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1、若 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{c} = (2, 2)$ ， $|\vec{a} - \vec{c}| = 2 \sqrt{2} - 1$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{c}⟩$ 的值为.

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $3 b \cos C + 3 c \cos B = a^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $B + C = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $9 π$ B、若 $A = \frac{π}{4}$ ，且 $△ A B C$ 有两解，则 $b$ 的取值范围为 $(3, 3 \sqrt{2})$ C、若 $C = 2 A$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $c$ 的取值范围为 $(3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{3})$ D、若 $A = 2 C$ ，且 $sin B = 2 sin C$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的内心，则 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3} - 3}{4}$

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3、下列说法中不正确的是（）

A、一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B、两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 $r$ 越接近于1 C、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} \approx 6.852$ ，根据小概率值 $α = 0.005$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验： $χ_{0.005} = 7.879$ ，可判断 $X$ 与 $Y$ 有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (2 < X < 4) = 0.4$

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4、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $|a| < 3$ 且 $|b| < 3$ ”是“ $a^{2} + b^{2} < 9$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、复数 $z = i (1 - i)$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、已知集合 $A = \{x \in N |- 2 < x < \frac{16}{3}\}$ ，集合 $B = {- 1, 3, 4, 5}$ ，则 $A \cap B$ 的真子集个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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7、类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程 $F (x, y, z) = 0$ ．

(1)、类比平面解析几何中直线的方程，直接写出：
①过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，法向量为 $\vec{n} = (A, B, C)$ 的平面的方程；
②平面的一般方程；
③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（ $a b c \neq 0$ ）；（不需要说明理由）

(2)、设 $F_{1}, F_{2}$ 为空间中的两个定点， $|F_{1} F_{2}| = 2 c > 0$ ，我们将曲面 $Γ$ 定义为满足 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 2 a (a > c)$ 的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系 $O - x y z$ ，并推导出曲面 $Γ$ 的方程．

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ， $△ P A D$ 为等边三角形， $A D ∥ B C, A D = C D = 2 B C = 2, E, F$ 分别为棱 $P D, P B$ 的中点.

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值；

(3)、在棱 $P C$ 上是否存在点 $G$ ，使得 $D G / /$ 平面 $A E F$ ？若存在，求直线 $D G$ 与平面 $A E F$ 的距离；若不存在，说明理由.

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9、如图，椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，且△ $A B F_{2}$ 的周长为8.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设动直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$ ，且与直线 $x = 4$ 相交于点 $Q$ ，试探究：在x轴上是否存在定点 $M$ ，使得以PQ为直径的圆恒过点 $M$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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10、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B = 1$ ， $∠ B C A = 90 °$ ，棱 $A A_{1} = 2$ ， M，N分别是 $A_{1} B_{1}$ 、 $A_{1} A$ 的中点．

(1)、求 $\vec{B N}$ 的长；

(2)、求 $cos ⟨\vec{B A}, \vec{C B}⟩$ 的值；

(3)、求证： $A_{1} B ⊥ C_{1} M$ ．

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11、（1）求过点 $A (- 1, 2)$ 且与直线 $2 x - 3 y + 4 = 0$ 平行的直线的方程．
（2）求圆心在直线 $y = x$ 上，且过点 $(1, 0)$ ，半径为5的圆的方程．
（3）求两个焦点坐标分别是 $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$ 且经过点 $(2 \sqrt{2}, - 2)$ 的椭圆的标准方程．

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12、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ 的公共弦长为.

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13、六氟化硫，化学式为 $S F_{6}$ ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体)．如图所示，正八面体 $E - A B C D - F$ ，下列说法中正确的有（）

A、平面 $E A D //$ 平面 $F C B$ B、平面 $E A D ⊥$ 平面 $E C B$ C、异面直线 $A E$ 与 $B F$ 所成的角为60° D、若点 $P$ 为棱 $E B$ 上的动点，则直线 $A P$ 与平面 $E A D$ 所成的角的正弦值的范围是 $[\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{2}}{3}]$

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14、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、椭圆C的长轴长为 $6 \sqrt{3}$ B、椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{8}}{3}$ C、椭圆C的短轴长为6 D、椭圆C的一个焦点为 $(3 \sqrt{2}, 0)$

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15、若光线沿倾斜角为120°的直线射向 $y$ 轴上的点 $A (0, - 4)$ ，则经 $y$ 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（）

A、 $y = \sqrt{3} x - 4$ B、 $y = - \sqrt{3} x - 4$ C、 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - 4$ D、 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - 4$

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16、如图，设 $O x ， O y$ 是平面内相交成 $θ$ 角的两条数轴， $θ \in (0^{\circ} ， 180^{\circ})$ ， $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴同方向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $[x ， y]$ 叫做 $\vec{O P}$ 在仿射坐标系 $O x y$ 中的斜坐标．

(1)、若 $\vec{a} = [1 ， 2]$ ， $\vec{b} = [2, λ]$ ， $\vec{a} // \vec{b}$ 求 $λ$ ；

(2)、若 $θ = 60^{\circ}$ ， $\vec{a} = [1 ， 2]$ ， $\vec{b} = [- 1 ， 1]$ ，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的斜坐标；

(3)、若 $\vec{a} = [1 ， 1]$ ， $\vec{b} = [3 ， 1]$ ， $\vec{c} = [2 ， - 1]$ ， $|\vec{c}| \leq \sqrt{2}$ ，求 $cos 〈\vec{a}, \vec{b}〉$ 的最小值．

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17、如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量 $\cos A = \frac{12}{13}$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ，其中A，C均为锐角．

(1)、求索道AB的长；

(2)、问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)、为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

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18、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如下图所示，若函数 $f (x)$ 的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求 $g (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的单调递减区间；

(3)、若 $g (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上恰有2026个零点，求 $b - a$ 的取值范围．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离为2， $A D = 2$ ， $E 、 F$ 分别是 $P B$ 和 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求三棱锥 $C - P B D$ 的体积．

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20、柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，由 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ 得到 ${(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})$ ，当且仅当 $x_{1} y_{2} = x_{2} y_{1}$ 时取等号.现已知 $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ ， $a + b = 9$ ，则 $\sqrt{2 a + 4} + \sqrt{b + 1}$ 的最大值为.

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