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相关试卷

1、盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为.

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2、已知离散型随机变量X的分布列为
$X$
-1
0
1
$P$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$
a
设 $Y = 6 X + 1$ ，则Y的数学期望 $E (Y) =$ ．

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3、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2, E$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点， $P$ 为线段 $B D_{1}$ 上的点（异于端点），且 $E D = P D$ ，则下列说法正确的是（）

A、 ${\vec{E D}}_{1}$ 是平面 $E D C$ 的一个法向量 B、 $\vec{B P} = \frac{3}{4} \vec{B D_{1}}$ C、点 $P$ 到平面 $E C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{18}$ D、二面角 $P - E C - D$ 的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$

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4、关于 ${(x + \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式，下列结论正确的是（）

A、所有的二项式系数和为16 B、所有项的系数和为243 C、只有第3项的二项式系数最大 D、x的系数为40

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5、已知函数 $f (x) = ln x + 1 - a x$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $a > 1$ B、 $x_{1} + x_{2} < \frac{2}{a}$ C、 $x_{1} \cdot x_{2} < 1$ D、 $x_{2} - x_{1} > \frac{1}{a} - 1$

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6、在各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{2} > 1$ ，其前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，且 $T_{20} = T_{10}$ ，则 $T_{n}$ 取得最大值时，则 $n$ 的值为（）

A、 $15$ B、 $16$ C、 $29$ D、 $30$

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7、要把5名农业技术员分到3个乡村支援工作，每名技术员只分配到1个村，甲村至少需要2名，乙村、丙村均不少于1名，则不同的分配方案共有（）

A、180种 B、120种 C、90种 D、80种

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8、已知 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) = 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) = 0.9545, P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) =$ 0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量 $Y$ （单位：克）服从正态分布 $N (600, 4)$ ，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（）

A、286 B、293 C、252 D、246

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9、无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.

A、9 B、12 C、15 D、18

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10、如果函数的图象如下图，那么导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11、设等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{3} = 2$ ， $b_{7} = 6$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、 $- 36$ B、36 C、 $- 18$ D、18

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12、设函数 $f (x) = | 2 x - 2 | + | x + 2 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 5 - 2 x$ ；

(2)、令 $f (x)$ 的最小值为 $T$ ，正数 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} + 2 b = T$ ，证明： $a + b \leq 2 \sqrt{2} - 1$ ．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{a}}$ ，其中 $x > 0$ ， $a > 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若方程 $\frac{f (x)}{e} = x - a \ln x$ 恰有两个不相等的实数根，求 $a$ 的取值范围．

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14、如图，在四棱锥 $C - A B D E$ 中， $D E ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B D = 4$ ， $D E = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = A D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $A E / /$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $B C ⊥ C D$ ，且直线 $B C$ 与 $A E$ 所成角为 $30 °$ ，求点E到平面 $A B C$ 的距离．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为2的等比数列，公比 $q > 0$ ，且 $a_{4}$ 是 $6 a_{2}$ 和 $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{\log_{2} a_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 1}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前2023项和 $T_{2023}$ ．

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16、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $A = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.从① $a = 2 \sqrt{3}$ ；② $b = 2$ 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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17、2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人的情况，并将调查结果整理如下：

有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
60
80
140
感染支原体肺炎
40
20
60
合计
100
100
200

(1)、是否有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？

(2)、现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，再从6人中随机抽出2人作为医学研究对象并免费治疗，求2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率．
附表：
$P (K^{2} ⩾ k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）

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18、《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为.

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19、在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若 $A_{1} B_{1} = 2, A B = 4$ ，则该四棱台的高是.

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20、已知实数 $x, y$ 满足 $\{\begin{matrix} y \leq 4 - x \\ y + 2 \geq 0 \\ y \leq x + 2 \end{matrix}$ ，则 $2 x + 3 y$ 的最大值为．

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	有慢性疾病	没有慢性疾病	合计
未感染支原体肺炎	60	80	140
感染支原体肺炎	40	20	60
合计	100	100	200

$P (K^{2} ⩾ k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$X$	-1	0	1
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	a