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相关试卷

1、如图 $A 、 B$ 是在沿海海面上相距 $15 + 5 \sqrt{3}$ 海里的两个哨所， $B$ 位于 $A$ 的正南方向. $A$ 哨所在凌晨1点发现其南偏东 $30^{\circ}$ 方向处有一艘走私船，同时， $B$ 哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于 $A$ 点南偏西 $30^{\circ}$ 的 $D$ 点，且 $A$ 与 $D$ 相距 $20 \sqrt{3}$ 海里，试求：

(1)、刚发现走私船时，走私船与哨所 $A$ 的距离；

(2)、刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？

(3)、若缉私艇得知走私船以 $10 \sqrt{3}$ 海里/时的速度从 $C$ 向北偏东 $15^{\circ}$ 方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？

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2、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形，且 $B C = D C = D B = A A_{1} = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证：直线 $D E ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $D_{1} D C C_{1}$ 的距离；

(3)、求直线 $B D_{1}$ 与平面 $D_{1} D C C_{1}$ 所成角的正弦值.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $a sin C = c sin B, C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $B C$ 边上中线的长．

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4、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，其中 $\vec{a} = (3, 4)$ .

(1)、若 $\vec{c}$ 为单位向量，且 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\vec{b}| = \sqrt{5}$ 且 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值.

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5、如图在棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $A D, A A_{1}$ 中点， $P$ 在侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上（包括边界），且满足三棱锥 $P - B E F$ 的体积等于9，则 $P C_{1}$ 的长度的取值范围.

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6、如图，已知某平面图形的斜二测画法直观图是边长为2的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则该平面图形的周长为.

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7、已知 $\vec{b}$ 为一个单位向量， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 120 °$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影为 $- 2 \vec{b}$ ，则 $|\vec{a}| =$ .

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8、如图， $A C$ 为正圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径，点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A C$ 的动点， $S O = O C = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $4 \sqrt{2} π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ C、 $∠ S A B$ 的取值范围是 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ D、三棱锥 $S - A B C$ 体积最大时，其内切球半径为 $4 - 2 \sqrt{3}$

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c = \sqrt{2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $B = \frac{π}{4}$ ， $1 < b < \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $B \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $b > \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 无解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $B = 2 C$ ，则 $C \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ D、若 $A + B = 2 C$ ，则 $a + b$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$

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10、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点， $P$ 为 $A D_{1}$ 与 $A_{1} D$ 的交点， $A B = 4$ ， $B C = B B_{1} = 2$ ，四面体 $P - M N C$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $9 π$ B、 $18 π$ C、 $24 π$ D、 $27 π$

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11、如图所示，已知点G是 $△ A B C$ 的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设 $\vec{A M} = x \vec{A B}, \vec{A N} = y \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，则平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、9 D、18

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13、四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为 $40 c m, 20 c m$ ，高为 $24 c m$ ），则四羊方尊的容积约为（　　）

A、 $22400 {c m}^{3}$ B、 $32400 {c m}^{3}$ C、 $44800 {c m}^{3}$ D、 $67200 {c m}^{3}$

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14、△ABC中， $\frac{\cos A}{\cos B} = \frac{a}{b}$ ，则△ABC一定是

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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15、已知底面半径为 $2$ 的圆锥的体积为 $8 π$ ，则圆锥的高为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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16、在复数范围内，方程 $(x + 4) (x^{2} + 4) = 0$ 的解集为．

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17、在高为3的正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 4$ ，且上底面的面积为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、直线 $A A_{1}$ 与 $C C_{1}$ 异面 B、直线 $A B$ 与 $B_{1} C_{1}$ 异面 C、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $7 \sqrt{3}$ D、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $8 \sqrt{3}$

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18、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 表示水平放置的 $△ O A B$ 根据斜二测画法得到的直观图， $O^{'} A^{'}$ 在 $x^{'}$ 轴上， $A^{'} B^{'}$ 与 $x^{'}$ 轴垂直，且 $O^{'} A^{'} = \sqrt{2}$ ，则 $△ O A B$ 中 $O A$ 边上的高为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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19、已知函数 $f (x) = \lg (\frac{2}{x - 1} + a)$ ， $a \in R$ ．
(1)若函数 $f (x)$ 是奇函数，求实数 $a$ 的值；
(2)在(1)的条件下，判断函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = \lg 2^{x}$ 的图象公共点个数，并说明理由；
(3)当 $x \in [1, 2)$ 时，函数 $y = f (2^{x})$ 的图象始终在函数 $y = \lg (4 - 2^{x})$ 的图象上方，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、如图，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B // C D$ ， $A B = 2 C D = 6 \sqrt{2}$ ， $\tan A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\cos ∠ A D B = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $\cos ∠ B D C$ 的值；

(2)、求 $B C$ 的长．

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