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相关试卷

1、圆锥 $P O$ 的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.

(1)、一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；

(2)、过 $P O$ 的中点 $O_{1}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.

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2、已知复数 $z = 1 + m i (m \in R)$ ，且 $\bar{z} (3 + i)$ 为纯虚数

(1)、求实数 $m$ 及 $|z|$ ；

(2)、若 $z$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，求 $2 p + q$ 的值.

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3、正六边形的边长为1，顶点依次为 $A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{6}$ ，若存在点 $P$ 满足 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P A_{2}} = 0$ ，则 $|\vec{P A_{1}} + \vec{P A_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \vec{P A_{6}}|$ 的最大值为.

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4、已知 $a, b \in R$ ，复数 $z_{1} = a + i$ ， $z_{2} = - b - i$ ，且 $z_{1} + z_{2} = 0$ ，若 $z = a + b i$ ，则 $|z - \sqrt{3} i|$ 的最小值.

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5、在 $△ A B C$ 中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，小明刚学习完三角形中的相关定理后自主推导出了三角形面积公式 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} ■ \frac{\sin B \sin C}{\sin A}$ ，则■处应该填写.（用三角形已知边角表示）

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6、数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中一个，所谓等腰四面体就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”下列说法正确的（）

A、“等腰四面体”各个面都是全等的锐角三角形 B、若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的体积是 $\sqrt{95}$ C、若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的内切球半径为 $\frac{\sqrt{570}}{24}$ D、若“等腰四面体”三组对棱长度分别为a，b，c，则四面体的外接球半径为 $\frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

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7、有下列说法，其中正确的说法为（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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8、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为 $△ A B C$ 的内心，若 $a cos B - b cos A = c - b$ ，且 $\vec{A I} = \frac{\sqrt{3}}{3} \vec{I B} + \frac{λ}{3} \vec{I C}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $3 - \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9、已知 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 2$ ，且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 夹角为 $\frac{π}{3}$ ，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的最小值为（）

A、-8 B、-4 C、-2 D、2

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10、用斜二测画法画水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .已知 $O^{'}$ 是斜边 $B^{'} C^{'}$ 的中点，且 $O^{'} A^{'} = 1$ ，则 $△ A B C$ 边 $B C$ 的高为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、4

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11、下列说法正确的是（）

A、有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B、如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 C、棱台的各侧棱延长后必交于一点 D、以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台

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12、若 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，其中i是虚数单位，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、i C、 $- 1$ D、 $- i$

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13、已知 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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14、为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目．为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：

不少于5本
少于5本
合计
活动前
35
65
100
活动后
60
40
100
合计
95
105
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析举办该读书活动对学生阅读文学名著是否有促进作用；

(2)、已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，现从6本名著中随机抽取3本在上半年读完，求上半年读完的国内名著本数 $X$ 的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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15、已知 $m \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{cases} x + 6 m - 8, x \geq 1 \\ - x^{2} + m x + m^{2}, x < 1 \end{cases}$
（1）若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $m$ 的取值范围为；
（2）若对于任意实数 $a$ ，方程 $f (x) = a$ 有且只有一个实数根，且 $f (2) < 8$ ，函数 $y = |f (x)|$ 的图象与函数 $y = m x + t$ 的图象有三个不同的交点，则 $t$ 的取值范围为.

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16、已知抛物线方程为 $4 y = x^{2}$ ，则抛物线的准线方程为．

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17、已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，对于任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + 4) = f (x)$ 成立，当 $x \in [0, 2)$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，给出下列结论，其中正确的是（）

A、 $f (2) = 0$ B、点 $(4, 0)$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一个对称中心 C、函数 $f (x)$ 在 $[- 6, - 2]$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $[- 6, 6]$ 上有 $3$ 个零点

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - m - ln (x + m)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq - 1$ B、 $m \leq 1$ C、 $- 1 \leq m \leq 1$ D、 $- 1 \leq m \leq 2$

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19、已知 $\cos (β - α) = \frac{3}{5}$ ， $\tan α \tan β = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $- \frac{2}{25}$ B、 $\frac{23}{25}$ C、 $\frac{2}{25}$ D、 $- \frac{23}{25}$

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20、某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这 $5$ 个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{6}{7}$

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	不少于5本	少于5本	合计
活动前	35	65	100
活动后	60	40	100
合计	95	105	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828