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相关试卷

1、如图， $D, E$ 分别为等边三角形 $A B C$ 的边 $A C, A B$ 的中点， $D E = 2$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使顶点 $A$ 至点 $P$ 的位置，此时平面 $P D E ⊥$ 平面 $B C D E$ ， $M, N$ 分别为 $P E, C D$ 的中点．

(1)、证明： $M N //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若点 $P, B, C, D, E$ 在同一球面上，设该球面的球心为 $O$ ．
（i）求球 $O$ 的表面积；
（ii）求平面 $O M N$ 与平面 $P D E$ 的夹角的余弦值．

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2、如图，四边形ABCD是正方形， $A E ⊥$ 平面ABCD， $C F ⊥$ 平面ABCD， $A E = C F = A B = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、几何体的体积为 $\frac{8}{3}$ B、BE，DF是异面直线 C、 $E G ⊥ F G$ D、点A到平面BDE的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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3、已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{a})}^{x} - \log_{a} x$ $（ a > 0$ 且 $a \neq 1 ）$ 在 $[1, + \infty)$ 上的值域为 $[2, + \infty)$ ，则 $a =$ （）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4、已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{a}{2} x^{2} (a \in R)$ ．
（1）若 $f (x) + \frac{a}{2} x \leq 0$ 对任意 $x \in (1, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
（2）设函数 $g (x) = f (x) - x$ 在区间 $(1, e^{2})$ 上有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ．
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）求证： $\frac{1}{\ln x_{1}} + \frac{1}{\ln x_{2}} > 2 a e$ ．

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5、在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.
已知A型号机器人试验成功的概率为 $\frac{4}{5}$ ，失败的概率为 $\frac{1}{5}$ ； $B$ 型号机器人试验成功的概率为 $\frac{1}{2}$ ，失败的概率为 $\frac{1}{2}$ .试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人.

(1)、记 $X$ 为前3轮试验的总得分，求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；

(2)、设 $P_{n}$ 为第 $n$ 轮试验使用A型号机器人的概率.
①求数列 $\{P_{n}\}$ 的通项公式；
②记 $S_{n}$ 为前 $n$ 轮试验的期望总得分，求 $S_{n}$ 关于 $n$ 的表达式.

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6、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 3$ ， $A D = C D = 2$ ， $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B S}$ .

(1)、证明： $C M / /$ 平面 $S A D$ .

(2)、已知 $S A = S D = \sqrt{2}$ ，平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .
（I）求三棱锥 $S - A B D$ 外接球的表面积；
（II）求平面 $M C D$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.

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7、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ，且 $C$ 过点 $A (1, \frac{3}{2})$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ （斜率存在且不为0）与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $N$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P$ .证明：直线 $P M$ 过定点.

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8、已知 $△ A B C$ 的内角 $A ､ B ､ C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，且满足 $c cos B + b cos C = \frac{a}{2 cos A}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求锐角 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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9、在n维空间中 $(n \geq 2, n \in N)$ ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 $(a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ，其中 $a_{i} \in \{0,1\} (1 \leq i \leq n, i \in N)$ ．定义：在n维空间中的两点 $(a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ 与 $(b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n})$ 的曼哈顿距离为 $|a_{1} - b_{1}| + |a_{2} - b_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |a_{n} - b_{n}|$ ，若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 $E (X) =$ ．

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10、已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n+1)（n+2)，则它的前n项和为．

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11、若圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 4 x + 6 y + m = 0$ 有且仅有三条公切线， $m =$ ．

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的动点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $P A_{1}$ 和 $P A_{2}$ 的斜率之积为定值 $- \frac{5}{9}$ B、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值为-1 C、若 $△ P A_{1} A_{2}$ 的面积为5，则 $tan ∠ A_{1} P A_{2} = - \frac{9}{2}$ D、若 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线与 $x$ 轴交于点 $M (\frac{2}{3}, 0)$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的半径为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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13、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，满足 $2 f (x) + x f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 且 $f (1) = 0$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (x) = \frac{ln x}{x^{2}}$ B、过原点且与 $f (x)$ 相切的直线方程为 $y = \frac{1}{3 e} x$ C、不等式 $(x - \frac{1}{2}) f (x) > 0$ 的解集是 $(1, + \infty)$ D、若 $k < f (x)$ 恰有两个整数解，则k的取值范围是 $[\frac{ln 2}{8}, \frac{ln 3}{9})$

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14、设 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点， $P$ 是该双曲线右支上一点， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线交 $x$ 轴于点 $M (\frac{c}{4}, 0)$ ，令 $∠ P F_{1} F_{2} = α, ∠ F_{1} P F_{2} = β$ ，若 $sin (2 α + β) = sin α$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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15、已知平面直角坐标系 $x O y$ 中， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ， $| \vec{A B} | = 2$ ， $C (3, 4)$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的取值范围是（）

A、 $[15, 35]$ B、 $[- 15, 35]$ C、 $[16, 36]$ D、 $[- 16, 36]$

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16、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ), (x \in R)$ 的图象的一部分如下图所示，其中 $A > 0, ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ，为了得到函数 $f (x)$ 的图像，只要将函数 $g (x) = 2 (\cos^{2} \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2}), (x \in R)$ 的图象上所有的点（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

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17、为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积 $x$ （单位： $m^{2}$ ）与水生植物的株数 $y$ （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型 $y = k \cdot e^{m x} (k > 0)$ 去拟合 $x$ 与 $y$ 的关系．设 $z = l n y$ ， $x$ 与 $z$ 的数据如表格所示，得到 $x$ 与 $z$ 的线性回归方程 $z = 1.2 x + a$ ，则 $k =$ （）
$x$
3
4
6
7
$z$
2
2.5
4.5
7

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $e^{- 2}$ D、 $e^{- 1}$

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18、已知复数 $z$ 满足 $\frac{z (1 + i)}{3 - i} = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、2 B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、 $- 2 i$

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19、已知集合 $A = \{2, 3\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 2 x \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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20、已知函数 $f (x) = a x + \ln x$ ，直线 $2 x - y - 1 = 0$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若对任意 $x \in [\frac{1}{e}, e^{2}]$ ，存在 $c \in [- e, 0]$ ，使得不等式 $(x + 1) f (x) \geq x^{2} + b x + c$ 成立，求 $b$ 的最大值；

(3)、若 $φ (x) = e^{x} f (x)$ ，求证：对任意 $s, t \in (1, + \infty)$ ，有 $φ (s + t) > φ (s) + φ (t)$ .

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$x$	3	4	6	7
$z$	2	2.5	4.5	7