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相关试卷

1、如图在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，侧棱 $P A ⊥ P D$ ，且 $A D = 4 A B = 4$ ， $P A = 2$ ， $P C = \sqrt{13}$ ，点E为AD中点，

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - E$ 的余弦值；

(3)、点F为对角线AC上的点，且 $F G ⊥ P B$ ，垂足为G，求FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值.

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2、如图在直角梯形 $A B C D$ 中， $\vec{B C} = 2 \vec{A D}$ ， $B C = C D = 2$ ，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.

(1)、求向量 $\vec{A F}$ 与 $\vec{B E}$ 夹角 $α$ 的余弦值；

(2)、若向量 $\vec{B H} = x \vec{B D} + y \vec{A C}$ ，求实数x，y的值；

(3)、若向量 $\vec{B P}$ 与 $\vec{C P}$ 的夹角为 $β$ ，求 $cos β$ 的最小值.

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3、某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示： $A B = A D = 100$ 米， $B C = 160$ 米， $∠ B A D = 2 ∠ B C D = 120 °$ .

(1)、求 $cos ∠ B D C$ 的值；

(2)、若点 $E, F$ 分别为边 $B C, C D$ 上的点，且 $C E = 80$ 米， $C F = 60$ 米，又点 $I$ 在以C为圆心， $C F$ 为半径的圆弧 $F G$ 上（ $△ B C D$ 内部），准备将四边形 $C E I F$ 区域种植郁金香.设 $∠ E C I = θ$ ，求四边形 $C E I F$ 的面积关于 $θ$ 的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）

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4、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $M$ 、 $N$ 分别是BC、 $C C_{1}$ 的中点， $A B_{1} ⊥ M N$ .

(1)、证明： $M N ⊥$ 平面 $A B_{1} M$ ；

(2)、求 $C_{1}$ 点到平面 $A B_{1} M$ 的距离.

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5、已知向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 3)$ ， $\vec{c} = (6, - 1)$ .

(1)、求满足 $\vec{c} = 2 \vec{a} + y \vec{b}$ 的实数x，y的值；

(2)、若 $(4 \vec{a} + \vec{c}) / / \vec{b}$ ，求实数x的值.

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6、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ ， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (2 \vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的取值范围为.

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7、已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为.

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8、水平放置的 $△ A B C$ 斜二测直观图为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 2$ ， $∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 60 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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9、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 是线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 是线段 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $A_{1} D$ 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）

A、 $C_{1} P$ 的最小值为 $\sqrt{6}$ B、 $∠ B_{1} P C$ 可能是直角 C、三棱锥 $A - P E F$ 的体积为定值 D、 $△ P E F$ 的周长的最小值为 $2 \sqrt{5} + \sqrt{2}$

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10、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $A = \frac{π}{4}$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，若 $△ A B C$ 有且仅有一个解，则 $c - a$ 的可能取值有（）

A、0 B、 $4 - 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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11、若 $\{\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}\}$ 是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（）

A、 $\{\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} ， \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}\}$ B、 $\{\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} ， \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}\}$ C、 $\{2 \vec{e_{2}} - 3 \vec{e_{1}} ， 6 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}\}$ D、 $\{3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} ， \vec{e_{1}} - \frac{1}{3} \vec{e_{2}}\}$

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12、费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 $\frac{2 π}{3}$ .如图，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是正三角形， $A B = 4$ ， $A E = 2$ ，且B，A，D三点共线，设点P是 $△ A C E$ 内的任意一点，则 $P A + P C + P E$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\sqrt{26}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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13、已知某圆台的上、下底面半径分别为 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ ，且 $r_{2} = 3 r_{1}$ ，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{13 π}{9}$ B、 $\frac{20 π}{9}$ C、 $\frac{26 π}{9}$ D、 $\frac{26 π}{3}$

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14、若两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 2 |\vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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15、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F，G，H分别是棱 $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} C$ ， $B_{1} B$ ， $A B$ 的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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16、已知一个正方体的外接球的体积为 $\frac{9 π}{2}$ ，则这个正方体的体积为（）

A、3 B、 $\frac{27}{8}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、8

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17、已知向量 $\vec{a} = (5, 12)$ ，则与向量 $\vec{a}$ 反向的单位向量的坐标为（）

A、 $(\frac{5}{13}, \frac{12}{13})$ B、 $(- \frac{5}{13}, - \frac{12}{13})$ C、 $(\frac{12}{13}, - \frac{5}{13})$ D、 $(- \frac{5}{13}, \frac{12}{13})$

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18、设n次多项式 $P_{n} (t) = a_{n} t^{n} + a_{n - 1} t^{n - 1} + \dots + a_{2} t^{2} + a_{1} t + a_{0} (a_{n} \neq 0)$ ，若其满足 $P_{n} (\cos x) = \cos n x$ ，则称这些多项式 $P_{n} (t)$ 为切比雪夫多项式．例如：由 $\cos θ = \cos θ$ 可得切比雪夫多项式 $P_{1} (x) = x$ ，由 $\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$ 可得切比雪夫多项式 $P_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ ．

(1)、若切比雪夫多项式 $P_{3} (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ，求实数a，b，c，d的值；

(2)、已知函数 $f (x) = 8 x^{3} - 6 x - 1$ 在 $(- 1, 1)$ 上有3个不同的零点，分别记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ ．

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19、将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点 $O$ 距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点 $P$ 距离地面的高度为 $h$ （单位：米），若 $P$ 从摩天轮的最低点处开始转动，则 $h$ 与转动时间 $t$ （单位：分钟）之间的关系为 $h = A \sin (ω t + φ) + k (A > 0, ω > 0, φ \in [- π, π])$ ．

(1)、求 $A$ ， $ω$ ， $φ$ ， $k$ 的值；

(2)、摩天轮转动8分钟后，求点 $P$ 距离地面的高度；

(3)、在摩天轮转动一圈内，求点 $P$ 距离地面的高度超过65米的时长．

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20、已知角 $α$ 是第二象限角， $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $\cos α$ 和 $sin (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $\tan 2 α$ 的值.

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