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相关试卷

1、在花市志愿者选拔的面试结果中，随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、已知在上述分组中用分层随机抽样的方法从第四组和第五组中共选取了5人，若从这5人中用简单随机抽样的方法选取2人，求这两名候选者来自不同组的概率；

(2)、若前三组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为64和64，后两组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为82和16，根据上述信息估计此次选拔所有候选者的面试成绩的平均数和方差．

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2、如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ 、 $△ A B C$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形，且 $A B = 2 A A_{1} = 4$ ， $A A_{1} = A_{1} B_{1} = B B_{1}$ ．

(1)、证明： $A B_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若 $A B$ 的中点为 $D$ ，求直线 $D B_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小．

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3、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $2 \vec{B C} = 3 \vec{A D}$ ， $2 \vec{B N} = \vec{N C}$ ，设 $\vec{A D} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B D}$ ， $\vec{A N}$ ；

(2)、若 $A N$ 与 $B D$ 相交于点 $M$ ， $B C = 6$ ， $A B = 2$ ， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\cos ∠ D M N$ ．

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4、如图，八面体 $Ω$ 的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E，在同一个平面内．若点 $M$ 在四边形 $B C D E$ 内（包含边界）运动，当 $M A ⊥ M E$ 时，则点 $M$ 的轨迹的长度为．

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5、当 $x \in [- π, π]$ 时， $sin x \geq cos x$ 的解集为．

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6、使 $a > b$ 成立的一个充分而非必要的条件是．

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7、著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ，被称为狄利克雷函数，其中 $R$ 为实数集， $Q$ 为有理数集，下面关于狄利克雷函数 $f (x)$ 的正确结论是（）

A、对于任意的 $x \in R$ ，都有 $f (f (x)) = 0$ B、函数 $f (x)$ 是偶函数 C、若 $T \neq 0$ 且 $T$ 为有理数，则 $f (x + T) = f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立 D、在 $f (x)$ 图象上存在不同的三个点 $A, B, C$ ，使得 $△ A B C$ 为直角三角形

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8、假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型：

记智力曲线为 $I$ ，情绪曲线为 $E$ ，体力曲线为 $P$ ，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（）

A、智力曲线 $I$ 的最小正周期是三个曲线中最大的 B、在出生起180天内，体力共有7次达高峰值 C、第94天时，情绪值小于15 D、第62天时，智力曲线 $I$ 和情绪曲线 $E$ 均处于上升期

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9、对于一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件A，B，C，D，用 $|A|$ 表示事件 $A$ 中的样本点个数．若 $|Ω| = 60$ ， $|A| = 30$ ， $|B| = 10$ ， $|C| = 20$ ， $|D| = 30$ ， $|A \cup B| = 40$ ， $|A \cap C| = 10$ ， $|A \cup D| = 60$ ，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 对立 B、 $A$ 与 $D$ 不对立 C、 $C$ 与 $D$ 互斥 D、 $A$ 与 $C$ 相互独立

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x + 1, x < 1 \\ \log_{a} x + 2 a, x \geq 1 \end{array} (a > 0, a \neq 1)$ ，若 $f (x) \leq \frac{3}{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{4}]$ B、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3}{4}]$ D、 $[\frac{3}{4}, 1)$

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11、已知向量 $\vec{a} = (3 - m, 3)$ ， $\vec{b} = (2, m + 4)$ ，若 $| \vec{a} - 3 \vec{b} | = | \vec{a} + 3 \vec{b} |$ ，则实数 $m =$ （）

A、3 B、6 C、 $- 6$ D、 $- 18$

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12、已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[50, + \infty)$ B、 $(50, + \infty)$ C、 $(50, 55)$ D、 $[50, 55]$

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13、已知 $\frac{π}{4} \leq α \leq \frac{π}{2}$ ， $sin 2 α = \frac{4}{5}$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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14、如图，圆台 $O O_{1}$ 的侧面展开图扇环的圆心角为 $180^{\circ}$ ，其中 $S A = 2, S B = 4$ ，则该圆台的高为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、4

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15、已知复数 $z_{1} = - 2 + i$ ， $z_{2} = 1 + 2 i$ ，在复平面内，复数 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 所对应的两点之间的距离是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、10 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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16、设集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{(x, y) |x \in A, y \in A, x - y \in A\}$ ，则集合 $B$ 的元素个数为

A、4 B、3 C、2 D、1

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17、已知 $A (- 1, 1), B (2, - 2), C (5, 1)$ .

(1)、求点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离；

(2)、求 $△ A B C$ 的外接圆的方程.

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18、已知直线 $l$ 过点 $(1, 2)$ ，且在 $y$ 轴上的截距为在 $x$ 轴上的截距的两倍，则直线 $l$ 的方程是.

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19、下列说法正确的有（）

A、若直线 $y = k x + b$ 经过第一、二、四象限，则 $(k, b)$ 在第二象限 B、任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C、方程 $x + m y - 2 = 0 (m \in R)$ 能表示平行 $y$ 轴的直线 D、直线的斜率越大，倾斜角越大

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20、某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有 $2$ 个白球和 $3$ 个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加 $1$ 个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．

(1)、求第 $2$ 名和第 $3$ 名顾客各抽中一份奖品的概率；

(2)、求这两份奖品都被第 $n$ 名顾客抽取的概率；

(3)、求由第 $k$ 名顾客终止抽奖活动的概率．

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