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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 6$ ，则 $A C =$ .

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2、焦点分别为 $(- 2, 0)$ ， $(2, 0)$ 且经过点 $(2, 3)$ 的双曲线的标准方程为.

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3、圆C过抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的两点 $A (1, 2)$ 、 $B (4, - 4)$ ，则（）

A、圆C面积的最小值为 $\frac{45}{4} π$ B、圆C与抛物线 $Γ$ 的公共点个数为2或4 C、若圆C与抛物线 $Γ$ 还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2 D、若圆C与抛物线 $Γ$ 还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2

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4、市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为77、60，其中A工厂生产的产品得分如下表：
分数
名次（按高分到低分排名）
甲产品
75
4
乙产品
66
6
则在此次抽查评分中（）

A、9家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数 B、9家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数 C、9家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数（高于平均数10分以上） D、9家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数（低于平均数10分以上）

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5、已知函数 $f (x) = \frac{2 \sin x}{3 + \cos 2 x}$ ，则 $f (x)$ （）

A、最小正周期为 $π$ B、是奇函数 C、在 $[0, π]$ 上单调递增 D、最大值为1

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6、已知球O的表面积为 $12 π$ ，球面上有A，B，C，D四点， $D A$ ， $D B$ ， $D C$ 与平面 $A B C$ 所成的角均为 $\frac{π}{4}$ ，若 $△ A B C$ 是正三角形，则 $A B =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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7、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} - 1} (a \in R)$ ，命题p： $f (x)$ 是奇函数，命题q： $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9、若 $α + β = \frac{5 π}{4} (α \neq \frac{π}{2} + k π, β \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z)$ ，则 $(1 + \tan α) (1 + \tan β) =$ （）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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10、在平面直角坐标系xOy中，曲线C： $\frac{|x|}{4} + \frac{|y|}{3} = 1$ 的周长为（）

A、12 B、14 C、16 D、20

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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12、已知集合 $A = \{x| 2 \leq x < 7\}$ ， $B = \{x| 3 < x < 10\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x| 2 \leq x < 7\}$ B、 $\{x| 2 \leq x < 10\}$ C、 $\{x| 3 < x < 7\}$ D、 $\{x| 3 < x < 10\}$

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13、复数 $(3 + 4 i) (3 - 4 i) =$ （）

A、 $- 25$ B、25 C、 $- 5$ D、5

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14、对于一个有穷整数列 $Q : a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ ，对正整数 $m \in N^{*}$ ，若对于任意的 $n \in \{1, 2, \dots, m\}$ ，有穷数列 $Q$ 中总存在 $a_{i}$ ， $a_{i + 1}$ ， $\dots$ ， $a_{i + j}$ ，自然数 $j \geq 0$ 使得 $a_{i} + a_{i + 1} + \dots + a_{i + j} = n$ ，则称该数列为1到 $m$ 连续可表数列.即1到 $m$ 中的每个数可由 $Q$ 中的一个或连续若干项表示，而 $m + 1$ 不可由 $Q$ 中连续若干项表示.例如数列2，1，3则 $a_{2} = 1$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{3} = 3$ ， $a_{2} + a_{3} = 4$ ，而 $a_{1} + a_{2} \neq 5$ ， $a_{2} + a_{3} \neq 5$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} \neq 5$ ，所以数列2，1，3是1到4连续可表数列.

(1)、数列 $Q_{1} : 1$ ， $1$ ， $1$ ， $1$ ， $1$ 是否为1到5连续可表数列？若数列 $Q_{2} : 2$ ， $1$ ， $4$ 是一个1到 $m$ 连续可表数列，求 $m$ 的值.

(2)、若有穷数列 $Q : a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 为1到5连续可表数列，且公比 $q$ 为整数，求数列的公比 $q$ 的值.

(3)、对正整数 $n$ ， $g \in N^{*} (g \geq 2)$ ，存在唯一的数列 $a_{1}$ ， $\dots$ ， $a_{m}$ 使得， $n = a_{1} \cdot g^{0} + a_{2} \cdot g^{1} + \dots + a_{m} \cdot g^{m - 1}$ ，且满足 $a_{m} \neq 0$ ， $0 \leq a_{i} \leq g - 1$ ， $i = 1$ ， $2$ ， $3 \dots$ $m$ 数列 $a_{1} \cdot g^{0}$ ， $a_{2} \cdot g^{1}$ ， $\dots$ ， $a_{m} \cdot g^{m - 1}$ 称为正整数 $n$ 的 $g$ 进制残片.记事件“随机挑选区间 $[1, r]$ 内的整数（ $r$ 为大于等于2的正整数），该数的 $g$ 进制残片调整顺序后能成为1到5连续可表数列”的概率为 $p_{g} (r)$ ，求 $p_{g} (r)$ 的表达式.

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15、设函数 $f (x) = ln x$ ， $g (x) = 1 - e^{1 - x}$ ．

(1)、当 $x > 1$ 时，比较 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的大小关系；

(2)、证明： $y = f (x)$ 的图象与 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x + y - 1 = 0$ 对称；

(3)、在平面直角坐标系中，若以 $M (1, 0)$ 为圆心的圆交 $y = |f (x)|$ 的图象于A，B两点，证明： $∠ A M B < \frac{π}{2}$ ．

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16、如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为等腰梯形，且 $A B = 2 C D = 2$ ， $∠ A B C = 60^{°}$ ，四边形 $A C F E$ 为矩形，且 $F B = \sqrt{2}$ ， M，N分别为 $E F$ ， $A B$ 的中点.
（1）求证： $M N / /$ 平面 $F C B$ ；
（2）若直线 $A F$ 与平面 $F C B$ 所成的角为60°，求平面 $M A B$ 与平面 $M A C$ 所成锐二面角的余弦值.

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\sqrt{3} sin A}{cos B} = \frac{a}{b}$ ， $a^{2} = b^{2} + b c$ .

(1)、求角 $B$ 和 $A$ ；

(2)、已知 $b = 2$ ，设 $M$ 、 $N$ 为线段 $A B$ 上的两个动点（ $M$ 靠近点 $A$ ），且 $∠ M C N = \frac{π}{6}$ .
①若 $A M = 1$ ，求 $△ M N C$ 的周长；
②当 $∠ A C M$ 为何值时， $△ M N C$ 的面积最小，最小面积是多少？

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18、一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球 $2 n$ 次 $(n \in N^{*})$ ，且每次取1只球， $X$ 表示 $2 n$ 次取球中取到红球的次数， $Y = \{\begin{array}{l} X ， X 为奇数 \\ 0 ， X 为偶数 \end{array}$ ，则 $Y$ 的数学期望为（用 $n$ 表示）．

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19、加斯帕尔 $\cdot$ 蒙日(图1)是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆(图2)．已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P ， Q$ 均在 $C$ 的蒙日圆 $O$ 上， $P A ， P B$ 分别与 $C$ 相切于 $A ， B$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C$ 的蒙日圆方程是 $x^{2} + y^{2} = 4$ B、设 $N (1 ， 1)$ ，则 $|A N| + |A F_{2}|$ 的取值范围为 $[4 - \sqrt{5} ， 4 + \sqrt{5}]$ C、长方形 $R$ 的四条边均与椭圆 $C$ 相切，长方形 $R$ 的面积的最大值为14 D、若直线 $P Q$ 过原点 $O$ ，且与 $C$ 的一个交点为 $G ， |G F_{1}| \cdot |G F_{2}| = 3$ ，则 $|G P| \cdot |G Q| = 3$

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20、已知函数 $f (x) = (x + 1) ln x + x - 1$ ，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程是 $3 x - y + 3 = 0$ B、函数 $y = f^{'} (x)$ 的单调递减区间为 $(0, 1)$ C、函数 $y = f (x) - f^{'} (x)$ 有唯一的零点 D、函数 $y = f^{'} (x)$ 的最大值为3

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	分数	名次（按高分到低分排名）
甲产品	75	4
乙产品	66	6