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相关试卷

1、将编号为 $1, 2, 3, 4, 5$ 的5个小球随机放置在圆周的5个等分点上，每个等分点上各有一个小球.则使圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和最小的放法的概率为.

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2、已知函数 $f_{n} (x) = {sin}^{2 n} x + {cos}^{2 n} x (n \in N^{*})$ ，记 $f_{n} (x)$ 的最小值为 $a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{7}{8}$ B、 $\forall n \in N^{*}, f_{n} (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、 $f_{n} (x) \leq 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + a_{i}) < 2$

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3、在平面直角坐标系中， $A (2, 0), B (0, 2)$ ，则下列曲线中存在两个不同的点 $M, N$ 使得 $|M A| = |M B|$ 且 $|N A| = |N B|$ 的有（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - y^{2} = 1$ D、 $y^{2} = 2 x$

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4、某班有男生30人，女生20人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为 $\bar{x_{1}}, \bar{x_{2}} (\bar{x_{1}} \neq \bar{x_{2}})$ ；方差分别为 $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ ，该班成绩的均分和方差为 $\bar{x}, s^{2}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\bar{x} = \frac{3}{5} \bar{x_{1}} + \frac{2}{5} \bar{x_{2}}$ B、 $\bar{x} > \frac{3}{5} \bar{x_{1}} + \frac{2}{5} \bar{x_{2}}$ C、 $s^{2} = \frac{3}{5} s_{1}^{2} + \frac{2}{5} s_{2}^{2}$ D、 $s^{2} > \frac{3}{5} s_{1}^{2} + \frac{2}{5} s_{2}^{2}$

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5、设函数 $f (x) = (2 a - x) ln (x + b)$ ，若 $f (x) \leq 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线的右支交于 $A, B$ 两点，若 $△ A B F_{1}$ 的周长为 $10 a$ ，则双曲线离心率的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{6}}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{\sqrt{10}}{2}, + \infty)$ C、 $(1, \frac{\sqrt{6}}{2}]$ D、 $(1, \frac{\sqrt{10}}{2}]$

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7、已知 $sin α = 2 sin (α + 2 β)$ ，且 $tan β = 2$ ，则 $tan (α + β) =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 2$ C、2 D、6

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8、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - \frac{1}{4}, a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、5

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10、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 3) = 0.2$ ，则 $P (1 < X \leq 3) =$ （）

A、0.8 B、0.6 C、0.4 D、0.3

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11、已知 $2 - i$ （ $i$ 是虚数单位）是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = 0 (b, c \in R)$ 的一个根，则 $b + c =$ （）

A、9 B、1 C、 $- 7$ D、 $2 i - 5$

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12、已知全集 $U = A \cup B = \{x \in N ∣ 0 \leq x \leq 6\}, (∁_{U} A) \cap B = \{2, 4, 6\}$ ，则集合 $A =$ （）

A、 $\{3, 5\}$ B、 $\{0, 3, 5\}$ C、 $\{1, 3, 5\}$ D、 $\{0, 1, 3, 5\}$

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13、定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列 $1, 2, 3$ 经过第一次“和扩充”后得到数列 $1, 3, 2, 5, 3$ ；第二次“和扩充”后得到数列 $1, 4, 3, 5, 2, 7, 5, 8, 3$ .设数列 $a, b, c$ 经过 $n$ 次“和扩充”后得到的数列的项数为 $P_{n}$ ，所有项的和为 $S_{n}$ .

(1)、若 $a = 2, b = 3, c = 4$ ，求 $P_{2}, S_{2}$ ；

(2)、若 $P_{n} \geq 2024$ ，求正整数 $n$ 的最小值；

(3)、是否存在数列 $a, b, c (a, b, c \in R)$ ，使得数列 $\{S_{n}\}$ 为等比数列？请说明理由.

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14、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{a} ln x$ 与函数 $g (x) = e^{a x} - x$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $g (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点，求证：曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 共有三个不同的交点.

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15、已知曲线 $C$ 上的点到点 $F (- 1, 0)$ 的距离比到直线 $x = 3$ 的距离小 $2, O$ 为坐标原点.直线 $l$ 过定点 $A (0, 1)$ .

(1)、直线 $l$ 与曲线 $C$ 仅有一个公共点，求直线 $l$ 的方程；

(2)、曲线 $C$ 与直线 $l$ 交于 $M, N$ 两点，试分别判断直线 $O M, O N$ 的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由.

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16、第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
组别
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100)$
频数
5
30
40
50
45
20
10
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设 $μ, σ$ 分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求 $μ, σ$ 的值（ $μ, σ$ 的值四舍五入取整数），并计算 $P (51 < X < 93)$ ；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于 $μ$ 的可以获得1次抽奖机会，得分不低于 $μ$ 的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为 $\frac{2}{3}$ ，抽中价值为30元的纪念品B的概率为 $\frac{1}{3}$ ．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．
（参考数据： $P (μ - δ < X \leq μ + δ) \approx 0.6827$ ； $P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) \approx 0.9545$ ； $P (μ - 3 δ < X \leq μ + 3 δ) \approx 0.9973$ ．）

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17、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $A D = C D = a$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $∠ A C B = 90 °$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{3} a$ ，求二面角 $D - P C - A$ 的余弦值.

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18、 $△ A B C$ 为锐角三角形，其三个内角 $A ､ B ､ C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，且 $b = 1, C = 2 B$ ，则 $△ A B C$ 周长的取值范围为.

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19、已知正三棱锥 $P -$ ABC，点P，A，B，C都在半径为 $\sqrt{3}$ 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为．

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20、设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， P是C上的点，PF₂⊥F₁F₂ ， $∠ P F_{1} F_{2} = 30^{°}$ ，则C的离心率为．

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组别	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100)$
频数	5	30	40	50	45	20	10