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相关试卷

1、动直线 $l_{1} : x + k y - k = 0$ 与动直线 $l_{2} : k x - y + 2 k - 1 = 0$ 相交于点 $C (a, b)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l_{2}$ 过的定点是 $(- 2, - 1)$ B、点C的轨迹是一个完整的圆 C、 $\frac{3 a + b - 3}{a - 1}$ 的最小值为2 D、 $|a - b + 3|$ 的取值范围为 $(0, 4]$

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2、关于复数 $z = 4 + 3 i$ ，下列说法正确的是（）

A、 $z + \bar{z} = 8$ B、 $z$ 是方程 $x^{2} - 8 x + 25 = 0$ 的一个根 C、若复数 $z$ 满足 $ω^{2} = z$ ，则 $ω = 2 + i$ D、若 $|z_{1} - z| = 2$ ，则 $|z_{1}| \in [3, 7]$

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} - \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $(\vec{c} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $| \vec{c} + \vec{a} | + | \vec{c} - \vec{a} |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、4

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4、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，若 $P$ 在 $△ A B C$ 内（包括边界）运动，则直线 $D _{1} P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{6}}{4}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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5、如图所示，矩形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置一个平面图形的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 6, O^{'} C^{'} = 2$ ，则原图形的面积为（）

A、12 B、 $12 \sqrt{2}$ C、24 D、 $24 \sqrt{2}$

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6、若复数 $z = - 1 - 2 i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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7、已知 $x > 0, y > 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为.

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8、已知点 $(2, \frac{1}{2})$ 在幂函数 $f (x) = x^{b}$ 的图象上，则下列叙述正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是奇函数 B、函数 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (4) = \frac{1}{4}$ D、函数 $f (x)$ 在定义域内是减函数

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9、“ $a^{2} > b^{2}$ ”是“ $a < b < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知函数 $f (x) = sin x - \frac{1}{2} sin 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上的最大值；

(2)、求证： $\forall x \in [0, + \infty ）， f (x) \leq \frac{1}{2} x^{3}$ 恒成立；

(3)、若 $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ 都有 $f (x) > a x^{3} cos x$ 恒成立，求 $a$ 的最大值．

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11、已知曲线 $C$ 上的动点 $M$ 满足 $|M F_{2}| - |M F_{1}| = 4$ ，且 $F_{1} (- \sqrt{5}, 0), F_{2} (\sqrt{5}, 0)$ ，

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ， $P$ 为 $C$ 上的动点（点 $P$ 与 $A$ 不重合），直线 $B P$ 和直线 $x = - 1$ 交于点 $N$ ，直线 $N A$ 交 $C$ 于点 $Q$ ．
（i）求证：直线 $P Q$ 过定点；
（ii）设直线 $P Q$ 的倾斜角为 $θ$ ， $△ A P Q, △ A P B$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，当 $θ \in [\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ 时，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 取值范围．

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12、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面是直角梯形 $A B C D, A B ∥ D C$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}, A B = 2, C D = 1, A D = \sqrt{3}, A E = \sqrt{6}, △ B C E$ 为正三角形，且平面 $B C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ A E$ ；

(2)、求直线 $A B$ 和平面 $A D E$ 所成角的正弦值；

(3)、设点 $P$ 是三棱锥 $E - A B C$ 外接球上一点，求点 $P$ 到平面 $A D E$ 距离的最大值．

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13、随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 18)$ ，其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得 $\sum_{i = 1}^{18} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 66$ ， $\sum_{i = 1}^{18} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 7500, \sum_{i = 1}^{18} x_{i} y_{i} = 950, 18 \bar{x} \cdot \bar{y} = 270$ .

(1)、求样本 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， 18)$ 的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额 $y$ （单位：万元）和月份编号 $x$ 是否线性相关（当 $|r| \geq 0.75$ 时，即可认为线性相关）；

(2)、已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}}, \sqrt{22} \approx 4.7$ ．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，满足 $a_{n + 1} - 3 a_{n} - 1 = 0 (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明数列 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、设 $b_{n} = {log}_{3} (2 a_{n} + 1) ， T_{n}$ 为数列 $\{\frac{2}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{2026}$ ．

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15、学校食堂每餐推出 $A 、 B$ 两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了 $A$ 套餐，则第2天选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{1}{4}$ ；若他前1天选择了 $B$ 套餐，则第2天选择了 $A$ 套餐的概率为 $\frac{3}{4}$ ．已知他开学第1天中午选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，在该同学第3天选择了 $A$ 套餐的条件下，他第2天选择 $A$ 套餐的概率为．

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16、已知 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{2} (2 ， 0)$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为第一象限内椭圆 $C$ 上的一个动点， $Q$ 为 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内心，过 $F_{1}$ 作直线 $P Q$ 的垂线，垂足为 $M$ ，若 $|O M| = \frac{4}{3} ， |P F_{1}| = |F_{1} F_{2}|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率 $e =$

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17、已知函数 $f (x) = (a \cdot 5^{x} - \frac{2}{5^{x}}) sin x$ 是偶函数，则 $a =$ ．

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18、已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $K$ ，过点 $K$ 的直线与抛物线交于两点 $P ， Q$ ，过 $P ， Q$ 作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $T ， S$ ，若点 $A$ 是抛物线上的一动点，且满足 $|F A|$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $y^{2} = x$ B、 ${|O P|}^{2} + {|O Q|}^{2} > \frac{5}{2}$ C、 $\frac{|P F|}{|P K|} > \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $∠ P F Q = 2 ∠ S F T$

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19、在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B = 1 + {cos}^{2} C$ ， $cos B cos C = \frac{1}{2}$ ， $△ A B C$ 的面积为1，则（）

A、 $b c = 2$ B、 $A = \frac{π}{3}$ C、 $cos C = cos (A - B)$ D、 $b cos C + c cos B = \sqrt{2}$

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20、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， A C = B C = C C_{1} ， E$ 为 $C C_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，下列结论正确的是（）

A、 $A B_{1} // B E$ B、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ C、平面 $B F C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ D、存在点 $F$ ，使得 $C_{1} F //$ 平面 $A_{1} B E$

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