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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, x < 0, \\ e^{x} + ln (x + 1), x \geq 0, \end{array}$ 则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2、在复平面内，复数 $z = \frac{5 i}{1 - 2 i}$ 对应的点的坐标为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, i)$ D、 $(2, - i)$

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3、设函数 $f (x) = \frac{\ln (x + 1)}{e^{x}}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的极值点个数；

(3)、若 $x > 0$ 时， $\frac{f (x)}{x} > k$ ，求 $k$ 的取值范围．

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4、甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是 $\frac{1}{2}$ 和 $p$ ，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，
（i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；
（ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.

(2)、若 $\frac{1}{2} \leq p \leq \frac{2}{3}$ ，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为2的等比数列， $a_{3}, a_{4}, a_{5} - 8$ 成等差数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{\log_{2} a_{n}}{a_{n}}$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{2} \leq T_{n} < 2$ ．

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6、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = A B = A A_{1}$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $N$ 是 $A C$ 的中点．

(1)、证明：直线 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C_{1} N$ .

(2)、求平面 $B C_{1} N$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值．

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7、我们称 $n$ （ $n$ 为正整数）元有序实数组 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 为 $n$ 维向量， $|x_{1}| + |x_{2}| + \dots + |x_{n}|$ 为该向量的范数.已知 $n$ 维向量 $\vec{a} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，其中 $x_{i} \in \{- 1, 0, 1\} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，记范数为奇数的 $\vec{a}$ 的个数为 $A_{n}$ ，则 $A_{9} =$

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8、假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占 $60 %$ ，乙厂产品占 $40 %$ ，甲厂产品的合格率是 $90 %$ ，乙厂产品的合格率是 $80 %$ .在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为．

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9、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $\sin α =$ .

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10、已知无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{2024} < S_{2025}$ 且 $S_{2025} > S_{2026}$ ，则（）

A、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}$ 最大 B、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2025}$ 最大 C、 $a_{2026} > 0$ D、当 $n \geq 2026$ 时， $a_{n} < 0$

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11、甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A、如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 B、如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 C、如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 D、如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种

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12、有甲、乙两个盒子，甲盒子里有 $1$ 个红球，乙盒子里有 $3$ 个红球和 $3$ 个黑球，现从乙盒子里随机取出 $n (1 \leq n \leq 6, n \in N^{*})$ 个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为 $ξ$ 个，则随着 $n (1 \leq n \leq 6, n \in N^{*})$ 的增加，下列说法正确的是（）

A、 $E ξ$ 增加， $D ξ$ 增加 B、 $E ξ$ 增加， $D ξ$ 减小 C、 $E ξ$ 减小， $D ξ$ 增加 D、 $E ξ$ 减小， $D ξ$ 减小

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13、直线 $y = k x + 3$ 与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相交的充分不必要条件可以是（）

A、 $k^{2} > 3$ B、 $k^{2} < 3$ C、 $k > 2$ D、 $k > 1$

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14、函数 $f (x) = (x + 1) e^{2 x}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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15、球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（）

A、9倍 B、18倍 C、27倍 D、81倍

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16、 $A_{5}^{2} + C_{4}^{2} =$ （）

A、24 B、26 C、30 D、32

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ .

(1)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} - 1$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ；

(3)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 2025$ ，求满足条件的最大整数 $n$ .

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2} (a \neq 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时， $g (x) = f (x) - 2 x + b$ ，讨论 $g (x)$ 的零点个数.

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19、两个数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ ， $a_{1} = b_{1} = 1$ ，已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列且 $a_{4} = 8$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，又满足 $S_{n} = n^{2} (n \geq 2)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 8$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - 4 a_{n}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为；若 $b_{n} = \{\begin{cases} \frac{n}{a_{n}}, n = 2 k - 1, k \in N^{*} \\ \log_{2} \frac{n}{a_{n}}, n = 2 k, k \in N^{*} \end{cases}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} =$ .

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