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相关试卷

1、在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $P D, D$ 为垂足，当点 $P$ 在圆上运动时，线段 $P D$ 的中点 $Q$ 的轨迹为曲线 $E$ （当点经过圆与 $x$ 轴的交点时，规定点 $Q$ 与点 $P$ 重合）.

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、 $A_{1}, A_{2}$ 为曲线 $E$ 与 $x$ 轴的交点，过点 $M (3, 0)$ 作直线 $l$ 交 $E$ 于 $C, D$ 两点（与 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 不重合），直线 $A_{1} C$ 与 $A_{2} D$ 交于点 $G$ .
（i）证明：点 $G$ 在定直线上；
（ii）是否存在点 $G$ 使得 $C G ⊥ D G$ ，若存在，求出直线 $l$ 的斜率；若不存在，请说明理由.

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2、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，证明 $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ ；

(3)、若对任意的不等正数 $x_{1}, x_{2}$ ，总有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3 a_{n} + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、设 $c_{n} = \frac{1}{2^{n} a_{n}}$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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4、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 3$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $A B_{1} E$ 所成角的余弦值.

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上的最大值.

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6、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 5, a_{n + 1} = 4 a_{n} - 3$ ，若对任意的 $n \in N^{*}, k (a_{n} - 1) \geq 2 n - 5$ 恒成立，则实数 $k$ 的最小值.

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7、已知 $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2}}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (1) =$ .

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + \frac{9}{2} a x + b (a, b \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上单调递减，则 $a \leq 2$ B、当 $a = 2$ 时，若 $f (x)$ 有2个零点，则实数 $b = - 4$ 或 $b = 0$ C、当 $a = 2$ 时，若 $0 < x < 1$ ，则 $f (x) < f (x^{2})$ D、若直线 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 有3个不同的交点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ ，且 $|A B| = |A C|$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6$

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9、某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过 $a$ 的部分按照平价收费，超过 $a$ 的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组 $[0, 0.5)$ ， $[0.5, 1)$ ， …， $[3, 3.5)$ 制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（）

A、第一组的频率为0.1 B、该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C、如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量 $a$ （吨）的最低标准的估计值为2.7 D、在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - 11 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} = 2 n - 12$ B、 $S_{n}$ 取最小值时 $n = 5$ C、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列 D、 $|a_{1}| + |a_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |a_{10}| = 50$

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11、已知直线l： $x - 2 y + 3 = 0$ 与圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y - 15 = 0$ 相交于A，B两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $2 \sqrt{5}$ D、10

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12、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为抛物线上一点，若 $|P F| = 3$ ，则 $P$ 点的横坐标为（）

A、2 B、 $\pm 2$ C、1 D、 $\pm 1$

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13、双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的一条渐近线斜率可以为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$

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14、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{4}$ 等于（）

A、4 B、6 C、8 D、16

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15、已知过点 $(0, m)$ 可作两条直线与曲线 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 1$ 相切，则实数 $m =$ ．

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16、学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是（请用数字作答）

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17、 $\int_{0}^{1} (\sqrt{1 - x^{2}} - 2 x) d x =$ .

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18、数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，对任意 $m, n \in N^{+}, a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ，若 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{k + 10} = 2^{15} - 2^{5}$ ，则 $k =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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19、如图所示，图中曲线方程为 $y = x^{2} - 1$ ，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（）

A、 $|\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) d x|$ B、 $\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) d x$ C、 $\int_{0}^{2} |x^{2} - 1| d x$ D、 $\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x$

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20、3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收入数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有（）种.

A、6 B、24 C、64 D、81

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