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相关试卷

1、已知 $m$ ， $n$ 为异面直线，直线 $l$ 与 $m$ ， $n$ 都垂直，则下列说法正确的是（）

A、若 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ B、存在平面 $α$ ，使得 $l ⊥ α$ ， $m \subset α$ ， $n ∥ α$ C、有且只有一对互相平行的平面 $α$ 和 $β$ ，其中 $m \subset α$ ， $n \subset β$ D、至多有一对互相垂直的平面 $α$ 和 $β$ ，其中 $m \subset α$ ， $n \subset β$

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2、下列四个选项中，化简正确的是（）

A、 $\cos (- 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ B、 $\cos 15^{\circ} \cos 105^{\circ} + \sin 15^{\circ} \sin 105^{\circ} = 0$ C、 $\cos (α - 35 °) \cos (25^{\circ} + α) + \sin (α - 35^{\circ}) \sin (25^{\circ} + α) = \frac{1}{2}$ D、 $\sin 14^{\circ} \cos 16^{\circ} + \sin 76^{\circ} \cos 74^{\circ} = \frac{1}{2}$

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3、已知复数z满足 $|z - 1 + i| = 3$ ，则（）

A、复数z虚部的最大值为2 B、复数z实部的取值范围是 $[- 2, 4]$ C、 $|z + 1 + i|$ 的最小值为1 D、复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限

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4、如图所示，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = C D = 1$ ， $B D = \sqrt{2}$ ， $B D ⊥ C D$ ，将四边形 $A B C D$ 沿对角线BD折成四面体 $A^{'} - B C D$ ，使平面 $A^{'} B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $A^{'} C ⊥ B D$ B、 $∠ B A^{'} C = 90^{\circ}$ C、 $C A^{'}$ 与平面 $A^{'} B D$ 所成的角为 $30^{\circ}$ D、四面体 $A^{'} - B C D$ 的体积为 $\frac{1}{3}$

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5、设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若 $(\vec{D B} + \vec{D C} - 2 \vec{D A}) \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形

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6、若 $\frac{1 + \cos 2 α}{\sin 2 α} = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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7、已知 $A$ 、 $B$ 是球 $O$ 的球面上的两点， $∠ A O B = 90^{\circ}$ ，点 $C$ 为该球面上的动点，若三棱锥 $O - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{4}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为

A、 $16 π$ B、 $36 π$ C、 $64 π$ D、 $144 π$

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8、设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内的对应点关于实轴对称， $z_{1} = 1 + i$ ，则 $z_{1} z_{2} =$

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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9、 $\sin 2 \cos 3$ 的值（）

A、小于0 B、大于0 C、等于0 D、不存在

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(- \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，记以 $O A, O B$ 为直径的圆的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，当 $k$ 为何值时， $S_{1} + S_{2}$ 为定值．

(3)、在（2）的条件下，设 $l$ 不过椭圆中心和顶点，且与 $x$ 轴交于点 $M$ ，点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $D$ ，直线 $B D$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，求 $△ O M N$ 周长的最小值．

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11、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，
侧棱 $A A^{'}$ 的长为2，且 $∠ A^{'} A B = ∠ A^{'} A D = 120 °$ ，在线段 $A A^{'}$ 、 $B B^{'}$ 、 $C C^{'}$ 、 $D D^{'}$ 分别取 $A^{″}$ 、 $B^{″}$ 、 $C^{″}$ 、 $D^{″}$ 四点且 $A A^{″} = \frac{1}{4} A A^{'}$ ， $B B^{″} = \frac{1}{2} B B^{'}$ ， $C C^{″} = \frac{3}{4} C C^{'}$ ， $D D^{″} = \frac{1}{2} D D^{'}$ .求：

(1)、证明： $A^{″} B^{″} ∥ C^{″} D^{″}$ ；

(2)、 $A C^{'}$ 的长；

(3)、直线 $B D^{'}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值.

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12、DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT4．对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同．某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高、低廉三个类别进行数据统计如下表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为为高成本运营，低廉称为低成本运营．
高昂
较高
低廉
总计
DeepSeek
36
14
50
100
OpenAI
46
24
30
100

(1)、请填写如下列联表，并判断能否有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异；
高成本运营
低成本运营
DeepSeek
OpenAI

(2)、对于技术成本而言，高成本运营占比越低，则认为技术水平越高．已知DeepSeek发布前openAI高成本运营占比为 $m_{0} = 0.7$ ，设 $m$ 为DeepSeek发布后这两家公司抽取的 $n$ 个客户使用时的高成本运营占比，若 $m < m_{0} - \frac{m_{0} (1 - m_{0}) \sqrt{2 n}}{n}$ ，则可以认为DeepSeek的技术水平高于openAI，根据抽取的200个客户信息，是否能够认为DeepSeek的技术水平高于openAI．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

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13、甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为 $X$ ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为 $Y$ .

(1)、求 $X$ 的期望和方差；

(2)、规定：若 $X > Y$ ，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率.

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14、已知二项式 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$

(1)、求展开式中所有二项式系数的和；

(2)、求展开式的第5项的系数.

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15、已知集合 $A = \{a, b, c, d, e\}, B = \{1, 2, 3, 4\}, f : A \to B$ 为从 $A$ 到 $B$ 的函数，且 $f (x) = 1$ 有两个不同的实数根，则这样的函数个数为.

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16、随机事件 $A, B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}, P (\bar{A} | B) = \frac{1}{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 C、 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ D、 $P (\bar{B}) = P (\bar{A} B)$

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17、若 ${(x + 1)}^{3} + {(x - 2)}^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + \dots + a_{8} {(x - 1)}^{8}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $a_{0} = 9$ B、 $a_{3} = 55$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{8} = 27$ D、含 $x^{6}$ 项的系数是112

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18、对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是( )

A、 $r_{1} < 0$ B、 $r_{2} > 1$ C、 $r_{1} + r_{2} > 0$ D、 $|r_{1}| > |r_{2}|$

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19、“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）

A、 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + \dots + C_{10}^{2} = 165$ B、在第2022行中第1011个数最大 C、第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D、第34行中第15个数与第16个数之比为2：3

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20、唐老师有语文、数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（）

A、360 B、180 C、90 D、60

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	高昂	较高	低廉	总计
DeepSeek	36	14	50	100
OpenAI	46	24	30	100

	高成本运营	低成本运营
DeepSeek
OpenAI

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828