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相关试卷

1、（多选）下列四个命题，错误的是（）

A、两个复数不能比较大小 B、若复数z满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若实数a与 $a i$ 对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D、纯虚数集相对复数集的补集是虚数集

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2、葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为 $\sqrt{13}$ ，记两球心分别为 $O_{1}, O_{2}$ ， $P$ 为两个球面交线上一点，则 $\vec{P O_{1}} \cdot \vec{P O_{2}} =$ （）

A、6 B、5 C、7 D、8

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3、在菱形 $A B C D$ 中，点 $M, N$ 满足 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}, \vec{B N} = \vec{N M}$ ，则 $\vec{D N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{5}{6} \vec{A D}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, m), \vec{b} = (m, 4)$ ，则“ $m = 2$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到 $A$ 处时测得公路北侧一铁塔底部 $C$ 在西偏北 $30 °$ 的方向上，行驶200m后到达 $B$ 处，测得此铁塔底部 $C$ 在西偏北 $75 °$ 的方向上，塔顶 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，则此铁塔的高度为（）

A、 $\frac{100 \sqrt{6}}{3} m$ B、 $50 \sqrt{6} m$ C、 $100 \sqrt{3} m$ D、 $100 \sqrt{2} m$

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6、已知向量 $\vec{a} = (2, 2), \vec{b} = (cos θ, sin θ) (θ \in R)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、-2 D、 $- 2 \sqrt{2}$

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7、设复数 $2 + i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a x + b = 0 (a, b \in R)$ 的一个根，则 $a b =$ （）

A、20 B、15 C、10 D、8

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8、复数 $\frac{1 + i}{i^{2026}} =$ （）．

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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9、已知斜率为 $k$ 的直线交椭圆 $3 x^{2} + y^{2} = λ$ （ $λ \in R$ 且 $λ > 0$ ）于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点 $N (x_{0}, 3)$ 是线段AB的中点.

(1)、若 $x_{0} = 2$ ，求 $λ$ 的取值范围；

(2)、求 $x_{0} + k$ 的值；

(3)、证明：无论 $λ$ 怎么变化，都存在A，B，C，D四点共圆，并求圆心的坐标.

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10、如图，在四面体ABCD中， $B C = \sqrt{2} A D = 2, A C = 1, ∠ C A D = ∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，点E，F分别是CD，AB的中点.

(1)、证明： $E F ⊥ A C$ ；

(2)、若二面角 $B - A C - D$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，求直线EF与平面BCD所成角的大小.

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11、已知函数 $f (x) = e x - a \sin x, x \in [0, \frac{π}{2}), a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 存在极值，求a的取值范围.

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12、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = - a b$ ，且 $b \sin C = 2 \sqrt{3} \sin B$ .

(1)、求角C及边c的值；

(2)、求 $a + b$ 的最大值.

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13、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到其准线的距离为 $\frac{3}{2}$ ，若等边三角形 $A_{n - 1} A_{n} B_{n} (n \in N^{*})$ 的边 $A_{n - 1} A_{n}$ 在x轴的非负半轴上， $A_{0}$ 与原点O重合，点 $A_{n}$ 的横坐标大于点 $A_{n - 1}$ 的横坐标，位于第一象限的点 $B_{n}$ ，在抛物线C上，则 $|A_{n - 1} A_{n}| =$ .（用含n的式子表示）

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14、若函数 $f (x) = \ln \frac{2 x + a}{1 - x} - b$ 是奇函数，则 $b =$ .

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15、 ${(2 x + 1)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为.

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16、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $B C$ 的中点， $N$ 是棱 $D D_{1}$ 上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（）

A、点 $N$ 到平面 $A_{1} A M$ 的距离为定值 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，则四面体 $D_{1} - A M N$ 的外接球的表面积为 $14 π$ C、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，则过 $A, M, N$ 的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面图形的周长为 $\frac{7 \sqrt{5}}{2}$ D、若 $C N$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\sin θ \in [\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$

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17、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且 $∠ N A_{1} M = \frac{5 π}{6}$ ，则（）

A、 $∠ A_{1} M A_{2} = \frac{π}{6}$ B、 $|M A_{1}| = 2 |M A_{2}|$ C、C的离心率为 $\sqrt{13}$ D、当 $a = \sqrt{2}$ 时，四边形 $N A_{1} M A_{2}$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$

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18、下列命题中，正确的是（）

A、数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 B、若回归方程为 $y = - 0.45 x + 0.6$ ，则变量y与x成负相关 C、若随机变量X服从正态分布 $N (3, σ^{2}), P (X \leq 4) = 0.64$ ，则 $P (2 \leq X \leq 3) = 0.07$ D、样本相关系数，有时也称样本线性相关系数， $| r |$ 刻画了样本点集中于某条直线的程度，当 $r = 0$ 时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系

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19、已知互不相等的实数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ ，满足 $(a_{1} + b_{i}) (a_{2} + b_{i}) (a_{3} + b_{i}) + 1 = 0 (i = 1, 2, 3)$ ，记 $m_{i} = (a_{i} + b_{1}) (a_{i} + b_{2}) (a_{i} + b_{3}) (i = 1, 2, 3)$ ，则 $m_{1} + m_{2} + m_{3}$ 等于（）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、 $- 3$

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20、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 2$ ，二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，若 $A C = 2 B C$ ，则点 $C$ 到平面 $P A B$ 的距离的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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