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相关试卷

1、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，侧面 $C D D_{1} C_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A B_{1}$ 和平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值.

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2、在 $△ A B C$ 内，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b cos A - c cos B = (a - c) cos (A + C)$ ．

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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3、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} - a_{n + 1} + 2 = 0$ .

(1)、数列 $\{a_{n}\}$ 是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 2}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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4、在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 为等腰三角形， $∠ A B C = 120 °$ ，且 $A C = P A$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C, P A ⊥ B C$ ，点 $Q$ 为三棱锥 $P - A B C$ 外接球 $O$ 上一动点，且点 $Q$ 到平面 $P A C$ 的距离的最大值为 $1 + \sqrt{7}$ ，则球 $O$ 的表面积为．

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5、 $e$ 是自然对数的底数， $m \in R$ ， $n > 0$ ，已知 $m e^{m} + \ln n > n \ln n + m$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、若 $m > 0$ ，则 $m - n > 0$ B、若 $m > 0$ ， $n > 1$ ，则 $e^{m} - n > 0$ C、若 $m < 0$ ，则 $m + \ln n < 0$ D、若 $m < 0$ ，则 $e^{m} + n > 2$

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $M$ 在 $C$ 上， $M N ⊥ l$ 于 $N$ ，直线 $N F$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{N A} = 2 \vec{A F}$ ，则（）

A、 $∠ M N F = 60^{\circ}$ B、 $|N F| = \frac{4}{3} p$ C、 $|M B| = \sqrt{3} |M N|$ D、 $\sin ∠ N A M = \frac{3 \sqrt{7}}{14}$

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7、一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ 满足 $x_{i} - x_{i - 1} = 2 (2 \leq i \leq 10)$ ，若去掉 $x_{1}, x_{10}$ 后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（）

A、极差变小 B、平均数变大 C、方差变小 D、第25百分位数变小

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8、已知复数 $z = \cos \frac{2 π}{2023} + i \sin \frac{2 π}{2023}$ ，则 $(z - 1) (z^{2} - 1) \dots (z^{2022} - 1) =$ （）

A、2022 B、2023 C、 $- 2022$ D、 $- 2023$

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9、已知A，B，C，D是体积为 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ 的球体表面上四点，若 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，且三棱锥A－BCD的体积为 $2 \sqrt{3}$ ，则线段CD长度的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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10、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的图象过点 $(0, 1)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{8}, \frac{π}{4})$ 上具有单调性，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、4 C、 $\frac{16}{3}$ D、8

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2, n \in N^{*}$ .记数列 $\{\frac{a_{n} + 1}{(a_{n} + 3) (a_{n + 1} + 3)}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $k > T_{n}$ ，则实数k的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{10}, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{10}, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{5}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{5}, + \infty)$

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12、已知 $a > b > 0$ ，设椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ．若 $e_{2} = 3 e_{1}$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{5} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$

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13、已知在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $\vec{B D} = 5 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{5}{6} \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{4}{5} \vec{A C}$ D、 $\frac{4}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$

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14、已知集合 $A = \{x |\frac{1}{2} < 2^{x} < 2\}$ ， $B = \{x |y = \lg (x + 1)\}$ ，则 $A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1)$

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15、已知函数 $f (x) = a x^{2} + \ln x, g (x) = 2 x + \frac{a}{2} \ln x$ .

(1)、若 $f (x) \geq g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为 $x_{1}, x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）， $g (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ ，证明： $\frac{x_{1}}{x_{2}} > 4 e x_{0}$ .

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16、某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.
方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度 $= \frac{企业所有对新绩效方案满意的员工人数}{企业所有员工人数} \times 100 %$ .

(1)、求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率

(2)、若该企业某部门有9名员工，用 $X$ 表示其中按方式一回答问卷的人数，求 $X$ 的数学期望；

(3)、若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为 $4 : 5$ ，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.

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17、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} - 4 a x + 3 a (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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18、某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．

(1)、求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．

(2)、设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为 $X$ ， $Y$ ，求随机变量 $X$ ， $Y$ 的期望 $E (X)$ ， $E (Y)$ 和方差 $D (X)$ ， $D (Y)$ ，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．

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19、已知 $f (x) = a x^{3} - b x + 4, f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值 $- \frac{4}{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若方程 $f (x) + k = 0$ 有且只有一个实数根，求 $k$ 的取值范围.

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20、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．

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