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相关试卷

1、已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A, B$ ，直线 $l : y = k x + m$ 与双曲线 $C$ 分别交于 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 两点，当 $k = 0, m = \sqrt{3}$ 时， $|M N| = 2 |A B|$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $A M, B N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，当 $m = - 6 k$ 且 $k \neq 0$ 时，求 $3 x_{1} x_{2} - 10 (x_{1} + x_{2})$ 和 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 的值.

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2、在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．

(1)、从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；

(2)、在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在 $[70, 100]$ 内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A = A B, A C$ 与 $B D$ 相交于点E，点F在线段 $P E$ 上，且 $P F = 2 F E$ .

(1)、求证： $A F ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求平面 $A F D$ 与平面 $C F D$ 夹角的正弦值.

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4、某批零件的尺寸 $X$ 服从正态分布 $N (8, σ^{2})$ ，且满足 $P (X > 10) = \frac{1}{6}$ ，零件的尺寸与8的误差不超过2即合格，从这批产品中抽取 $n$ 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.8，则 $n$ 的最小值为.

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5、对任意实数 $x$ ，有 $x^{4} = a_{0} + a_{1} (x + 2) + a_{2} {(x + 2)}^{2} + a_{3} {(x + 2)}^{3} + a_{4} {(x + 2)}^{4}$ ，则 $a_{0} + a_{1}$ 的值为.

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x \cdot e^{x}, x \leq 0, \\ | \lg x |, 0 < x < 10, \\ - x + 11, x \geq 10, \end{cases}$ ，若 $g (x) = 3 f^{2} (x) - m f (x) - 2 m^{2}$ 有6个不同的零点分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6}, f (x_{3}) = f (x_{4}) = f (x_{5})$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $x \leq 0$ 时， $- \frac{1}{e} \leq f (x) \leq 0$ B、 $x_{3} + x_{4}$ 的取值范围为 $(2, \frac{101}{10})$ C、当 $m < 0$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{2}) + 3 f (x_{3} x_{4} x_{5}) + f (x_{6})$ 的取值范围为 $(- \frac{1}{e}, 0)$ D、当 $m > 0$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{2}) + 3 f (x_{3} x_{4} x_{5}) + f (x_{6})$ 的取值范围为 $(0, \frac{2}{3 e})$

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ ，其前n项和为 $S_{n}, a_{5} = 9, S_{7} = 49$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} = 2 n - 1$ B、 $S_{n} = n^{2}$ C、 $a_{n} + \frac{16}{a_{n + 1}}$ 的最小值为6 D、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 是公比为2的等比数列

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8、甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是 $\frac{1}{3}$ ，各局比赛是相互独立的，采用4局3胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{16}{27}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{20}{27}$

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9、甲同学参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行，已知在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出4道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则 $X = 3$ 的概率为（）

A、 $\frac{6}{35}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{9}{35}$ D、 $\frac{8}{35}$

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10、英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B， $\bar{A}$ （A的对立事件）存在如下关系： $P (B) = P (B ∣ A) \cdot P (A) + P (B ∣ \bar{A}) \cdot P (\bar{A})$ .若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）

A、0.01 B、0.0099 C、0.1089 D、0.1

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11、把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则 $P (B |A) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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12、 ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 展开式中的常数项为（）

A、-20 B、-15 C、15 D、20

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13、一列轻轨在某段时间内从中山北至广州南往返一次，其中站点有：广州南、北滘、顺德、容桂、小榄、东升、中山北，则高铁部门应为这七个站间准备不同的轻轨票种数为（）

A、21种 B、30种 C、36种 D、42种

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14、已知集合 $S_{n} = \{X | X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}), x_{i} \in {0, 1}, i = 1, 2, \dots, n\} (n \geq 2)$ ，对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ， $B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) \in S_{n}$ ，定义 $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d (A, B) = \sum_{i = 1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$ ．

(1)、已知 $A = (1, 1, 0, 0) \in S_{4}$ ，写出所有的 $B \in S_{4}$ ，使得 $d (A, B) = 1$ ；

(2)、已知 $I = (1, 1, \dots, 1) \in S_{n}$ ，若 $A, B \in S_{n}$ ，并且 $d (I, A) = d (I, B) = p \leq n$ ，求 $d (A, B)$ 的最大值；

(3)、设集合 $P \subseteq S_{n}, P$ 中有 $m (m \geq 2)$ 个元素，若 $P$ 中任意两个元素间的距离的最小值为 $t$ ，求证 $m \leq 2^{n - t + 1}$

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15、已知函数 $f (x) = e^{a x} - x, (a \in R)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 过点 $O (0, 0)$ 的切线方程；

(2)、当 $a \neq 1$ 时，求证：存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < 1$ ．

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16、已知 $a$ 为实数，函数 $f (x) = | x^{2} - a x | - \ln x, (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线的方程；

(2)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的极小值点；

(3)、当 $1 < a < 2$ 时，试判断函数 $f (x)$ 的零点个数，并说明理由．

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17、2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占 $\frac{1}{3}$ ，通过手机收看的占 $\frac{1}{2}$ ，其他为未收看者．

(1)、从该地区被调查对象中随机选取4人，用 $X$ 表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及 $E (X)$ ；

(2)、采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用 $Y$ 表示这3人中通过手机收看的人数，求 $Y$ 的分布列和 $E (Y)$ ．

(3)、从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为 $P_{1}$ ；若3人全都是用电视收看的概率为 $P_{2}$ ．试比较 $P_{1}$ 与 $P_{2}$ 的大小．（直接写出结论）

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18、已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = - 8$ ， $a_{4}$ $+ a_{6} = 0$ ， $a_{3} b_{2} = - 16$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最值；

(3)、设 $c_{n} = b_{n}^{2}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19、已知二项式 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{n}$ ，且 $n$ 满足 $C_{n}^{2} - 2 C_{n}^{1} = 12$ ．

(1)、求 $n$ 值，并求二项式系数最大的项；

(2)、求二项展开式中含 $x^{4}$ 项的系数；

(3)、请直接写出展开式中所有项的系数的和．（此题涉及的系数一律用数字作答）

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20、已知点列 $A_{n} (x_{n}, 0) (n = 1, 2, \dots)$ ，其中 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 2$ ， $A_{3}$ 是线段 $A_{1} A_{2}$ 的中点， $A_{4}$ 是线段 $A_{2} A_{3}$ 的中点，…… $A_{n}$ 是线段 $A_{n - 2} A_{n - 1}$ 的中点，……．记 $a_{n} = x_{n + 1} - x_{n}$ ，则． $a_{3} =$ ； $x_{n}$ $=$ ．

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