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相关试卷

1、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{2}{3} b c$ ， $3 \sin A = 4 \cos B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $4 \sqrt{2} + 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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2、过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点 $F_{1} (- c, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ， $P$ 为 $l$ 上一动点，已知 $M (- \frac{a^{2}}{c}, 0)$ ， $N (\frac{a^{2}}{c}, 0)$ ，若 $\sin ∠ M P N$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$ ，则双曲线的离心率为.

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3、甲、乙两人进行某项比赛，已知每局比赛甲获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，没有平局，各局比赛的结果互不影响.约定当一方胜的局数比另一方多两局时即可获胜，比赛结束.设最终比赛局数为 $X$ ，则 $P (X = 6) =$ .

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4、函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.

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5、如图，已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过原点 $O$ 作射线 $O T$ 交圆 $C$ 于点 $A$ （异于 $O$ 点），交直线 $x = 2$ 于点 $B$ （异于点 $A$ ），再以 $O$ 为圆心、线段 $A B$ 的长为半径作圆与射线 $O T$ 交于点 $M$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ .设 $| O M | = r$ ， $∠ T O C = θ$ ，则下列说法正确的是（）

A、曲线 $E$ 上所有点的横坐标的取值范围是 $(0, 2)$ B、 $r = \frac{2 \sin^{2} θ}{\cos θ}$ C、曲线 $E$ 的方程为 $y^{2} = \frac{x^{2}}{2 - x}$ D、过点 $M$ 且与 $O M$ 垂直的直线必与抛物线 $y^{2} = - 8 x$ 相切

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6、已知函数 $f (x) = a x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x (a \in R)$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处取得极值，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $(3 t, t + 1)$ 上单调递增，则实数 $t$ 的取值范围是 $(- \infty, - 2] \cup [\frac{1}{6}, \frac{1}{3}]$ B、 $f (x)$ 有3个零点 C、 $f (x)$ 在 $[- 2, 1]$ 上的最小值为 $- \frac{4}{3}$ D、 $f (x + 1) > f (x - \frac{3}{2})$ 在R上恒成立

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7、下列说法正确的是（）

A、数据 $5$ 、 $8$ 、 $10$ 、 $12$ 、 $13$ 的第 $40$ 百分位数是 $9$ B、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $P (X < - 2) = P (X > 4) = 0.14$ ，则 $P (- 2 < X < 1) < 0.35$ C、 $20$ 张彩票中只有 $2$ 张能中奖，现从中一次性抽取 $n$ 张，若其中至少有一张中奖的概率大于 $0.5$ ，则 $n$ 的最小值为 $6$ D、已知数据 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{6}$ 的平均数为 $6$ ，方差为 $10$ ，现加入 $5$ 和 $7$ 两个数，则这 $8$ 个数的方差 $s^{2} < 8$

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8、已知函数 $f (x) = |\frac{\ln x}{x}|$ ， $a = f (f (4))$ ， $b = f (f (\ln 3))$ ， $c = f (f (e^{\frac{1}{2}}))$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调，在 $x = 1$ 处取得最大值，且 $f (- \frac{1}{2}) + f (1) = 0$ .将曲线 $y = f (x)$ 向左平移1个单位长度，得到曲线 $y = g (x)$ ，则函数 $y = x g (x) - x^{2} - \frac{1}{4}$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的零点个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10、下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \leq 2 x_{1} + 2 x_{2}$ ”的是（）

A、 $f (x) = x + \sin x$ B、 $f (x) = 4 x - x^{3}$ C、 $f (x) = 2 \ln (x + 1)$ D、 $f (x) = x | x |$

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11、已知向量 $\vec{a} = (x, 2 - x)$ ， $\vec{b} = (y, \frac{4}{y})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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12、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且满足 $\sin (\frac{π}{6} - α) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{12}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$

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13、苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为 $2 a$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π a^{3}$ B、 $\sqrt{3} π a^{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π a^{3}$ D、 $4 \sqrt{3} π a^{3}$

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14、已知复数 $z_{1}$ 与 $z = 2 - 4 i$ 在复平面内对应的点关于实轴对称，则 $\frac{z_{1}}{1 - i} =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $3 - i$ D、 $3 + i$

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15、已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} < 5\}$ ， $B = {- 1, 0, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0}$ B、 ${0, 2}$ C、 ${0, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 2}$

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16、在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = 2 A A_{1} = 2$ ， $\vec{A E} = λ \vec{A B_{1}}$ ， $\vec{A_{1} F} = μ \vec{A_{1} D}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ .若 $E F$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $λ μ$ 的最大值是.

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17、小洪从某公司购进6袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）为495，500，500，495，510，500，则这6袋白糖的平均质量为g，这6袋白糖质量的标准差为g.

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18、抛物线 $x - \frac{1}{16} y^{2} = 0$ 的焦点坐标为，准线方程为.

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19、如果函数 $y = f (x)$ 满足以下两个条件，我们就称函数 $y = f (x)$ 为 $U$ 型函数.
①对任意的 $x \in [0, 1]$ ，有 $f (x) \geq 1, f (1) = 3$ ；
②对于任意的 $x, y \in [0, 1]$ ，若 $x + y \leq 1$ ，则 $f (x + y) \geq f (x) + f (y) - 1$ .
求证：

(1)、 $y = 3^{x}$ 是 $U$ 型函数；

(2)、 $U$ 型函数 $y = f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上为增函数；

(3)、对于 $U$ 型函数 $y = f (x)$ ，有 $f (\frac{1}{3^{n}}) \leq \frac{2}{3^{n}} + 1$ （ $n$ 为正整数）.

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20、如图的封闭图形的边缘由抛物线 $Γ$ 和垂直于拋物线对称轴的线段 $A B$ 组成.已知 $A B = 4$ ，拋物线的顶点到线段 $A B$ 所在直线的距离为 $2$ .

(1)、请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘；

(2)、在该封闭图形上截取一个矩形 $C D E F$ ，其中点 $C ､ D$ 在线段 $A B$ 上，点 $E ､ F$ 抛物线 $Γ$ 上.求以矩形 $C D E F$ 为侧面， $C F$ 为母线的圆柱的体积最大值；

(3)、求证：抛物线 $Γ$ 的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上.

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