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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin 2 B - \frac{c}{2} \sin 2 A = a \sin A \cos C$ ．则角 $B =$ .

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2、定义集合运算 $A ⊙ B = \{z | z = x y (x + y), x \in A, y \in B\}$ ，集合 $A = \{0, 1\}, B = \{2, 3\}$ ，则集合 $A ⊙ B$ 所有元素之和为

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3、曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点 $P (4, 4)$ 是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的点， $F$ 是 $C$ 的焦点，点 $P$ 处的切线 $l_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $T$ ，点 $P$ 处的法线 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $G$ ，与 $C$ 交于另一点 $B$ ，点 $M$ 是 $P G$ 的中点，则以下结论正确的是（）

A、点 $T$ 的坐标是 $(0, - 2)$ B、 $l_{2}$ 的方程是 $x + 2 y - 12 = 0$ C、 ${|T G|}^{2} = |P A| \cdot |P B|$ D、点 $M$ 的坐标是 $(2, 5)$

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4、已知 $S_{n}, T_{n}$ 分别是数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2, S_{n - 1} = a_{n} (n \geq 2)$ ， $b_{n} = \frac{1}{\log_{2} a_{n + 1} \cdot \log_{2} a_{n + 2}}$ ，则（）

A、 $S_{2} = 4$ B、 $a_{n} = 2^{n - 1}$ C、 $T_{10} = \frac{10}{11}$ D、 $b_{n} < \frac{2}{2 n + 1}$

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5、从集合 ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 中任取两个互不相等的数 $a, b$ 组成复数 $a + b i$ ，下列说法错误的有（）

A、其中虚数有30个 B、其中虚数有42个 C、其中虚数有36个 D、其中虚数有35个

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6、2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”.其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”.“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目.“水立方”的设计灵感来自威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是（）

A、 $24 (\sqrt{3} + 1)$ B、 $24 \sqrt{3} + 6$ C、 $48 \sqrt{3} + 24$ D、 $16 \sqrt{3} + 8$

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7、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数的个数为（）．

A、60 B、96 C、300 D、360

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8、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3 |\vec{b}|$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $\sqrt{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9、抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，且抛物线C与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 在第一象限的交点为A，若 $A F ⊥ x$ 轴，则 $p =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f' (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $x = a$ 是函数 $y = f (x)$ 的极小值点 B、当 $x = - a$ 或 $x = b$ 时，函数 $f (x)$ 的值为0 C、函数 $y = f (x)$ 在 $(a, + \infty)$ 上是增函数 D、函数 $y = f (x)$ 在 $(b, + \infty)$ 上是增函数

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11、数据69，70，80，88，89，90，96，98的第30百分位数为（）

A、69 B、70 C、80 D、96

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $I$ ，区间 $D \subseteq I$ ，若 $x_{0} \in D$ ， $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 在 $D$ 上的不动点，集合 $A = \{x_{0} ∣ f (x_{0}) = x_{0}, x_{0} \in D\}$ 为 $f (x)$ 在 $D$ 上的不动点集.

(1)、求函数 $f (x) = 2 x - \frac{3 x + 4}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上的不动点集；

(2)、若函数 $g (x) = a x - \sin 2 x$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上有且只有一个不动点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $h (x) = x^{3} - (3 m^{2} - 1) x + 1 (m > 0)$ 在 $R$ 上的不动点集为 $\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\}$ ，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ 的取值范围.

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13、已知 $A (2, 1)$ 是椭圆 $E :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的一点，且 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，斜率存在且不过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ 与直线 $A Q$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$

(1)、求 $E$ 的方程.

(2)、证明： $l$ 的斜率为定值.

(3)、设 $O$ 为坐标原点，若 $l$ 与线段 $O A$ （不含端点）相交，且四边形 $O P A Q$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $l$ 的方程.

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14、如图，在多面体 $A B C D F E$ 中， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $F C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $△ F C D$ 为等腰直角三角形，且 $C F ⊥ D F$ ， $A D = C D = 2 A B = 2 A E$ ，

(1)、证明： $B F ∥$ 平面 $A D E$ .

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $D E F$ 的夹角的余弦值.

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15、某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ ，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会．

(1)、求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率；

(2)、记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望．

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16、△ $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $c = 1, b + 2 \cos B = 2 a$ ．

(1)、求 $C$ 的值；

(2)、求△ $A B C$ 周长的最大值．

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17、已知 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{3})$ ，且 $\sin (2 α + β) + 2 \sin 2 α \cos β = 3 \sin β$ ，则 $\cos β$ 的最小值为

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18、甲、乙、丙等 $5$ 人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有种．

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19、若两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + 3 \vec{b}| = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{2 \sin x}{5 - \cos 2 x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 D、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{3}$

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