C$ 的面积的最大值是（）

A、 $7 \sqrt{3}$ B、 $13 \sqrt{3}$ C、 $\frac{7}{3} \sqrt{3}$ D、 $\frac{13}{3} \sqrt{3}$

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7、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对边分别为 $a, b, c$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $b = 2$ ， $c = 8$ ，则 $\frac{a - 2 b + c}{s i n A - 2 s i n B + s i n C}$ 值等于（）

A、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{39}}{3}$ D、 $\frac{52 \sqrt{3}}{3}$

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8、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 为非零平面向量，则下列说法正确的是（）

A、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\exists λ \in R$ ， $\vec{b} = λ \vec{a}$ D、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$

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9、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，它们的夹角为 $60 °$ ，那么 $| \vec{a} - 3 \vec{b} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{13}$ D、4

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10、已知向量 $\vec{a} = (3, 1)$ ， $\vec{b} = (2 k - 1, k)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $- 1$ C、 $- 35$ D、 $\frac{3}{5}$

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11、已知向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (m, - 6)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、3 C、8 D、12

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12、在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{C A}$ 等于（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{b} - \vec{a}$ D、 $\vec{a} - \vec{b}$

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13、已知复数 $z = (m + 2) + (m + 1) i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- \infty, - 2) ∪ (- 1, + \infty)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2)$

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14、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = \frac{e}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若方程 $f (x) + a = 0$ 有三个不同的实根，求 $a$ 的取值范围．

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15、 2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，红星机械厂积极响应决定投资生产 $A$ 产品．经过市场调研，生产 $A$ 产品的固定成本为300万元，每生产 $x$ 万件，需可变成本 $p (x)$ 万元，当产量不足50万件时， $p (x) = \frac{1}{120} x^{3} + 160 x$ ；当产量不小于50万件时， $p (x) = 201 x + \frac{6400}{x} - 1460$ ．每件 $A$ 产品的售价为200元，通过市场分析，生产的 $A$ 产品可以全部销售完．

(1)、求利润函数的解析式；

(2)、求利润函数的最大值．

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16、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{6} = 7$ ， $S_{6} = 27$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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17、已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 3^{n} - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${2 n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18、已知函数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 4$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $P (2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值．

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19、已知函数 $f (x) = l n x - 2 a x + 1$ ，若存在 $x > 0$ ，使得 $f (x) \geq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围．

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20、函数 $f (x) = a l n x + b x^{2} + x$ 在 $x = 1$ 处取得极大值-1，则 $a - b =$ .

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