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相关试卷

1、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 8$ ， $M N$ 为圆C的动弦，且满足 $|M N| = 4$ ， $G$ 为弦 $M N$ 的中点，两动点 $P, Q$ 在直线 $l : y = x - 4$ 上，且 $|P Q| = 4$ ， $M N$ 运动时， $∠ P G Q$ 始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (8, + \infty)$ C、 $(0, 4)$ D、 $(0, 8)$

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2、两个曲线方程 $C_{1}$ ： $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ ， $C_{2}$ ： $x^{4} + y^{4} = 1$ ，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（　　）

A、曲线 $C_{1}$ 关于y＝x对称 B、曲线 $C_{2}$ 关于原点对称 C、曲线 $C_{2}$ 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 $S_{1} < \frac{1}{2}$ D、曲线 $C_{2}$ 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 $S_{2} < \frac{π}{4}$

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3、如图，椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，正六边形 $A B F_{2} C D F_{1}$ 的一边 $F_{2} C$ 的中点恰好在椭圆 $Γ$ 上，则椭圆 $Γ$ 的离心率是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} - 1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{13} - 1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{14} - 1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15} - 1}{3}$

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4、点 $P (- 2, - 1)$ 到直线 $l : m x + y - m - 1 = 0 (m \in R)$ 的距离最大时，直线 $l$ 的方程为（　　）

A、 $2 x - 3 y - 2 = 0$ B、 $3 x + 2 y + 8 = 0$ C、 $3 x + 2 y - 5 = 0$ D、 $2 x - 3 y + 1 = 0$

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5、设 $a \in R$ ，则“ $a = \frac{3}{2}$ ”是直线 $l_{1}$ ： $x + 2 a y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $(a - 1) x + a y + 1 = 0$ 平行的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率 $K = \frac{|f^{″} (x)|}{{(1 + {[f^{'} (x)]}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

(1)、求曲线 $f (x) = \ln x + x$ 在 $(1, 1)$ 处的曲率 $K_{1}$ 的平方；

(2)、求余弦曲线 $h (x) = \cos x (x \in R)$ 曲率 $K_{2}$ 的最大值；

(3)、余弦曲线 $h (x) = \cos x (x \in R)$ ，若 $g (x) = e^{x} h (x) + x h^{'} (x)$ ，判断 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上零点的个数，并写出证明过程.

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7、某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从7名社员中随机选择2名参加友谊赛.新学年友谊赛从10月份开始，此时7名社员中有3名新社员没有参加过此前的友谊赛.

(1)、设10月份参加比赛的新社员的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布与期望；

(2)、求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率.

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，M，N分别为棱AB， $C_{1} C$ 的中点， $Δ A B C$ 为等腰直角三角形，且 $A_{1} A = A C = B C = 2$ .

(1)、证明： $A B ⊥ M N$ ；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $B_{1} M N$ 的距离.

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9、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上的一点，且 $\vec{P F_{1}} ⊥ \vec{P F_{2}}$ ，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为9，则 $b$ 的值为．

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10、多项式 ${(2 a - b)}^{2} {(a + b)}^{8}$ 的展开式中， $a^{3} b^{7}$ 的系数是.

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11、若 $f (x) = x^{3} - f^{'} (1) x^{2} + x + 5$ ，则 $f^{'} (1) =$ .

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12、若直线 $l : x - 2 cos θ \cdot y = 0$ 与圆 $E : x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt{2} x - 1 = 0$ 交于两点 $A, B$ ，则（）

A、当 $cos θ = \frac{1}{2}$ 时，直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ B、圆 $E$ 的圆心坐标为 $(- 2 \sqrt{2}, 0)$ C、圆 $E$ 的半径为3 D、 $|A B|$ 的取值范围是 $[2, \frac{2 \sqrt{185}}{5}]$

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13、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $B B_{1}, D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $O C ⊥ O F$ B、CE与OF所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $A, E, C_{1}, F$ 四点共面 D、 $△ A E F$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$

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14、若“ $\exists x \in M, 0 < x < 3$ ”为真命题，“ $\forall x \in M, x < 2$ ”为假命题，则集合 $M$ 可以是（）

A、 $\{x |x < 0\}$ B、 $\{x |0 \leq x \leq 1\}$ C、 $\{x |1 < x < 3\}$ D、 $\{x |x \leq 1\}$

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15、已知 $m, n \in (0, + \infty)$ ， $\frac{1}{m} + n = 4$ ，则 $m + \frac{9}{n}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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16、泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为 $P (x = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} (k = 0, 1, 2, \dots)$ ，其中e为自然对数的底数， $λ$ 是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中 $λ = n p$ ．一般地，当 $n \geq 20$ 而 $p \leq 0.05$ 时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量 $X ~ B (1000, 0.001)$ ， $P (X \geq 2)$ 的近似值为（）

A、 $1 - \frac{1}{e}$ B、 $1 - \frac{2}{e}$ C、 $1 - \frac{e}{4}$ D、 $1 - \frac{1}{e^{2}}$

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17、若双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，且点 $F (2, 0)$ 到双曲线 $C$ 的一条渐近线的距离为 $1$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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18、下列说法正确的是（）

A、一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B、根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 4.712$ ，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验 $(x_{0.05} = 3.841)$ ，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 C、“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D、若随机变量 $ξ$ ， $η$ 满足 $η = 3 ξ - 2$ ，则 $D (η) = 3 D (ξ) - 2$

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19、某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程 $ξ \sim N (60, σ^{2})$ ，若 $P (ξ \leq 50) = 0.010$ ，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（）

A、10辆 B、100辆 C、180辆 D、900辆

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20、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2}$ ， $g (x) = x^{3} - \frac{1}{2} (a + 3) x^{2} + a x$ （其中 $e$ 是自然对数的底数， $a \in R$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极值，求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 均存在极值点，且函数 $g (x)$ 的极值点均大于 $f (x)$ 的极值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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