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相关试卷

1、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{2} = 4$ ， $a_{4} = 2$ ，则 $a_{6} =$ ．

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2、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，周长为 $L$ ，重心为 $G$ ，若 $\frac{a c}{a + c + b} = \frac{a + c - b}{3}$ ， $c = 2$ ，则（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $S$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}]$ C、 $L$ 的取值范围是 $(3 + \sqrt{3}, 6 + 2 \sqrt{3})$ D、 $A G$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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3、已知双曲线 $C$ 关于 $x$ 轴、 $y$ 轴均对称，若 $C$ 过点 $(2, 3)$ ，则 $C$ 的离心率可能为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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4、大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值 $X$ （单位： $mmol / L$ ）近似服从正态分布 $N (5.2, {0.3}^{2})$ ，则（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx$ 0.9973．

A、该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B、该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C、该年龄段人群空腹血糖检测值在 $4.6 ~ 5.8$ 的比例约为 $95.45 %$ D、该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 $0.27 %$

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5、若 $a$ 、 $b \in (0, 1)$ ，且 $\frac{\cos a}{a} = \frac{\sin (\cos b)}{b} = 1$ ，则下列各式一定成立的是（）

A、 $b > a$ B、 $b < a$ C、 $b = a$ D、 $a + b < 1$

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6、甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（）

A、 $\frac{125}{864}$ B、 $\frac{125}{1728}$ C、 $\frac{175}{864}$ D、 $\frac{175}{1728}$

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7、如图，圆台 $O_{1} O$ 的高为 $\sqrt{15}$ ， $Q P$ 是母线， $O_{1} Q = 3$ ， $O P = Q P$ .现在将圆台的侧面沿 $Q P$ 剪开，并展开成平面图形，点 $P$ 在侧面展开图中对应的点为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，则线段 $P_{1} P_{2}$ 的长度为（）

A、8 B、 $8 \sqrt{2}$ C、16 D、 $16 \sqrt{2}$

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8、为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有 $4$ 架不同型号的四旋翼无人机和 $3$ 架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（）

A、 $72$ 种 B、 $144$ 种 C、 $1440$ 种 D、 $5040$ 种

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9、已知向量 $\vec{m} = (3, - 1)$ ， $\vec{n} = (1, 2)$ ， $\vec{p} = (- 2, 4)$ ，若 $(2 \vec{m} + \vec{n}) // (\vec{p} - k \vec{n})$ ，则实数 $k$ 的值（）

A、 $- \frac{7}{19}$ B、 $\frac{7}{19}$ C、 $- 2$ D、2

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10、函数 $f (x) = 2^{x} - x$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距为（）

A、2 B、 $2 \ln 2$ C、 $2 \ln 2 - 2$ D、 $2 - 2 \ln 2$

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11、若集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 6 \leq 0\} ， B = \{x |\frac{x - 1}{x - 5} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, 3)$ B、 $[1, 3]$ C、 $[3, 5)$ D、 $[- 2, 5)$

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12、 $\frac{1 + 2 i}{- 1 + i} =$ （）

A、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x}{ln x}$ ，则（）

A、 $x = e$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 B、对 $\forall k \geq 3$ ，方程 $f (x) - k = 0$ 恒有两个不同的实数解 C、 $πln 2 > 2 lnπ$ D、存在 $k \in R$ ，使得直线 $y = k (x - 1)$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切

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14、函数 $φ (x) = x + \frac{q}{x} (q \neq 0)$ ，当 $q > 0$ 时，因其图象形状似对勾，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”在区间 $(0, \sqrt{q})$ 和 $(- \sqrt{q}, 0)$ 上均单调递减，在区间 $(\sqrt{q}, + \infty)$ 和 $(- \infty, - \sqrt{q})$ 上均单调递增；当 $q < 0$ 时，因其图象似两条飘带，我们称之为“飘带函数”，“飘带函数”在 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, + \infty)$ 上均为增函数．已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a \neq 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，计算 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (1) - f (2) - f (3)$ 的值；

(2)、当 $a = - 1$ 时，若不等式 $k f (x) + 1 \geq f^{2} (x)$ 对 $\forall x \in [2, 3]$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、设 $h (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ，是否存在正实数 $a$ ，使得对于区间 $[0, \frac{1}{2}]$ 上的任意三个实数 $m, n, p$ ，都存在以 $f (h (m)), f (h (n)), f (h (p))$ 为边长的三角形？若存在，试求出这样的 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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15、已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 5^{x} + a^{2} - 2}{5^{x} + 1}$ 是 $R$ 上的奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数，求解方程 $f (x) = \frac{1}{3}$ ；

(3)、若函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数，且关于 $x$ 的不等式 $f (x) - \frac{k \cdot 5^{2 x} - 1}{5^{x} + 1} \geq 0$ 在 $x \in [- 1, 1]$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围．

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16、近年来我市提出了“科技强市”的发展目标，全市各企业积极响应．某企业为进一步提高经济效益，着手研发新产品．现计划投入60万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，在对市场进行调研分析后发现，甲、乙产品的利润 $M 、 N$ 与研发投入 $a$ （单位：万元）满足 $M = \{\begin{array}{l} 8 \sqrt{a - 1} + 25 ， 10 \leq a \leq 37 \\ - \frac{1600}{a} + 121 ， 37 < a \leq 50 \end{array}$ ， $N = a + 10$ ．设甲产品的投入为 $x$ （单位：万元），两种产品的总利润为 $f (x)$ （单位：万元）．

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？

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17、设全集 $U = R$ ，已知集合 $P = \{x | - 2 \leq x \leq 4\}$ ，集合 $Q = \{x | 1 - m \leq x \leq 1 + m\}$ ．

(1)、若 $m = 5$ ，求 $∁_{U} P$ 、 $P \cup Q$ ；

(2)、若 $Q$ $\subseteq$ $P$ ，求出 $m$ 的取值范围．

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18、已知函数 $f (x)$ 满足对任意实数 $a ， b$ 恒有 $f (a - b) = f (a) - f (b) + 2$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 2$ ， $f (2) = 3$ ，则不等式 $f (x^{2}) - f (|x|) < 3$ 的解集为．

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19、已知函数 $g (x)$ 为奇函数，幂函数 $f (x) = x^{3 m - 7} (m \in N)$ 为偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减，若 $f (1) + g (1) = - 1$ ，则 $f (- 1) + g (- 1) =$ ．

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20、求值： $lg 8 - lg 2 + lg 25 - e^{ln 2} =$ ．

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