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相关试卷

1、若函数 $f (x) = (2 - m) x - ln x - m$ 有两个零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(- \infty, 3)$

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2、若 $\vec{O A} = (0, 0, 1)$ ， $\vec{O B} = (2, - 1, 2)$ ， $\vec{O C} = (1, 2, 3)$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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3、排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，前 $2$ 局甲队以 $2 : 0$ 领先，则最后甲队获得比赛胜利的概率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{11}{27}$ C、 $\frac{19}{27}$ D、 $\frac{40}{81}$

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4、两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{{(e^{x} - 1)}^{'}}{x^{'}} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{1} = 1$ ，则 $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x + x - 1}{x^{2} + x - 2} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、2

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 2 ln x$ ， $a \in R .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间 $;$

(2)、若函数 $f (x)$ 的两个极值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > \frac{8}{a} - \frac{a}{2}$ ．

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6、环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：
v
0
10
40
60
M
0
1325
4400
7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
① $M_{1} (v) = \frac{1}{40} v^{3} + b v^{2} + c v$ ；② $M_{2} (v) = 1000 \cdot {(\frac{2}{3})}^{v} + a$ ；③ $M_{3} (v) = 300 \log_{a} v + b$ ．

(1)、当 $0 \leq v \leq 80$ 时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；

(2)、现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足 $N (v) = 2 v^{2} - 10 v + 200$ $(80 \leq v \leq 120)$ ，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

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7、已知函数f(x)＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ sin 2x－ $\frac{1}{2}$ cos 2x＋1.
（1）求f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
（2）若f(α)＝ $\frac{2}{5}$ ， α∈ $(\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$ ，求sin 2α的值．

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8、为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动 $.$ 经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮 $.$ 在最后一轮比赛中，有 $A$ ， $B$ 两道问题 $.$ 其中问题 $A$ 为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；问题 $B$ 为必答题，甲、乙两人都要回答 $.$ 已知甲能正确回答每道题的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，乙能正确回答每道题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且甲、乙两人各题是否答对互不影响．

(1)、求问题 $A$ 被回答正确的概率；

(2)、记正确回答问题 $B$ 的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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9、已知 $m > 0$ ，函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + m$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 1, 2]$ 上的值域.

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\ln x|, x > 0, \\ - x^{2} + 1, x \leq 0, \end{array}$ 若方程 $f (x) = a$ 有三个不同的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $a x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围是.

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11、已知 $\tan θ = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\sin (θ + π) - 2 \sin (θ - \frac{π}{2})}{\cos (- θ) + \sin (π - θ)}$ 的值为．

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12、已知扇形的周长为 $16 cm$ ，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为 ${cm}^{2}$ .

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13、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{11 π}{12}, 0)$ 中心对称 C、 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $[- 2, 1]$

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14、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + x + 1$ 没有极值点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ B、 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$ C、 $(- \infty, - \sqrt{3})$ D、 $[\sqrt{3}, + \infty)$

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15、设 $a \in R$ ，则“ $a > - 2$ ”是“函数 $f (x) = 2 x^{2} + 4 a x + 1$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = λ (b_{n + 1} - b_{n})$ （ $λ$ 为非零常数）， $n \in N^{*}$

(1)、若 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，求证：数列 $\{a_{n}\}$ 也是等差数列；

(2)、若 $a_{1} = 2$ ， $λ = 3$ ， $b_{n} = \sin \frac{n π}{2}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前2025项和；

(3)、设 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $b_{2} = \frac{1}{2}$ ， $λ > 0$ ， $b_{n} = \frac{b_{n - 1} + b_{n - 2}}{2} (n \geq 3, n \in N^{*})$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的最大项和最小项.

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17、在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.

(1)、求选手乙正确作答2个题目的概率；

(2)、求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；

(3)、从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由.

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18、已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ . 斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与椭圆 $G$ 交于 $A, B$ 两点，以 $A B$ 为底边作等腰三角形，顶点为 $P (- 3, 2)$ .

(1)、求椭圆 $G$ 的离心率；

(2)、求 $△ P A B$ 的面积.

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19、已知函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 3 x + a$

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间和单调减区间

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 4]$ 上的最小值为 $\frac{7}{3}$ ，求实数 $a$ 的值

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20、点 $A, B$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点， $M$ 是椭圆上不同于 $A, B$ 的任意一点，若直线 $A M, B M$ 的斜率之积为 $- \frac{4}{9}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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v	0	10	40	60
M	0	1325	4400	7200