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相关试卷

1、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，下列说法正确的是（）

A、 $i^{2025} = i$ B、 $|z_{1}| > |z_{2}|$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = {|\bar{z_{1}}|}^{2}$ D、 $z_{2}^{2} = {|z_{2}|}^{2}$

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2、在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图象的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数 $f (x) = e^{2 x - 1} + e^{1 - 2 x} + |2 x - 1| ，$ 使得不等式 $f (2 m + 1) < f (m + 2)$ 成立的实数m的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{2}{3}, + \infty)$ B、 $(- 1, \frac{2}{3})$ C、 $(- \frac{2}{3}, 1)$ D、 $(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (1, + \infty)$

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3、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $P A = 6$ ，点P在平面 $A B C$ 上投影为A，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $100 π$ B、 $75 π$ C、 $80 π$ D、 $120 π$

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .若 $a = 3, c sin B = 1, C = 45^{\circ}$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $- \frac{1}{10}$

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2$ 且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6、设m，n，l是不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（）

A、若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α, m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / β, m \subset α, α \cap β = l$ ，则 $m / / l$ D、若 $α / / β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m / / n$

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7、已知复数 $z = 1 + 2 i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、13 B、 $\sqrt{13}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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8、把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为 $\{f_{n} (x)\}$ .例如：函数列 $\{x, 2 x, 3 x, \dots n x, \dots\}$ 可以记为 $f_{n} (x) = n x, n \in N^{*}$ .记 ${f^{'}}_{n} (x)$ 为 $f_{n} (x)$ 的导函数.

(1)、若 $f_{n} (x) = n ln x$ .证明： $\{{f^{'}}_{n} (2024)\}$ 为等差数列.

(2)、已知定义在 $R$ 上的函数列 $\{f_{n} (x)\}$ 满足 $\frac{1}{n} {f^{'}}_{n} (x) \geq f_{n} (x)$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $f_{n} (0) = n$ .
（i）设 $x_{0} \geq 0$ ，证明： $f_{n} (x_{0}) = n$ 的充要条件是 $x_{0} = 0$ .
（ii）取定正数 $x_{0}$ ，使数列 $\{f_{n} (x_{0})\}$ 是首项和公比均为 $q$ 的等比数列，证明： $q \geq \sqrt[3]{3} e^{x_{0}}$ .

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9、购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一､其最吸引人的地方是因为盒子上没有标注物品具体信息，买家只有打开才会知道自己买到了什么.某商店推出 $20$ 种款式不同的盲盒，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.小刘特别喜欢 $20$ 种款式中的一种.

(1)、若 $20$ 种款式的盲盒各有一个.
（i）求小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率.
（ii）设小刘抽到特别喜欢的款式所需次数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ .

(2)、若每种款式的盲盒数量足够多，每次盲盒被买后老板都会补充被买走的款式.商店为了满足客户的需求，引进了保底机制：在抽取前指定一个款式，若前 $9$ 次未抽出指定款式，则第 $10$ 次必定抽出指定款式.设 $Y$ 为小刘抽到某指定款式所需的次数，求 $Y$ 的数学期望 $E (Y)$ （参考数据： ${0.95}^{9} \approx 0.63$ ，结果保留整数）.

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10、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右、上、下顶点分别为 $A, B, C, D$ .设 $P, Q$ 为 $C$ 上并且位于第一象限的两点，满足 $O Q$ $∥$ $A P$ .

(1)、若 $∠ Q O B = 30^{\circ}, A P$ 交 $y$ 轴于 $P_{1}$ ，且 $O P_{1} = \frac{2}{3} O C$ ，求椭圆 $C$ 的离心率.

(2)、在（1）的条件下， $M$ 为 $A P$ 的中点，直线 $O M$ 交 $C$ 于点 $R$ （其中 $R$ 在 $x$ 轴上方）.证明： $| O Q |^{2} + | O R |^{2} = | O B |^{2} + | O C |^{2}$ .

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11、直线 $y = \frac{1}{2} x + m$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点 $(A, B$ 不是椭圆的顶点），设 $C (- 2, 0), D (2, 0)$ ，当直线 $A C$ 的斜率是直线 $B D$ 斜率的2倍时， $m =$ .

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12、在 ${(x - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中，所有项的系数和为.

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - a x$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $a < - 2$ 或 $a > 2$ B、 $x_{1} x_{2} < 0$ C、存在实数 $a$ ，使得 $f (x_{2}) > 0$ D、 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 2 - a$

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14、如图，在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B B_{1}} + μ \vec{B C}, λ \in [0, 1], μ \in [0, 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $λ = μ$ ，则 $D P / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、若 $λ = 2 μ$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{5}}{2} a$ C、若 $μ = 1$ ，则存在 $λ$ ，使 $D P ⊥ A_{1} P$ D、若 $μ = \frac{1}{2}$ ，则存在 $λ$ ，使 $A_{1} C ⊥$ 平面 $D P B$

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15、下列函数中是奇函数且是周期函数的是（）

A、 $y = sin x + sin 2 x$ B、 $y = sin \sqrt{x} + cos \sqrt{x}$ C、 $y = sin x + cos x$ D、 $y = sin x \cdot cos x$

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16、已知正三棱锥的底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，高为2，则该三棱锥的外接球的体积为（）

A、 $\frac{125 π}{48}$ B、 $\frac{25 π}{4}$ C、 $\frac{64 π}{25}$ D、 $\frac{64 π}{3}$

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17、已知直线 $l : y = \sqrt{3} x$ 是双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线， $O$ 是坐标原点， $F_{1}$ 是 $C$ 的焦点，过点 $F_{1}$ 作 $F_{1} M$ 垂直于直线 $l$ 交 $l$ 于点 $M, △ F_{1} O M$ 的面积是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ C、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$

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18、已知 $α$ 是锐角， $\sqrt{3} sin α + 2 \sqrt{2} cos α = \sqrt{11}$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{77}}{11}$ B、 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ C、 $\frac{\sqrt{55}}{11}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{11}$

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19、小王数学期末考试考了 $90$ 分，受到爸爸表扬的概率为 $\frac{1}{2}$ ，受到妈妈表扬的概率也为 $\frac{1}{2}$ ，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $1$

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20、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 3), \vec{b} = (m - 1, 3 m), \vec{a} / / (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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