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相关试卷

1、英国物理学家牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，具体做法如下：先在x轴找初始点 $(x_{1}, 0)$ ，然后作 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线，切线与x轴交于点 $(x_{2}, 0)$ ，再作 $y = f (x)$ 在点 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线，切线与x轴交于点 $(x_{3}, 0)$ ，再作 $y = f (x)$ 在点 $(x_{3}, f (x_{3}))$ 处的切线，以此类推，直到求得满足精度的近似解 $x_{n} (n \geq 2)$ 为止.
已知 $f (x) = x^{4}$ ，在横坐标为 $x_{1} = 1$ 的点处作 $f (x)$ 的切线，切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{2}$ ，继续牛顿法的操作得到数列 $\{x_{n}\}$ .

(1)、求数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{n \cdot x_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，满足 $S_{n} \geq 16 - λ {(\frac{5}{6})}^{n}$ ，求整数 $λ$ 的最小值.
（参考数据： ${0.9}^{4} \approx 0.6561$ ， ${0.9}^{5} \approx 0.5905$ ， ${0.9}^{6} \approx 0.5314$ ， ${0.9}^{7} \approx 0.4783$ ）

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2、已知函数 $f (x) = x e^{x}, g (x) = x + ln x + m$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $g (x) \leq f (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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3、在不大于 $k^{n} (k, n \in N^{*}, k \geq 2)$ 的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数的个数记为 $F_{k} (n)$ . $[x]$ 表示不超过x的最大整数，令 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{5}{F_{6} (i) - 1}$ ，则 $[S_{1}] + [S_{2}] + [S_{3}] + \cdot \cdot \cdot + [S_{100}] =$ .

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4、若函数 $f (x) = x \sin x + \cos x - \frac{1}{2} a x^{2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为.

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5、在 ${(x^{2} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中 $x^{5}$ 的系数为.（用数字作答）

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6、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域都为 $R$ ，对于任意的 $x, y \in R$ ，都有 $f (x) + f (y) = 2 f (\frac{x + y}{2}) f (\frac{x - y}{2})$ 成立，则下列说法正确的是（）．

A、 $f (0) = 1$ B、若 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (2) = - \frac{1}{2}$ C、 $f^{'} (x)$ 为偶函数 D、若 $f (1) = 0$ ，则 $f (\frac{11}{2}) + f (\frac{15}{2}) + f (\frac{19}{2}) + \dots + f (\frac{2019}{2}) + f (\frac{2023}{2}) = 0$

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7、有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台车床加工的零件数的比为5：6：9，加工出来的零件混放在一起，第1、2、3台车床加工的次品率分别为6%，5%，4%.现从三台车床加工的零件中任取一个，则（）

A、该零件由第1台车床加工的概率为0.25 B、该零件为次品的概率为0.048 C、若该零件为次品，则其由第2台车床加工的概率为 $\frac{1}{3}$ D、若该零件为次品，则其由第3台车床加工的概率最大

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8、已知不等式 $2 λ e^{2 x} + \ln λ \geq \ln x$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{2 e}, + \infty)$ D、 $[\frac{2}{e}, + \infty)$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $(\sqrt{n^{2} - 1} + 1) S_{n} = n S_{n - 1} + a_{n}$ （ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ），若 $S_{k} = \frac{1}{35}$ ，则 $k =$ （）

A、49 B、50 C、51 D、52

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10、如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为 $\frac{2}{3}$ ，向右移动的概率为 $\frac{1}{3}$ ，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则 $P (X > 0) =$ （）

A、 $\frac{40}{243}$ B、 $\frac{52}{243}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{17}{81}$

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11、过点 $P (1, 1)$ 作曲线 $y = x^{3}$ 的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ .设 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{7}{13}$ C、 $\frac{9}{13}$ D、 $\frac{11}{13}$

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12、现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）

A、216 B、432 C、864 D、1296

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = n^{2} + n$ ，将 $\{a_{n}\}$ 依原顺序按照第n组有 $2^{n}$ 项的要求分组，则2024所在的组数为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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14、已知随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ .若 $P (1 \leq X < 3) = 0.2$ ，设事件 $A =$ “ $X < 1$ ”，事件 $B =$ “ $|X| > 1$ ”，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{2}{7}$

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15、已知函数 $f (x) = \log_{2} \frac{1}{x}$ ，则函数 $f (x)$ 的导函数为（）

A、 $f^{'} (x) = \frac{\ln 2}{x}$ B、 $f^{'} (x) = \frac{1}{x \ln 2}$ C、 $f^{'} (x) = - \frac{\ln 2}{x}$ D、 $f^{'} (x) = - \frac{1}{x \ln 2}$

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16、如图，扇形 $O A B$ 的半径为 $1$ ，圆心角为 $\frac{π}{4}$ ， $C$ 是弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的动点（不含点 $A$ 、 $B$ ），作 $C E // O A$ 交 $O B$ 于点 $E$ ，作 $E F ⊥ O A$ 交 $O A$ 于点 $F$ ，同时以 $O A$ 为斜边，作 $Rt △ O A G$ ，且 $∠ A O G = 2 ∠ C O A$ ．

(1)、求 $△ O A G$ 的面积的最大值；

(2)、从点 $C$ 出发，经过线段 $C E$ 、 $E F$ 、 $F A$ 、 $A G$ ，到达点 $G$ ，求途经线段长度的最大值．

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x + 1 - 2 {sin}^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的周期及在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、若 $θ$ 为锐角且 $f (θ) = - \frac{2}{5}$ ，求 $cos 2 θ$ 的值.

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18、如图．在锐角 $△ A B C$ 中， $B C$ 边上的中线 $A D$ 长为 $3$ ，且 $\sin B = \frac{3 \sqrt{6}}{8}$ ， $\cos ∠ A D C = - \frac{1}{4}$ ．

(1)、求 $A B$ 边的长；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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19、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是 $B C$ 边上靠近点 $B$ 的三等分点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，则 $\cos ∠ E M F =$ .

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20、已知 $\vec{a} = (x, 1), \vec{b} = (- 1, 2)$ ，且 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ，则 $x =$ .

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