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相关试卷

1、已知命题 $p : \forall x \in R, |x - 1| < 1$ ，命题 $q : \exists x \in R, x^{2} - x + 1 < 0$ ，则（）

A、命题 $p$ 和命题 $q$ 都是真命题 B、命题 $p$ 的否定和命题 $q$ 都是真命题 C、命题 $q$ 的否定和命题 $p$ 都是真命题 D、命题 $p$ 的否定和命题 $q$ 的否定都是真命题

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2、已知集合 $M = \{x |x > - \frac{3}{2}\}, N = \{x \in Z |- \frac{5}{2} < x < 1\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{x |- \frac{3}{2} < x < 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{0, 1\}$

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3、若有穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 0$ 且 $\sum_{i = 1}^{n} |a_{i}| = 1$ ，则称其为“ $n$ 阶 $0 - 1$ 数列”.

(1)、若“6阶 $0 - 1$ 数列”为等比数列，写出该数列的各项；

(2)、若某“ $2 k + 1$ 阶 $0 - 1$ 数列”为等差数列，求该数列的通项 $a_{n}$ （ $1 \leq n \leq 2 k + 1$ ，用 $n, k$ 表示）；

(3)、记“ $n$ 阶 $0 - 1$ 数列” $\{a_{n}\}$ 的前 $k$ 项和为 $S_{k} (k = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，若存在 $m \in \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ，使 $S_{m} = \frac{1}{2}$ ，试问：数列 $\{S_{i}\} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 能否为“ $n$ 阶 $0 - 1$ 数列”？若能，求出所有这样的数列 $\{a_{n}\}$ ；若不能，请说明理由.

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为 $k$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $k = 1$ ，求 $|A B|$ 的最大值；

(3)、设 $O$ 为坐标原点，若 $A, B, O$ 三点不共线，且 $O A, O B$ 的斜率满足 $k_{O A} \cdot k_{O B} = k^{2}$ ，求证： $| O A |^{2} + | O B |^{2}$ 为定值.

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5、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = B C = 2 \sqrt{3}, P C = A B = 6, P B = \sqrt{30}, ∠ A B C = 90^{\circ}, D$ 为 $A C$ 上的动点.

(1)、若 $A D = \sqrt{3}$ ，求证： $P D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若平面 $P A D$ 与平面 $P B D$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $C D$ 的长.

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6、已知函数 $f (x) = x e^{- x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、已知函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称.证明：当 $x > 1$ 时，不等式 $f (x) > g (x)$ 恒成立.

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7、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 满足 $(1 - tan A) (1 - tan B) = 2$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $B C$ 边上的高等于 $\frac{1}{3} B C$ ，求 $cos A$ .

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8、将编号为 $1, 2, 3, 4, 5$ 的5个小球随机放置在圆周的5个等分点上，每个等分点上各有一个小球.则使圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和最小的放法的概率为.

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9、已知函数 $f_{n} (x) = {sin}^{2 n} x + {cos}^{2 n} x (n \in N^{*})$ ，记 $f_{n} (x)$ 的最小值为 $a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{7}{8}$ B、 $\forall n \in N^{*}, f_{n} (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、 $f_{n} (x) \leq 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + a_{i}) < 2$

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10、在平面直角坐标系中， $A (2, 0), B (0, 2)$ ，则下列曲线中存在两个不同的点 $M, N$ 使得 $|M A| = |M B|$ 且 $|N A| = |N B|$ 的有（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - y^{2} = 1$ D、 $y^{2} = 2 x$

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11、某班有男生30人，女生20人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为 $\bar{x_{1}}, \bar{x_{2}} (\bar{x_{1}} \neq \bar{x_{2}})$ ；方差分别为 $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ ，该班成绩的均分和方差为 $\bar{x}, s^{2}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\bar{x} = \frac{3}{5} \bar{x_{1}} + \frac{2}{5} \bar{x_{2}}$ B、 $\bar{x} > \frac{3}{5} \bar{x_{1}} + \frac{2}{5} \bar{x_{2}}$ C、 $s^{2} = \frac{3}{5} s_{1}^{2} + \frac{2}{5} s_{2}^{2}$ D、 $s^{2} > \frac{3}{5} s_{1}^{2} + \frac{2}{5} s_{2}^{2}$

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12、设函数 $f (x) = (2 a - x) ln (x + b)$ ，若 $f (x) \leq 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线的右支交于 $A, B$ 两点，若 $△ A B F_{1}$ 的周长为 $10 a$ ，则双曲线离心率的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{6}}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{\sqrt{10}}{2}, + \infty)$ C、 $(1, \frac{\sqrt{6}}{2}]$ D、 $(1, \frac{\sqrt{10}}{2}]$

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14、已知 $sin α = 2 sin (α + 2 β)$ ，且 $tan β = 2$ ，则 $tan (α + β) =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 2$ C、2 D、6

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15、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a}$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - \frac{1}{4}, a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、5

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17、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 3) = 0.2$ ，则 $P (1 < X \leq 3) =$ （）

A、0.8 B、0.6 C、0.4 D、0.3

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18、已知 $2 - i$ （ $i$ 是虚数单位）是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = 0 (b, c \in R)$ 的一个根，则 $b + c =$ （）

A、9 B、1 C、 $- 7$ D、 $2 i - 5$

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19、已知全集 $U = A \cup B = \{x \in N ∣ 0 \leq x \leq 6\}, (∁_{U} A) \cap B = \{2, 4, 6\}$ ，则集合 $A =$ （）

A、 $\{3, 5\}$ B、 $\{0, 3, 5\}$ C、 $\{1, 3, 5\}$ D、 $\{0, 1, 3, 5\}$

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20、定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列 $1, 2, 3$ 经过第一次“和扩充”后得到数列 $1, 3, 2, 5, 3$ ；第二次“和扩充”后得到数列 $1, 4, 3, 5, 2, 7, 5, 8, 3$ .设数列 $a, b, c$ 经过 $n$ 次“和扩充”后得到的数列的项数为 $P_{n}$ ，所有项的和为 $S_{n}$ .

(1)、若 $a = 2, b = 3, c = 4$ ，求 $P_{2}, S_{2}$ ；

(2)、若 $P_{n} \geq 2024$ ，求正整数 $n$ 的最小值；

(3)、是否存在数列 $a, b, c (a, b, c \in R)$ ，使得数列 $\{S_{n}\}$ 为等比数列？请说明理由.

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