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相关试卷

1、正四面体 $A B C D$ 的棱长为2，点 $M, N$ 分别在棱 $A B, C D$ 上，则线段 $M N$ 长度的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2、凸显地方特色､挖掘融入本土化元素的设计理念，让甘肃省博物馆的文创产品火爆出圈.这些文创产品中有以铜奔马为灵感创作的“牛肉面马师傅”“马梭梭”“马有才”等组成的“绿马”类毛绒产品；有从本地土特产汲取灵感的“定西土豆”“陇西黄芪”“天水樱桃”等组成的“不土特产”类毛绒产品：还有用“西兰花”“丸子”等组成的“麻辣烫”系列毛绒产品.做自媒体的小张购买了以上三类毛绒产品各两款，并打算从中选择4个向粉丝做重点推介，其中至少选择一个“绿马”类产品，则不同的选择方法数为（）

A、14 B、20 C、24 D、120

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3、函数 $f (x) = 2 cos (x + \frac{π}{2}) + 2 {cos}^{2} \frac{x}{2} - 1$ 的最小值为（）

A、-1 B、 $- \sqrt{5}$ C、-3 D、-5

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4、数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为正数的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} + a_{5} = 0, a_{2} a_{4} = - 4$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、0 B、4 C、6 D、8

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5、集合 $A = \{(1 + i) (1 - i), \frac{1}{i}\}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $A \cap R =$ （）

A、 $A$ B、2 C、 $\emptyset$ D、 $\{2\}$

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6、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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7、向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 1, 3)$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 5)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(2, 1)$

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8、为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案：

(1)、男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上；

(2)、男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻；

(3)、男选手小钱和男选手小周至少一人参加.

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} (x - 1) - \frac{1}{2} e^{a} x^{2} ， a > 0$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的极值.

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{2} = 3, S_{5} = 25$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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11、若关于 $x$ 的不等式 $e^{x} - a x^{2} + a x ln x \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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12、如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有种．

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13、从1，3，5，7，9中任取2个数，从2，4，6，8中任取2个数，能组成个没有重复数字的四位数．

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14、如图，在某城市中， $M$ 、 $N$ 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 、 $A_{4}$ 是道路网中位于一条对角线上的 $4$ 个交汇处.今在道路网 $M$ 、 $N$ 处的甲、乙两人分别要到 $N$ 、 $M$ 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 $N$ 、 $M$ 处为止.则下列说法正确的是（）

A、甲从 $M$ 到达 $N$ 处的方法有 $120$ 种 B、甲从 $M$ 必须经过 $A_{2}$ 到达 $N$ 处的方法有 $9$ 种 C、甲、乙两人在 $A_{2}$ 处相遇的概率为 $\frac{81}{400}$ D、甲、乙两人相遇的概率为 $\frac{41}{100}$

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15、下列函数在定义域上为增函数的有（）

A、 $f (x) = 2 x^{3}$ B、 $f (x) = x e^{x}$ C、 $f (x) = x - cos x$ D、 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 x$

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16、某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有（）

A、12种 B、30种 C、36种 D、42种

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17、已知函数 $f (x) = ln x + {(x - b)}^{2} (b \in$ $R)$ 在 $[1, 2]$ 上存在单调递减区间，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{2}, + \infty)$ B、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} + 4$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、2 D、3

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19、已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{a}{2} x^{2} (a \in R)$ ．
（1）若 $f (x) + \frac{a}{2} x \leq 0$ 对任意 $x \in (1, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
（2）设函数 $g (x) = f (x) - x$ 在区间 $(1, e^{2})$ 上有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ．
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）求证： $\frac{1}{\ln x_{1}} + \frac{1}{\ln x_{2}} > 2 a e$ ．

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20、在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.
已知A型号机器人试验成功的概率为 $\frac{4}{5}$ ，失败的概率为 $\frac{1}{5}$ ； $B$ 型号机器人试验成功的概率为 $\frac{1}{2}$ ，失败的概率为 $\frac{1}{2}$ .试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人.

(1)、记 $X$ 为前3轮试验的总得分，求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；

(2)、设 $P_{n}$ 为第 $n$ 轮试验使用A型号机器人的概率.
①求数列 $\{P_{n}\}$ 的通项公式；
②记 $S_{n}$ 为前 $n$ 轮试验的期望总得分，求 $S_{n}$ 关于 $n$ 的表达式.

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