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相关试卷

1、如图，从双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点 $F_{2}$ ，且C在点P的切线l恰好为 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线所在的直线.已知 $|F_{1} F_{2}| = 4$ ， C的离心率为2，则下列结论正确的是（）

A、C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、若 $P (\sqrt{3}, y_{0})$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$ C、若l与x轴交于点 $Q (\frac{2}{3}, 0)$ ，则 $∣ P F_{1} ∣ = 4$ D、若l的斜率为2，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形

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2、已知向量 $\vec{a} = (3, - 1)$ ， $\vec{b} = (x, y)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x + 3 y = 0$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $3 x + y = 0$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x - 3 y = 0$ D、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $3 x - y = 0$

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3、如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（）

A、 $\frac{80 π}{9}$ B、 $\frac{320 π}{9}$ C、 $20 π$ D、 $80 π$

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4、已知 $P$ 是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上一点， $l$ 为 $C$ 的准线，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ，记 $M$ 为 $P H$ 的中点， $O$ 为坐标原点， $F$ 为 $C$ 的焦点.若 $|O M| = 2$ ，则 $|P F| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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5、已知 $sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (α - \frac{π}{3}) + cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{4}{9}$ B、 $- \frac{10}{9}$ C、 $\frac{10}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} m x + 1, x < 2 \\ - 2^{- x}, x \geq 2 \end{cases}$ 的值域为 $[- \frac{1}{4}, + \infty)$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{5}{8}, - \frac{1}{2})$ B、 $[- \frac{5}{8}, 0)$ C、 $(- \frac{5}{8}, - \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{5}{8}, 0)$

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7、已知随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 94) + P (X < 86) = 1$ ，则 $μ =$ （）

A、88 B、90 C、92 D、94

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8、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 a + b = 2 c cos B$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9、集合 $A = \{x \in N| \frac{12}{x} \in N\}$ 的子集的个数为（）

A、64 B、16 C、6 D、4

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10、复数 $(1 + i) (4 - i)$ 的虚部为（）

A、 $5 i$ B、 $3 i$ C、5 D、3

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11、在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有 $n$ 个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为1，2，…，n．游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止．游戏停止时，取球的总次数记作T， $P_{n} (T = k)$ 表示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率．

(1)、求 $P_{10} (T = 2)$ 和 $P_{10} (T = 3)$ 的值；

(2)、若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率 $P_{n}$ （用n表示）．

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12、已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b x + b}{2 e^{x}}$ ．

(1)、当 $a = 1, b = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最大值；

(2)、当 $a = 0$ 时，若对任意的实数m，直线 $y = x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 恰有一个公共点，求实数b的取值范围；

(3)、若 $a = 1, 0 < b \leq 2, 0 < c \leq 2$ ．证明：当 $x \in [0, + \infty)$ 时， $2 f (x) + \frac{1}{e^{x}} \leq e^{x} (3 - c \sin x)$ ．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴的长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线 $l : y = k x + m (k \neq 0)$ 与椭圆C有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x，y轴于 $A (x_{0}, 0)$ 和 $B (0, y_{0})$ ．
（i）求 $△ O A B$ 面积的最大值；
（ii）当点M运动时，求点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的轨迹方程．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， E为线段 $P B$ 的中点，F为线段 $B C$ 上的动点．

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若直线EC与平面 $A E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求 $B F$ ．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1} = \frac{3}{2}$ ， $2 a_{n + 1} = a_{n} + 1$ ．

(1)、求证：数列 $\{a_{n} - 1\}$ 为等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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16、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，若球O同时满足条件：①与平面 $A B C_{1} D_{1}$ ，平面 $A_{1} B C D_{1}$ 均相切，②与棱 $A A_{1}$ 相切（即与棱 $A A_{1}$ 仅有一个公共点），则球O的半径的最小值为．

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17、已知 $A (- 2, 0), B (1, 0)$ ，若直线 $x - y + c = 0$ 上存在点P满足 $|P A| = 2 |P B|$ ，则实数c的最大值是．

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18、已知向量 $\vec{a}$ =（2，6）， $\vec{b}$ = $(- 1, λ)$ ，若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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19、已知函数 $f (x) = \tan (\frac{π}{6} x - \frac{π}{6})$ ，关于x的不等式 $[f (x) - a] \cdot [f (x) - a - t] \leq 0 (t > 0)$ 在区间 $(0, 2026)$ 内的整数解的个数为n，下列说法正确的是（）

A、若 $a = t = 1$ ，则 $n = 338$ B、若 $t = 1$ ，则n的最小值为338 C、若存在实数a，使 $n = 676$ ，则t的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若存在实数t，使 $n = 676$ ，则a的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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20、已知 $\{z_{n}\}$ 是由复数组成的数列， $z_{n + 1} = (z_{n} - 3) \cdot i^{2026}$ （i为虚数单位），且 $z_{1} = 1 + i$ ，则（）

A、 $\frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{1 + 3 i}{2}$ B、 $z_{2} + z_{3} = 3$ C、 $|z_{1} - z_{2} + z_{3} - z_{4} + \dots - z_{2026}| = 1013 \sqrt{5}$ D、若 $|z - z_{2025}| = 1$ ，则 $|z - z_{2026}|$ 的最小值为 $\sqrt{5} - 1$

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