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相关试卷

1、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，长轴长为4，过椭圆右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、当直线 $l$ 与 $x$ 轴不垂直时，在 $x$ 轴上是否存在一点 $P$ （异于点 $F$ ），使 $x$ 轴上任意点到直线 $P A$ ， $P B$ 的距离均相等？若存在，求 $P$ 点坐标：若不存在，请说明理由.

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2、一只蚂蚁位于数轴 $x = 0$ 处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为 $\frac{2}{3}$ ，向左移动的概率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在 $x = 0$ 处的概率；

(2)、记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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3、已知点 $(1, \frac{1}{3})$ 是函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象上一点，等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $f (n) - c$ ，数列 $\{b_{n}\} (b_{n} > 0)$ 的首项为 $c$ ，且前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} - S_{n - 1} = \sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}} (n \geq 2)$ ．
(1)求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
(2)若数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，问使得 $T_{n} > \frac{1000}{2015}$ 成立的最小正整数 $n$ 是多少？

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4、在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sqrt{3} b \sin (A - \frac{π}{2}) + a \cos (B + \frac{3 π}{2}) = 0$ ，且 $\sin^{2} A = 6 \sin B \cdot \sin C$ .
（1）求 $A$ ；
（2）若 $b + c = λ a (λ \in R)$ ，求 $λ$ 的值.

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5、在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E满足 $\vec{A_{1} E} = \frac{1}{2} \vec{E C_{1}}$ ，点F在平面 $B C_{1} D$ 内，则 $A_{1} F + E F$ 的最小值为．

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6、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且满足 $a_{n} (3 T_{n} - 1) = T_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $T_{n} =$ .

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7、已知曲线 $C_{1} : f (x) = ln (2 x - 1)$ 在点 $M (x_{1}, y_{1})$ 处的切线与曲线 $C_{2} : g (x) = e^{2 x - 1}$ 相切于点 $N (x_{2}, y_{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $h (x) = x^{2} g (x) - 1$ 有2个零点 B、函数 $m (x) = \frac{3}{2} e f (x) - x g (x)$ 在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上单调递增 C、 $g (x_{2}) = \frac{1}{2 x_{1} - 1}$ D、 $\frac{1}{x_{1} - 1} + 2 x_{2} = 0$

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8、已知角 $A, B$ ， $C$ 是锐角三角形 $A B C$ 的三个内角，下列结论一定成立的有（）

A、 $\sin (B + C) = \sin A$ B、 $\sin (\frac{A + B}{2}) = \cos \frac{C}{2}$ C、 $\cos (A + B) < \cos C$ D、 $\sin A < \cos B$

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9、以下结论正确的是（）

A、根据 $2 \times 2$ 列联表中的数据计算得出 $χ^{2} \geq 6.635$ ，而 $P (χ^{2} \geq 6.635) \approx 0.01$ ，则根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，认为两个分类变量有关系 B、 $χ^{2}$ 的值越大，两个事件的相关性就越大 C、在回归分析中，相关指数 $R^{2}$ 越大，说明残差平方和越小，回归效果越好 D、在回归直线 $\hat{y} = 0.5 x - 85$ 中，变量 $x = 200$ 时，变量 $y$ 的值一定是15

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10、如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成的角为45°，顶点B在平面α内的射影为O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于(　　)

A、 $\frac{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}{12}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} + 1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{5 + 2 \sqrt{2}}{12}$

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11、如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，从 $F_{2}$ 发出的光线经过图2中的 $A, B$ 两点反射后，分别经过点 $C$ 和 $D$ ，且 $\tan ∠ C A B = - \frac{12}{5}$ ， $| \vec{B D} |^{2} = \vec{A D} \cdot \vec{B D}$ ，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{37}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{3}$

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12、已知 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别是数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_{n} = 1 - \frac{1}{2} a_{n}$ ， $b_{n} = - 4 n + 5$ ，若对 $\forall n \in N^{*}$ ，使得 $5 T_{n} - 3 S_{n} \leq a (a + 2)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq - 4$ 或 $a \geq 2$ B、 $a \leq - 1$ 或 $a \geq 3$ C、 $a \leq - 2$ 或 $a \geq 4$ D、 $a \leq - 3$ 或 $a \geq 1$

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13、函数 $f (x) = \frac{10^{x} - 1}{10^{x} + 1} \cdot \sin x$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ 均为单位向量，且满足 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c} = \overset{⃑}{0}$ ，则 $⟨\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c}⟩ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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15、已知集合 $A = \{x | y = \lg (4 - x^{2})\}$ ， $B = \{x | y = \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3}\}$ ，则 $A \cap B =$

A、 $\{x |1 < x < 2\}$ B、 $\{x |1 \leq x < 2\}$ C、 $\{x |1 \leq x \leq 3\}$ D、 $\{x |- 2 \leq x \leq 3\}$

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16、设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点关于实轴对称，且 $z_{1} = 1 - i$ ，则 $z_{1} z_{2} =$ （）

A、2 B、0 C、 $- 2 i$ D、 $- 2$

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17、如图，正 $△ A B C$ 边长为 $2 ， D 、 E$ 分别是边 $A B, A C$ 的中点，现沿着 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，得到四棱锥 $A^{'} - B C E D$ ，点 $M$ 为 $A^{'} C$ 中点．

(1)、求证： $M E / /$ 平面 $A^{'} B D$

(2)、若 $A^{'} B = \sqrt{2}$ ，求四棱锥 $A^{'} - B C E D$ 的表面积．

(3)、过 $M E$ 的平面分别与棱 $A^{'} D, A^{'} B$ 相交于点 $S, T$ ，记 $△ A^{'} S T$ 与 $△ A^{'} B D$ 的面积分别为 $S_{△ A^{'} S T}$ 、 $S_{△ A^{'} B D}$ ，若 $\frac{S_{△ A^{'} S T}}{S_{△ A^{'} B D}} = \frac{1}{4}$ ，求 $\frac{A^{'} S}{A^{'} D}$ 的值．

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18、已知 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，且满足 $|2 \vec{a} + \vec{b}| = |\vec{b}|$

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、设 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ，求非零向量 $\vec{c}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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19、定义一种向量运算“ $\otimes$ ”： $\vec{a} \otimes \vec{b} = \{\begin{cases} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ, θ \in (0, π) \\ |\vec{a} - \vec{b}|, θ \notin (0, π) \end{cases}$ ，其中 $\vec{a}, \vec{b}$ 是任意的两个非零向量， $θ$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．对于同一平面内的非零向量 $\vec{c}$ ，给出下列结论，其中不正确的是（）

A、若 $\vec{a} \otimes \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ B、若 $λ \in R$ ， $λ \neq 0$ ，则 $λ (\vec{a} \otimes \vec{b}) = (λ \vec{a}) \otimes \vec{b}$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) \otimes \vec{c} = \vec{a} \otimes \vec{c} + \vec{b} \otimes \vec{c}$ D、若 $|\vec{c}| = 2$ ，则 $\vec{a} \otimes \vec{c} \leq |\vec{a}| + 2$

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是平行四边形， $E, F$ 分别是棱 $P D, P A$ 的中点，下列说法正确的有（）

A、多面体 $A B F - D C E$ 是三棱柱 B、直线 $B F$ 与 $P C$ 互为异面直线 C、平面 $A D P$ 与平面 $B C P$ 的交线平行于 $E F$ D、四棱锥 $P - A B C D$ 和四棱锥 $P - B C E F$ 的体积之比为 $8 : 3$

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