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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $a = 6$ ， $b = 4$ ， $C = 2 B$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ C、 $3 \sqrt{15}$ D、 $2 \sqrt{15}$

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2、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (- 1, 2)$ ，向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{4}{5} \vec{b}$ B、 $\frac{4}{5} \vec{b}$ C、 $- \frac{3}{5} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{5} \vec{b}$

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3、已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $\frac{19 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $5 \sqrt{3} π$ D、 $10 π$

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4、水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图，其中 $B^{'} O^{'} = O^{'} C^{'} = 2$ ， $A^{'} O^{'} = \sqrt{3}$ ，那么原 $△ A B C$ 是一个（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、三边中只有两边相等的等腰三角形 D、三边互不相等的三角形

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5、已知 $A, B, C$ 为 $△ A B C$ 的三个内角，下列各式不成立的是（）

A、 $\sin A = \sin (B + C)$ B、 $\cos B = - \cos (A + C)$ C、 $\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B + C}{2}$ D、 $\cos \frac{B}{2} = - \sin \frac{A + C}{2}$

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6、如图所示，D，E为 $△ A B C$ 边BC上的三等分点，且 $|\vec{A B}| = |\vec{A C}|$ 则下列各式中正确的是（）

A、 $\vec{A D} = \vec{A E}$ B、 $\vec{B D} = \vec{C E}$ C、 $\vec{A B} + \vec{A E} = \vec{A C} + \vec{A D}$ D、 $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D} + \vec{A E}$

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7、已知复数z满足 $z (1 + i) = i$ ，则复数z对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8、已知集合 $A = \{x| x^{2} < 4\}$ ，集合 $B = \{x| 2^{x} > 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 4)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{x} (x > 0), g (x) = e^{a x} (a \in R)$ ，

(1)、若 $a = - 1$ ，讨论 $F (x) = f (x) \cdot g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0$ ，函数 $G (x) = {[f (x)]}^{4} \cdot ln g (x)$ ，不等式 $a sin x > \frac{x}{6} - \frac{1}{6} G (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $n \in N^{*}, n \geq 2$ 时，求证： $\sum_{k = 2}^{n} k sin \frac{1}{k} > \frac{6 n^{2} - 7 n + 1}{6 n}$ ．

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10、如图，动点 $M$ 到两定点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (2, 0)$ 构成 $△ M A B$ ，且 $∠ M B A = 2 ∠ M A B$ ，设动点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．
（1）求轨迹 $C$ 的方程；
（2）设直线 $y = - 2 x + m$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q 、 R$ ，且 $|P Q| < |P R|$ ，求 $\frac{|P R|}{|P Q|}$ 的取值范围．

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11、随着芯片技术的不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升．某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为 $\frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ ，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为 $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ ，已知第1关的难度为“容易”．

(1)、求第3关的难度为“困难”的概率；

(2)、用 $P_{n}$ 表示第 $n$ 关的难度为“困难”的概率，求 $P_{n}$ ．

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12、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，侧面 $C D D_{1} C_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A B_{1}$ 和平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值.

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13、在 $△ A B C$ 内，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b cos A - c cos B = (a - c) cos (A + C)$ ．

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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14、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} - a_{n + 1} + 2 = 0$ .

(1)、数列 $\{a_{n}\}$ 是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 2}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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15、在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 为等腰三角形， $∠ A B C = 120 °$ ，且 $A C = P A$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C, P A ⊥ B C$ ，点 $Q$ 为三棱锥 $P - A B C$ 外接球 $O$ 上一动点，且点 $Q$ 到平面 $P A C$ 的距离的最大值为 $1 + \sqrt{7}$ ，则球 $O$ 的表面积为．

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16、 $e$ 是自然对数的底数， $m \in R$ ， $n > 0$ ，已知 $m e^{m} + \ln n > n \ln n + m$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、若 $m > 0$ ，则 $m - n > 0$ B、若 $m > 0$ ， $n > 1$ ，则 $e^{m} - n > 0$ C、若 $m < 0$ ，则 $m + \ln n < 0$ D、若 $m < 0$ ，则 $e^{m} + n > 2$

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $M$ 在 $C$ 上， $M N ⊥ l$ 于 $N$ ，直线 $N F$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{N A} = 2 \vec{A F}$ ，则（）

A、 $∠ M N F = 60^{\circ}$ B、 $|N F| = \frac{4}{3} p$ C、 $|M B| = \sqrt{3} |M N|$ D、 $\sin ∠ N A M = \frac{3 \sqrt{7}}{14}$

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18、一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ 满足 $x_{i} - x_{i - 1} = 2 (2 \leq i \leq 10)$ ，若去掉 $x_{1}, x_{10}$ 后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（）

A、极差变小 B、平均数变大 C、方差变小 D、第25百分位数变小

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19、已知复数 $z = \cos \frac{2 π}{2023} + i \sin \frac{2 π}{2023}$ ，则 $(z - 1) (z^{2} - 1) \dots (z^{2022} - 1) =$ （）

A、2022 B、2023 C、 $- 2022$ D、 $- 2023$

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20、已知A，B，C，D是体积为 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ 的球体表面上四点，若 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，且三棱锥A－BCD的体积为 $2 \sqrt{3}$ ，则线段CD长度的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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