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相关试卷

1、已知： $p : \frac{1}{x - 2} \geq 1, q : {log}_{2} (x - a) \geq 1$ ．若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 1]$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 1]$

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2、已知复数 $z$ 满足 $z (2 + i^{7}) = - 3 i + 4$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ .

(1)、求 $f (1)$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(3)、证明： $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减.

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4、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为R ，且对任意 $a, b \in R$ ，都有 $f (a + b) = f (a) + f (b)$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ 恒成立．

(1)、判定并证明函数 $y = f (x)$ 在R上的单调性；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 的奇偶性；

(3)、若 $f (x^{2} - 2) + f (x) < 0$ ，求x的取值范围．

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ ，满足 $f (0) = f (1) = 1$ .

(1)、求 $b, c$ 值；

(2)、在 $[- 1, 1]$ 上，函数 $f (x)$ 的图象总在一次函数 $y = 2 x + m$ 的图象的上方，试确定实数m的取值范围；

(3)、设当 $x \in [t, t + 2] (t \in R)$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $g (t)$ ，求 $g (t)$ 的解析式.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4} (a, b \in R)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{5}, f (2) = \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上的单调性，并根据定义证明.

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7、已知 $f (x) = a x^{5} + b x^{3} + c x - 16$ ，且 $f (- 2) = 10$ ，则 $f (2) =$ ．

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8、函数 $f (x) = x - 4 \sqrt{x} + m,$ 当 $0 \leq x \leq 9$ 时， $f (x) \geq 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为

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9、函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是．

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10、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ， $f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ；③ $f (- 1) = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (3) > f (- 4)$ B、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (- \infty, 3)$ C、若 $\frac{f (x)}{x} > 0$ ，则 $x \in (- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $\exists M \in R$ ，使得对 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq M$ 恒成立

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11、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增．若 $f (3 + m) + f (3 m - 7) > 0$ ，则m的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 7, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{array}$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的增函数，则a的取值范围是（）

A、 $[- 4, 0)$ B、 $[- 4, - 2]$ C、 $(- \infty, - 2]$ D、 $(- \infty, 0)$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 3 x + 5, x \leq 1 \\ - 2 x^{2} + 8, x > 1 \end{matrix}$ ，则 $f (f (2))$ 的值为（）

A、11 B、0 C、5 D、4

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14、下列函数中，在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = 3 - x$ B、 $f (x) = x^{2} - 3 x$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = - | x |$

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15、不等式 $(\frac{1}{2} - x) (\frac{1}{3} - x) > 0$ 的解集是（）

A、 $\{x |\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\}$ B、 $\{x |x > \frac{1}{2}\}$ C、 $\{x |x < \frac{1}{3}\}$ D、 $\{x | x < \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}\}$

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16、椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $l_{1}$ 交E于 $A, B$ 两点．过 $F_{2}$ 作垂直于直线 $l_{1}$ 的直线 $l_{2}$ 交E于 $C, D$ 两点．直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点P．

(1)、若直线 $l_{1}$ 的斜率为1，求直线 $l_{2}$ 的方程．

(2)、求点P的轨迹方程．

(3)、求四边形 $A C B D$ 面积的取值范围．

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17、设数列 $\{a_{n}\}$ 是一个无限数列，若对于一个给定的正整数 $k$ ，不等式 $a_{n - k} + a_{n + k} > 2 a_{n}$ 对每一个大于 $k$ 的正整数 $n$ 都成立，则称 $\{a_{n}\}$ 是 $k$ 阶友好数列.

(1)、若 $a_{n} = n^{2} + 3 n + {(- 1)}^{n}$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 是2阶友好数列，但不是1阶友好数列.

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 是1阶友好数列， $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.
证明：① $a_{n + 2} - a_{n + 1} > a_{2} - a_{1}$ ；
② $(n + 2) (a_{1} + a_{n + 2}) > 2 S_{n + 2}$ .

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18、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A P ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ ， $M$ 分别是 $B C$ ， $P B$ 的中点， $A P = A C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = \sqrt{3}$ .延长 $A D$ 至点 $E$ ，使得 $A E = 2 A D$ ，连接 $M E$ .

(1)、证明： $M E ⊥ B C$ ；

(2)、求二面角 $B - A M - E$ 的余弦值；

(3)、若点 $N$ ， $Q$ 分别是直线 $A E$ ， $P C$ 上的动点，求 $N Q$ 的最小值.

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19、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + (t - 1) x^{2} + 1$ .

(1)、若 $t = \frac{1}{2}$ ，求证： $f (x) < 1$ ；

(2)、若 $t \in Z$ 且 $f (x) + 2 t x < 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求 $t$ 的最大值.

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20、如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A, C$ 为椭圆上两点（均位于 $x$ 轴上方），且满足 $A F_{1} // C F_{2}$ ， $△ A F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为2，椭圆的离心率小于 $\frac{1}{2}$ ，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、求证： $\frac{1}{|A F_{1}|} + \frac{1}{|C F_{2}|}$ 为定值.

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