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相关试卷

1、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别满足 $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{P A}$ ， $\vec{B N} = \frac{1}{3} \vec{B D}$ .

(1)、求证： $M N ⊥ A D$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $B D M$ 所成角的正弦值.

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $2 a \cos A = c \cos B + b \cos C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2$ ，设 $D$ 为 $C A$ 延长线上一点，且 $B D ⊥ B C$ ，求线段 $A D$ 的长.

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3、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $F$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $E F //$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ；

(2)、若 $A C = B C = C C_{1} = 2$ ，求异面直线 $A F$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值.

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4、费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点O即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\cos 2 B + \cos 2 C - \cos 2 A = 1$ .设点O为 $△ A B C$ 的费马点，且满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + \vec{O B} \cdot \vec{O C} + \vec{O C} \cdot \vec{O A} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，则边a的最小值为.

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5、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $△ A B D$ 与 $△ B C D$ 均是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $90 °$ ，则四面体 $A B C D$ 的外接球表面积为.

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6、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (m, m + 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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7、对非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，定义运算“ $(*)$ ”： $\vec{a} (*) \vec{b} = |\vec{a}| \cos θ + |\vec{b}| \sin θ$ ，其中 $θ$ 为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} (*) \vec{b}| = |\vec{a}|$ B、若 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) (*) \vec{a} = \sqrt{5}$ C、若 $Rt △ A B C$ 中， $C = \frac{π}{2}$ ， $A C = 2$ ， $B C = 1$ ，则 $\vec{A B} (*) \vec{A C} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、若 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} (*) \vec{B C} = \vec{B C} (*) \vec{A B}$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形或有内角为135°的三角形

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8、已知圆锥 $S O$ 的底面半径 $r = \frac{3}{2}$ ，母线长 $l = 2$ ， $S A$ ， $S B$ 是两条母线， $P$ 是 $S B$ 的中点，则（）

A、圆锥 $S O$ 的体积为 $\frac{9 \sqrt{2} π}{8}$ B、圆锥 $S O$ 的侧面展开图的圆心角为 $\frac{3 π}{2}$ C、当 $△ S A B$ 为轴截面时，圆锥表面上点 $A$ 到点 $P$ 的最短距离为 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{2}}$ D、 $△ S A B$ 面积的最大值为2

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9、若复数 $z = 1 - i$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则以下正确的是（）

A、 $z$ 在复平面对应的点位于第二象限 B、 $z \bar{z} = {|z|}^{2}$ C、 ${|z|}^{2} = z^{2}$ D、 $\frac{\bar{z}}{z}$ 为纯虚数

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10、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ， $S = (\frac{1}{2} b^{2} - c^{2}) \sin A$ ， $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C} = \frac{2}{\tan B}$ ，则 $A =$ （）

A、 $120 °$ B、 $135 °$ C、 $150 °$ D、 $165 °$

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11、下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出 $l ⊥$ 平面DEF的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $∠ A = 120 °$ . $D$ 为 $A B$ 的中点， $P$ 为 $C D$ 上一点，且 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A B}$ ，则 $|\vec{A P}| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$

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13、如图所示，梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是平面图形 $A B C D$ 用斜二测画法得到的直观图， $A^{'} D^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 1$ ，则平面图形 $A B C D$ 中对角线 $A C$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $5$

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14、在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边，若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ ， $A = 30^{\circ}$ ，则边 $c =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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15、已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - e x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求证： $f (x) \geq e (\ln x + 1)$ ．

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16、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x}$ .
（1）当 $a < 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最小值是 $\frac{3}{2}$ ，求a的值.

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17、已知函数 $f (x) = x^{3} + x - 16$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程．

(2)、若直线 $l$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线，且经过原点，求直线 $l$ 的方程及切点坐标．

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18、求下列函数的导数．

(1)、 $y = {(x + 1)}^{99}$ ；

(2)、 $y = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ ；

(3)、 $y = (2 x - 3) \sin (2 x + 5)$ ；

(4)、 $y = \frac{\cos (3 x - 2)}{2 x}$ ；

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19、一个箱子的容积与底面边长x的关系为 $V (x) = x^{2} (\frac{90 - x}{2}) (0 < x < 90)$ ，则当箱子的容积最大时， $x =$ ．

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20、设函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ， $x \in [1, 4]$ 则 $f (x)$ 的最大值为，最小值为．

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