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相关试卷

1、已知 $sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{4}{5}$ ，则 $cos (2 α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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2、已知 $z = \frac{1 - i}{i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $3$ D、 $\sqrt{3}$

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3、如图所示，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ ， $G$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的三等分点（ $A F = \frac{1}{3} A D$ ， $B G = \frac{1}{3} B C$ ），设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{E F}$ ， $\vec{E G}$ ；

(2)、如果 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ 且 $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，求 $∠ F E G$ 的余弦值.

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4、一个圆台的母线长为 $12 cm$ ，两底面面积分别为 $4 π {cm}^{2}$ 和 $25 π {cm}^{2}$ ．
（1）求圆台的高；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长．

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5、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $B D = 5$ ， $∠ C B D = 60 °$ .

(1)、若 $\sin ∠ B C D = \frac{1}{4}$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、若 $A D = 2$ ，求 $\cos ∠ A B D$ .

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6、在复平面内，已知 $O$ 为坐标原点，点 $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ 分别对应复数 $z_{1} = 4 + 3 i$ ， $z_{2} = 2 a - 3 i (a \in R)$ ，若 $\overset{⃑}{O Z_{1}} ⊥ \overset{⃑}{O Z_{2}}$ ，则 $a =$ .

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7、如图，在平行四边形ABCD中， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足 $\frac{B M}{B C} = \frac{N C}{D C} = λ$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最小值是.

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8、如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球 $O_{1}$ ，球 $O_{2}$ 切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球 $O_{1}$ ，球 $O_{2}$ 的半径分别为4和1，球心距 $|O_{1} O_{2}| = \sqrt{34}$ ，则（）

A、椭圆C的中心不在直线 $O_{1} O_{2}$ 上 B、 $|E F| = 4$ C、直线 $O_{1} O_{2}$ 与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 $\frac{5 \sqrt{34}}{34}$ D、椭圆C的离心率为 $\frac{3}{5}$

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9、已知函数 $f (x) = A cos (2 x + φ) - 1$ $(A > 0, 0 < φ < π)$ ，若函数 $y = |f (x)|$ 的部分图象如图所示，函数 $g (x) = A \sin (A x - φ)$ ，则下列结论不正确的是（　　）

A、将函数 $y = f (x) + 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度可得到函数 $g (x)$ 的图象 B、函数 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的单调递减区间为 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ D、若函数 $g (x + θ) (θ \geq 0)$ 为偶函数，则θ的最小值为 $\frac{7}{12} π$

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10、如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积 $($ 　　 $)$

A、 $2 \sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 (1 + \sqrt{2})$

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11、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F，G分别为线段 $B C, C C_{1}, B B_{1}$ 上的动点（不含端点），

①异面直线 $D_{1} D$ 与AF所成角可以为 $\frac{π}{4}$
②当G为中点时，存在点E，F使直线 $A_{1} G$ 与平面AEF平行
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等
则上述结论正确的是（）

A、①③ B、②④ C、②③ D、①④

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12、已知复数 $z = \frac{2 - i}{i^{2022}}$ ，则（）

A、 $z$ 的虚部为 $i$ B、 $z$ 的实部为 $- 2$ C、 $z < 2$ D、 $| z | < 2$

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13、在 $△ A B C$ 中，点 $D ， E$ 满足 $\vec{B D} = \vec{D C} ， \vec{A E} = 2 \vec{E C} ， B E$ 与 $A D$ 交于点 $P$ ，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x y =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{25}$ D、 $\frac{4}{9}$

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14、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的图象如图所示，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法中错误的是（）

A、在 $(- π, - \frac{5 π}{6})$ 上单调递减 B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、最小正周期是 $π$ D、对称轴是直线 $x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

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15、设集合 $A = \{(x, y) |\frac{y - 1}{x - 2} = 1\}$ ， $B = \{(x, y) |y = x^{2} - 2 x + 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{(1, 0), (2, 1)\}$ C、 $\{(2, 1)\}$ D、 $\{(1, 0)\}$

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16、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A为C的上顶点，且 $△ A F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l： $y = k x + m (m \neq 0)$ 与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值， ${|O M|}^{2} + {|O N|}^{2}$ 恒为定值，并求此时 $△ M O N$ 面积的最大值．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值点和零点；

(2)、若 $f (x) < k x - \frac{1}{x}$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD为平行四边形， $A C \cap B D = O, A D = B D = 2, ∠ A D B = 90^{\circ}$ ，在等腰直角 $△ B P D$ 中， $∠ B P D = 90^{\circ}$ ， M为PD的中点， $P O ⊥ A C$ ．

(1)、求证： $O M / /$ 平面BCP；

(2)、求二面角 $C - B P - A$ 的正弦值．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ，且 $S_{n} = a_{n + 1} - 2$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{(2 n + 1) \cdot a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20、已知O为坐标原点，动点P到两个定点 $O (0, 0), A (3, 0)$ 的距离的比 $\frac{1}{2}$ ，记动点P的轨迹为曲线C，

(1)、求由线C的方程；

(2)、若直线l过点 $B (0, 2)$ ，曲线C截l所得弦长等于 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程．

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