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相关试卷

1、如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 $a$ 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 $P$ ，如果将容器倒置，水面也恰好过点 $P$ （图（2））．下列四个命题中，正确的有（）

A、正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B、在图1容器中，若往容器内再注入 $\frac{1}{2} a$ 升水，则水面高度是容器高度的 $\frac{4}{5}$ C、将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 $P$ D、任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 $P$

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2、已知复数 $z_{1} = 2 - i$ ， $z_{2} = 2 + i$ ，则（）

A、 $z_{1} - z_{2}$ 为纯虚数 B、复数 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第四象限 C、 $z_{1} \cdot \bar{z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot z_{2}$ （注意： $\bar{z}$ 表示复数 $z$ 的共轭复数） D、满足 $|z - z_{1}| = |z - z_{2}|$ 的复数 $z$ 在复平面内对应的点的轨迹为直线

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3、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为球面上四点， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点，以 $M N$ 为直径的球称为 $A B$ ， $C D$ 的“伴随球”，若三棱锥 $A - B C D$ 的四个顶点在表面积为 $64 π$ 的球面上，它的两条边 $A B$ ， $C D$ 的长度分别为 $2 \sqrt{7}$ 和 $4 \sqrt{3}$ ，则 $A B$ ， $C D$ 的伴随球的体积的取值范围是（）

A、 $[\frac{4 π}{3}, \frac{500 π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{125 π}{6}]$ C、 $[\frac{π}{6}, \frac{125 π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{6}, \frac{125 π}{6}]$

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4、法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数 $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ， $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ ，（ $r_{1}$ ， $r_{2} > 0$ ）则 $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})]$ ．设 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 $z^{2024}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 的平分线交 $B C$ 于 $D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 1$ ， $A C = 2$ ，则 $\cos ∠ B A C =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 夹角的正弦值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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7、已知水平放置的四边形 $A B C D$ 的斜二测直观图为矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 1$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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8、设向量 $\vec{m} = (a, 1)$ ， $\vec{n} = (a + 2, - 3)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1或 $- 3$ D、 $- 1$ 或3

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9、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{3 (\sin A - \sin B)}{\sin C} = \frac{3 c - 2 b}{a + b}$ ．

(1)、求 $\sin A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{16}{3} \sqrt{2}$ ．
①已知 $E$ 为 $B C$ 的中点，求 $△ A B C$ 底边 $B C$ 上中线 $A E$ 长的最小值；
②求内角A的角平分线 $A D$ 长的最大值．

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10、已知复数 $z_{1} = a + i$ ， $z_{2} = 1 - a i$ ，（ $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位）．

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $z_{1}$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的根，求实数 $a$ 的值；

(3)、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，且 $z_{1}^{2} + m z_{1} + n$ $(m, n \in R)$ 是实数，求实数 $m$ 的值．

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11、如图， $A B$ 是圆柱的底面直径， $A B = 2, P A$ 是圆柱的母线且 $P A = 2$ ，点 $C$ 是圆柱底面圆周上的点．

(1)、求圆柱的侧面积和体积；

(2)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(3)、若 $A C = 1, D$ 是 $P B$ 的中点，点 $E$ 在线段 $P A$ 上，求 $C E + E D$ 的最小值．

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12、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点都在表面积为 $100 π$ 的球 $O$ 的表面上，若 $A D$ 是球 $O$ 的直径，且 $B C = 4$ ， $∠ B A C = 150 °$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 体积的最大值为．

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13、“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 15^{\circ}$ ， $∠ B D C = 135^{\circ}$ ， $C D = 20 m$ ，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，则塔高 $A B =$ $m$ ．

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14、已知复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z + 3 - 4 i|$ （ $i$ 为虚数单位）的最大值为．

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15、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点，沿 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，点 $A$ 折至 $A_{1}$ 处（ $A_{1} \notin$ 平面 $A B C D$ ），若 $M$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，平面 $A_{1} D E$ 与平面 $D E B C$ 所成锐二面角 $α$ ，直线 $A_{1} E$ 与平面 $D E B C$ 所成角为 $β$ ，则在 $△ A D E$ 折起过程中，下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使得 $B M ⊥ A_{1} D$ B、 $△ A_{1} E C$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sin α = \sqrt{2} \sin β$ D、三棱锥 $A_{1} - E D C$ 体积最大时，三棱锥 $A_{1} - E D C$ 的外接球的表面积 $16 π$

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16、三棱锥 $P - A B C$ 的侧棱 $P A, P B, P C$ 上分别有三点E，F，G，且 $\frac{P E}{E A} = 1, \frac{P F}{F B} = \frac{1}{2}, \frac{P G}{G C} = \frac{1}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 与 $P - E F G$ 的体积之比是（）

A、6 B、8 C、12 D、24

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17、如图，在直三棱柱 $A B D - A_{1} B_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1}, ∠ A B D = 45 °$ ， P为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，则直线 $P B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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18、水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图，其中 $B^{'} O^{'} = C^{'} O^{'} = 1$ ， $A^{'} O^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，那么原 $△ A B C$ 是一个（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、三边中只有两边相等的等腰三角形 D、三边互不相等的三角形

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19、复数 $z = \frac{5}{1 - 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $A C \cap B D = O$ ， $P O ⊥$ 底面ABCD， $P O = 2$ ，点E在棱PD上，且 $C E ⊥ P D$ .

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面ACE；

(2)、求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值.

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