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相关试卷

1、如图所示，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2,$ $O$ 为 $B C$ 中点， $E, F$ 分别是线段 $A B, A C$ 上的动点，且 $∠ E O F = 150^{\circ}$ ，当 $E F / / B C$ 时，则 $E F^{2}$ 的值为.

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2、“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为 $1$ 的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为．

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3、已知向量 $\vec{a} = (3, 4), \vec{b} = (- 1, 5), \vec{c} = (2, 3)$ ，若 $\vec{a} - \vec{c}$ 与 $t \vec{c} + \vec{b}$ 共线，则实数 $t =$ .

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4、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $sin A = 2 sin B$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，则 $c = 2 \sqrt{2} b$ B、若 $C = 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形 C、若 $△ A B C$ 是等腰三角形，则 $sin B = \frac{\sqrt{15}}{8}$ D、若 $c = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积最大值为3

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5、已知向量 $\vec{a} = (3, - 2)$ ， $\vec{b} = (2, t) (t \in R)$ ，则（）

A、与 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量的坐标为 $(\frac{3}{13}, - \frac{2}{13})$ B、当 $t = 2$ 时， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 C、当 $t = 1$ 时， $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 可作为平面内的一组基底 D、当 $t = 4$ 时， $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $(- \frac{3}{13}, \frac{2}{13})$

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6、若复数 $z = m^{2} - 2 m - 3 + (m^{2} - 1) i， (m \in R)$ ，则下列正确的是（）

A、当 $m = 1$ 或 $m = - 1$ 时，z为实数 B、若z为纯虚数，则 $m = - 1$ 或 $m = 3$ C、若复数z对应的点位于第二象限，则 $1 < m < 3$ D、若复数z对应的点位于直线 $y = 2 x$ 上，则 $z = 12 + 24 i$

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7、一艘船以40海里 $/$ 小时的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东 $30 °$ ， $0.5$ 小时后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东 $75 °$ ，则灯塔S与B之间的距离是（）

A、5海里 B、10海里 C、 $5 \sqrt{2}$ 海里 D、 $10 \sqrt{2}$ 海里

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8、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）

A、 $25 π$ B、 $50 π$ C、 $125 π$ D、都不对

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9、如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则原四边形 $O A B C$ 的面积是（）

A、 $16 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、16 D、8

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10、已知平面向量 $\vec{a} = (- 2, 6)$ 与 $\vec{b} = (- 4, λ)$ 垂直，则 $λ$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、12 D、 $- 12$

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11、已知复数 $z = \frac{3 + i}{2 - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5}$

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12、已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (1 - x) + g (x) = 3$ ， $g (- 2) = 2$ ，且 $f (x + 2)$ 为奇函数， $g (x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $g (x)$ 为奇函数 C、 $f (- 1) = - 1$ D、 $g (x)$ 关于 $x = 1$ 对称

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13、抛物线 $y ^{2} = 4 x$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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14、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，以点 $T (1, f (1))$ 为切点作曲线 $f (x)$ 的切线，求切线方程；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有3个零点；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $(a - 5, 3 - a)$ 上有最小值，求 $a$ 的取值范围．

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15、某林场去年底森林木材储存量为100万 $m^{3}$ ，若树木以每年20%的增长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐x万 $m^{3}$ 木材，记 $a_{n}$ 为第n年年底的木材储存量.

(1)、写出 $a_{1}, a_{2}$ ；写出数列 $\{a_{n}\}$ 的递推公式；

(2)、为了实现经过10年木材储存量翻两番（原来的4倍）的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少?（精确到0.1万 $m^{3}$ ）
参考数据： ${1.2}^{9} = 5.16, {1.2}^{10} = 6.19$ .

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16、已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{2^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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17、如图，某广场内有一半径为 $50 \sqrt{3}$ 米的圆形区域，圆心为 $O$ ，其内接矩形 $A B C D$ 的内部区域为居民的健身活动场所，已知 $A B = 100$ 米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心 $O$ 作直径 $M N$ ，使得 $M N // A B$ ，在劣弧 $\overset{⌢}{M C}$ 上取一点 $E$ ，过点 $E$ 作圆 $O$ 的内接矩形 $E F G H$ ，使 $E F // M N$ ，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设 $∠ M O E = x$ ．
（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为 $f (x)$ （单位：平方米），求 $f (x)$ 的表达式（不需要注明 $x$ 的范围）．
（2）当 $f (x)$ 取最大值时，求 $x$ 的值为．

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18、已知数列 ${a_{n}}$ 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{3} + a_{4} = 7$ ， $a_{5} + a_{6} = 13$ ，则 $a_{7} + a_{8} =$ .

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19、有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有种不同的招聘方案．(用数字作答)

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20、关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，下列判断正确的是（）．

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正实数，使得 $f (x) > k x$ 成立 D、对任意两个正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 4$ ．

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