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相关试卷

1、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的体积为 $4 \sqrt{3} π, P$ 是空间中的一点，则下列命题正确的是（）

A、若点 $P$ 在正方体表面上运动，且 $A P = 2$ ，则点 $P$ 轨迹的长度为 $2 π$ B、若 $P$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 上的点（不包括点 $C_{1}, D_{1}$ ），则直线 $A P$ 与 $C C_{1}$ 是异面直线 C、若点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则始终有 $D_{1} P ⊥ A_{1} D$ D、若点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则三棱锥 $A - B_{1} P D_{1}$ 体积为定值

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2、已知 $f (x) = \sin (ω x + \frac{2 π}{3}) + \sqrt{3} \cos (ω x + \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期是 $π$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 是单调递增 B、 $f (x - \frac{π}{4})$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 的最大值是 $1 + \sqrt{3}$ D、 $(k π, 0) (k \in Z)$ 是 $f (x)$ 的对称中心

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3、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (1) = \frac{1}{2}$ ，且 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 的周期为4 C、 $f (2 x - 1)$ 关于 $x = \frac{1}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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4、若 $P (A |B) = \frac{1}{8}$ ， $P (A) = \frac{1}{8}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 的关系是（）

A、事件 $A$ 与 $B$ 互斥 B、事件 $A$ 与 $B$ 对立 C、事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、事件 $A$ 与 $B$ 既互斥又相互独立

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{a_{7}}{a_{5}} = \frac{12}{13}$ ，则 $\frac{S_{13}}{S_{9}} =$ （）

A、 $\frac{9}{13}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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6、在平面内，设 $\vec{n}$ 是直线 $l$ 的法向量， $A$ 、 $B$ 为两个定点， $A \in l, B \notin l$ ， $P$ 为一动点，若点 $P$ 满足： $\frac{|\vec{P A} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = |\vec{P B}|$ ，则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、圆 B、抛物线 C、椭圆 D、双曲线

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7、已知 $x > 1$ ， $y > 0$ ， $x + y = 2$ ，则 $(x - 1) \cdot y$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、1

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8、若 $z^{2} = - 7 - 24 i$ ，则复数z的虚部（）

A、4 B、 $- 4$ C、 $\pm 4$ D、 $- 4 i$

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9、设集合 $A = {x \in N | y = \frac{12}{x + 3} \in N}$ ，则集合 $A$ 的真子集个数为（）

A、7 B、8 C、15 D、16

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10、甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格，第2格， $\dots$ ，第25格，棋子开始在第1格.盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）.每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束.记棋子跳到第 $n$ 格的概率为 $P_{n} (n = 1, 2, 3, \dots, 25)$ .

(1)、甲在一次摸球中摸出红球的个数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望；

(2)、证明：数列 $\{P_{n} - P_{n - 1}\} (2 \leq n \leq 24)$ 为等比数列，并求 $\{P_{n}\}$ 的通项公式.

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11、已知 $A$ ， $B$ 分别是椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右顶点， $C$ 为 $M$ 的上顶点， $P$ 是 $M$ 上在第一象限的点， $|A C| = \sqrt{5}$ ，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{4}$ ．

(1)、求 $M$ 的方程；

(2)、直线 $A C$ 与 $B P$ 交于点 $D$ ， $C P$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，求 $\frac{|P E|}{|P B|} \cdot \frac{|P D|}{|P C|}$ 的取值范围．

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12、函数 $f (x) = x^{2} + a \ln x - a + 1$ ， $g (x) = e^{x} - \frac{\ln x + 1}{x}$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、对任意 $x_{1} \in (1, e^{2})$ ，都有 $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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13、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且 $3 a_{n + 1}^{2} + 2 a_{n + 1} a_{n} - a_{n}^{2} = 0 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、 $b_{n} = \frac{a_{n} - a_{n + 1}}{a_{n} a_{n + 1} + a_{n} + a_{n + 1} + 1} (n \in N^{*})$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} < \frac{1}{4}$ .

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14、在下面的数表中，各行中的数从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等， $a_{(n, m)}$ 表示第 $n$ 行，第 $m$ 列的数.已知 $a_{(1, 1)} = 1$ ， $a_{(2, 2)} = 4$ ， $a_{(3, 3)} = 12$ .

第一列
第二列
第三列
第四列
…
第一行
$a_{(1, 1)}$
$a_{(1, 2)}$
$a_{(1, 3)}$
$a_{(1, 4)}$
…
第二行
$a_{(2, 1)}$
$a_{(2, 2)}$
$a_{(2, 3)}$
$a_{(2, 4)}$
…
第三行
$a_{(3, 1)}$
$a_{(3, 2)}$
$a_{(3, 3)}$
$a_{(3, 4)}$
…
第四行
$a_{(4, 1)}$
$a_{(4, 2)}$
$a_{(4, 3)}$
$a_{(4, 4)}$
…
…
…
…
…
…
…

(1)、求数列 $\{a_{(n, 2)}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{(n, 2)}$ ， $c_{n} = a_{(n, 2)} + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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15、若关于 $x$ 的不等式 $k x - \sqrt{2 x - x^{2}} \leq 1$ 的解集是 $[0, 1]$ ，则 $k$ 值是．

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16、瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在非等边 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $B$ 坐标为 $(- 2 ， 2)$ ，点 $C$ 坐标为 $(3 ， - 1)$ ，且其“欧拉线”与圆 $M ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $△ A B C$ 的“欧拉线”方程为，圆M的半径 $r =$ ．

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17、已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 直线 $l$ ： $x + y - 2 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 上存在点 $P$ ，过 $P$ 向圆引两切线，切点为A，B，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ B、直线 $l$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 向圆引割线与圆交于A，B，使得 $|P A| |P B| = 2$ C、与圆 $C$ 内切，与直线 $l$ 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 D、与圆 $C$ 外切，与直线 $l$ 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线

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18、平面内互不重合的点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 、 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ 、 $B_{4}$ ，若 $|\vec{A_{1} B_{i}} + \vec{A_{2} B_{i}} + \vec{A_{3} B_{i}}| = i$ ，其中 $i = 1$ ， 2，3，4，则 $|B_{1} B_{2}| + |B_{2} B_{3}| + |B_{3} B_{4}|$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{4}{3}, \frac{8}{3}]$ B、 $[\frac{4}{3}, \frac{16}{3}]$ C、 $[\frac{4}{3}, \frac{10}{3}]$ D、 $[1, 5]$

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19、已知 ${(x + 1)}^{2021} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2020} x^{2020} + a_{2021} x^{2021}$ ，则 $a_{1} + a_{5} + a_{9} + \dots + a_{2021} =$ （）

A、 $2^{2019} + 2^{1009}$ B、 $2^{2019} - 2^{1009}$ C、 $2^{2021} + 2^{1011}$ D、 $2^{2021} - 2^{1011}$

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20、已知经过同一点的 $n (n \in N^{*}, n \geq 3)$ 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成 $f (n)$ 个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时，应证明增加的空间个数为（）

A、 $2 k$ B、 $2 k + 2$ C、 $\frac{k^{2} + k + 2}{2}$ D、 $k^{2} + k + 2$

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	第一列	第二列	第三列	第四列	…
第一行	$a_{(1, 1)}$	$a_{(1, 2)}$	$a_{(1, 3)}$	$a_{(1, 4)}$	…
第二行	$a_{(2, 1)}$	$a_{(2, 2)}$	$a_{(2, 3)}$	$a_{(2, 4)}$	…
第三行	$a_{(3, 1)}$	$a_{(3, 2)}$	$a_{(3, 3)}$	$a_{(3, 4)}$	…
第四行	$a_{(4, 1)}$	$a_{(4, 2)}$	$a_{(4, 3)}$	$a_{(4, 4)}$	…
…	…	…	…	…	…