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相关试卷

1、下列函数求导正确的是（）

A、 ${(\sin x)}^{'} = - \cos x$ B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(2^{x})}^{'} = x \times 2^{x - 1}$ D、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$

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2、已知函数 $f (x) = a x - ln x$ 有两个零点.

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点， $x_{2} > x_{1}$ ，证明： $x_{1}^{2} x_{2} > e^{\frac{8}{3}}$ .

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3、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b \ln x$ 在 $x = 1$ 处有极值 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、求出 $f (x)$ 的单调区间，并求极值.

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4、设函数 $f (x) = \ln x + \ln (2 - x) + a x (a > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $(0, 1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，则 $a =$ .

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5、函数 $f (x) = a x^{3} - 6 x$ 的一个极值点为1，则 $f (x)$ 的极大值是．

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6、下列函数中，恰有2个极值点的有（）

A、 $y = x + 2 \cos x$ B、 $y = x^{3} - x^{2}$ C、 $y = (x^{2} - 3) e^{x}$ D、 $y = x^{2} - \ln x$

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7、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x^{3} + \frac{1}{x})}^{'} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(\frac{\ln x}{x})}^{'} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ C、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ D、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$

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8、体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（）

A、24种 B、36种 C、72种 D、96种

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9、函数 $f (x) = e x - e^{x}$ 的单调递减区间为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 1)$

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 满足： $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $C$ 的横坐标是 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} | = 1$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．记 $∠ A O B = α, ∠ A O C = β, α$ 是锐角， $β$ 是钝角．

(1)、求 $\cos (α - β)$ 的值；

(2)、求 $β - 2 α$ 的值．

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11、已知复数 $z$ 在复平面上对应点在第一象限，且 $|z| = \sqrt{2}$ ， $z^{2}$ 的虚部为2.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、设复数 $z$ 、 $z^{2}$ 、 $z - z^{2}$ 在复平面上对应点分别为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值.

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12、已知 $△ A B C$ 的外接圆半径为1，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ 的最大值为．

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13、已知P是边长为1的正六边形 $A B C D E F$ 内一点（含边界），且 $\vec{A P} = \vec{A B} + λ \vec{A F}, λ \in R$ ，则下列正确的是（）

A、 $△ P C D$ 的面积为定值 B、 $\exists λ$ 使得 $| \vec{P C} | > | \vec{P A} |$ C、 $∠ C P D$ 的取值范围是 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ D、 $| \vec{P C} |$ 的取值范围是 $[1, \sqrt{3}]$

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14、下列命题错误的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{B C}$ B、若向量 $\vec{a} = (2023, 2024)$ ，把 $\vec{a}$ 向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 $(2025, 2024)$ C、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} > 0$ 是 $△ A B C$ 为锐角三角形的充要条件 D、在 $△ A B C$ 中，若 $λ$ 为任意实数，且 $\vec{C P} = λ (| \vec{C B} | \cdot \vec{C A} + | \vec{C A} | \cdot \vec{C B})$ ，则P点的轨迹经过 $△ A B C$ 的内心

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15、在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 的中点， $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $A F$ 与 $B E$ 交于点 $G$ ，若 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B G} =$ （）

A、 $\frac{2}{7} \vec{a} + \frac{1}{7} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{7} \vec{a} + \frac{2}{7} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{5} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$

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16、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1} 的 6 个顶点都在球 O 的球面上 . 若 A B = 3 ， A C = 4 ，$ $A B ⊥ A C,$ $A A_{1} = 12 ，则球 O 的半径为$

A、 $\frac{3 \sqrt{17}}{2}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $\frac{13}{2}$ D、 $3 \sqrt{10}$

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17、已知圆锥的底面圆半径为 $\sqrt{3}$ ，侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $3 \sqrt{105} π$ B、 $6 \sqrt{3} π$ C、 $\sqrt{105} π$ D、 $18 \sqrt{3} π$

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18、 $i$ 是虚数单位，则复数 $(1 - i) (2 + i)$ 的模为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、10 D、 $\sqrt{10}$

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19、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B D, A C = A D, A B = B D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥ B D$ ；

(2)、求锐二面角 $A - C D - B$ 的余弦值．

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20、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} + a_{3} = a_{4} = 5$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n + 1} a_{n + 2}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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