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1、已知函数 $f (x) = (a - 1) x^{2} + a sin x$ 为偶函数，则实数 $a =$ .

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2、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、 $A B_{1}$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $60 °$ B、 $D B_{1}$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $60 °$ C、 $A B_{1}$ 与 $A_{1} D$ 所成的角为 $45 °$ D、 $D B_{1}$ 与 $C_{1} D_{1}$ 所成的角为 $45 °$

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3、函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(0, - \frac{1}{2})$ ，将该函数的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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4、若直线 $y = k x$ 与曲线 $y = ln x$ 相切，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{2}{e^{2}}$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $\frac{2}{e}$

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5、已知 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，若 $|F_{1} A| = 2 |F_{2} A|$ ， $∠ A F_{1} F_{2} = 30 °, △ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} + a_{5} + a_{9} = 9, b_{2} b_{5} b_{8} = 3 \sqrt{3}$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{8}}{1 + b_{2} b_{8}} =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7、执行如图所示的程序框图，若输入的 $x$ 值为2023，则输出的 $y$ 值为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
下列说法正确的是（）

A、甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小 B、甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小 C、甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小 D、甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大

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9、已知命题 $p : \exists x \in R, 2^{x} \geq 2 x + 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \notin R, 2^{x} < 2 x + 1$ B、 $\exists x \in R, 2^{x} < 2 x + 1$ C、 $\forall x \notin R, 2^{x} < 2 x + 1$ D、 $\forall x \in R, 2^{x} < 2 x + 1$

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (- 2, - 1)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、10 B、18 C、 $(- 7, 8)$ D、 $(- 4, 14)$

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11、已知集合 $A = \{x |- 3 < x < 2\}, B = \{x |x^{2} + 4 x - 5 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- 3, 1]$ C、 $[- 1, 2)$ D、 $(- 3, 2)$

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12、南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第 $n + 1$ 层球数比第 $n$ 层球数多 $n + 1$ ，设各层球数构成一个数列 $\{a_{n}\}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $f (x) = l n (1 + x) - \frac{x}{1 + x}$ 的最小值；

(3)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{2^{n}}{l n (2 a_{n}) - 2 l n n}$ ，对于 $n \in N^{*}$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} < n \times 2^{n + 1}$ .

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13、已知直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $| A B | = 4 \sqrt{15}$ ．

(1)、求 $p$ ；

(2)、设F为C的焦点，M，N为C上两点， $\vec{F M} \cdot \vec{F N} = 0$ ，求 $△ M F N$ 面积的最小值．

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14、如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A$ 与AC不垂直，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A ⊥ A B$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ A C$ ；

(2)、若 $P A = P C = A B = A C = 2$ ，点M满足 $\vec{P B} = 3 \vec{P M}$ ，求直线 $A P$ 与平面 $A C M$ 所成角的正弦值．

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15、某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
25
女生
35
合计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、请将上述列联表补充完整；

(2)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；

(3)、将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (χ^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.010
0.001
$k$
2.706
3.841
6.635
10.828

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $∠ A$ 为钝角， $a = 7$ ， $\sin 2 B = \frac{\sqrt{3}}{7} b \cos B$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $b = 7$ ；条件②： $\cos B = \frac{13}{14}$ ；条件③： $c \sin A = \frac{5}{2} \sqrt{3}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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17、已知椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，点 $P$ 是 $y$ 轴正半轴上一点， $P F_{1}$ 交椭圆于点A，若 $A F_{2} ⊥ P F_{1}$ ，且 $△ A P F_{2}$ 的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是．

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18、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ ．

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19、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P是线段 $B C_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $A_{1} - A P D$ 的体积为定值 B、 $A_{1} P ∥$ 平面 $A C D_{1}$ C、 $A P + B_{1} P$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、当 $A_{1}$ ， C， $D_{1}$ ， P四点共面时，四面体 $B_{1} P A_{1} C_{1}$ 的外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$

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20、下列说法中，正确的命题有（）

A、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, δ^{2}), P (ξ < 4) = 0.84$ ，则 $P (2 < ξ < 4) = 0.34$ B、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $\hat{z} = \ln y$ ，求得线性回归方程为 $\hat{z} = 0.3 x + 4$ ，则c，k的值分别是 $e^{4}$ 和0.3 C、在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 D、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的方差为2，则数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{10} - 1$ 的方差为16

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$P (χ^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828

	喜欢游泳	不喜欢游泳	合计
男生		25
女生	35
合计