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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $1$ 的正方形， $O$ 是 $A B C D$ 的中心， $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $P A ∥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若 $O P = 2$ ，求三棱锥 $E - B C D$ 的体积.

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2、已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $(2 a - b) \cos C = c \cos B, a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积S的取值范围为．

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3、下列说法中正确的是．(填序号)
①棱柱的面中，至少有两个面互相平行；
②以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
⑤圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.

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4、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 表示水平放置的 $△ O A B$ 根据斜二测画法得到的直观图， $O^{'} A^{'}$ 在 $x^{'}$ 轴上， $O^{'} B^{'}$ 在 $y^{'}$ 轴上， $A^{'} B^{'}$ 与 $x^{'}$ 轴垂直，且 $O^{'} A^{'} = \sqrt{2}$ ，则 $△ O A B$ 的面积为．

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5、已知直线 $a //$ 平面 $α$ ，直线 $b //$ 平面 $α$ ，则直线 $a, b$ 的位置关系可能是（）

A、平行 B、异面 C、相交 D、以上都不对

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6、已知复数 $z = 1 + i$ ( $i$ 为虚数单位)，则（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、z对应的点在第一象限 C、z的虚部为 $i$ D、z的共轭复数为 $- 1 + i$

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7、蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = 2 \sqrt{2}, A B = A C = 2, ∠ B A C = 90 °$ ，则该球的体积为（）

A、 $16 π$ B、 $\frac{16 π}{3}$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $8 π$

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8、设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，定义 $\vec{a} \oplus \vec{b} = |\vec{a} \sin θ - \vec{b} \cos θ|$ ，已知 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}| = 1$ ，则 $\vec{a} \oplus \vec{b} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9、已知平面向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $\overset{⃑}{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $|\overset{⃑}{b}| = 1$ ，则 $|\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}|$ ＝（）

A、2 B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10、如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝ $\sqrt{3}$ R，圆锥内液体体积为V₁ ，圆柱内液体体积为V₂ ，则（　　）

A、V₁＝2V₂ B、V₁＝V₂ C、V₂＝2V₁ D、V₁＝ $\sqrt{3}$ V₂

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11、已知 $\tan α = - 3$ ，则 $\frac{\sin 4 α}{4 \sin α c o s α} =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $- \frac{8}{5}$

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12、在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $B C =$

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6}$

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13、复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，且在复平面内 $z$ 对应的点为Z，则复平面内点Z的轨迹是（）.

A、点 B、圆 C、线段 D、圆环

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14、2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024・内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
场次编号x
1
2
3
4
5
观众人数y
0.7
0.8
1
1.2
1.3

(1)、已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程；

(2)、若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将 $2 \times 2$ 列联表补充完整，依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
50
女性观众
60
总计
100
200
参考公式及参考数据：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.100
0.050
0.010
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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15、已知向量 $\vec{a} = (c o s x ， s i n x) ， \vec{b} = (3 ， - \sqrt{3}) ， x \in [0 ， π]$ ．
（1）若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求x的值；
（2）记 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

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16、已知函数 $f (x) = |\lg x| - k x - 2$ ，给出下列四个结论：
①若 $k = 0$ ， $f (x)$ 恰有2个零点；
②存在负数 $k$ ，使得 $f (x)$ 恰有1个零点；
③存在负数 $k$ ，使得 $f (x)$ 恰有3个零点；
④存在正数 $k$ ，使得 $f (x)$ 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是．

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17、已知m、n是不同的直线， $α 、 β$ 是不重合的平面，给出下列命题：
①若 $α // β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m // n$ ；
②若 $m, n \subset α, m ∥ β, n ∥ β$ ，则 $α // β$ ；
③若 $m ⊥ α, n ⊥ β, m // n$ ，则 $α // β$ ；
④m，n是两条异面直线，若 $m // α, m // β, n // α, n // β$ ，则 $α // β$ ．
上面的命题中，真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）

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18、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝ $\{\begin{matrix} \frac{c}{\sqrt{x}}, x < A, \\ \frac{c}{\sqrt{A}}, x \geq A \end{matrix}$ (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是

A、75，25 B、75，16 C、60，25 D、60，16

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19、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .向量 $\vec{p} = (a + c, b)$ ， $\vec{q} = (b - a, c - a)$ .若 $\vec{p} / / \vec{q}$ ，则角 $C$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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20、平面直角坐标系中有 $n$ 只蚂蚁，分别位于点 $P_{1} (1, 0), P_{2} (2, 0), \dots, P_{n} (n, 0)$ ．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量 $X$ 为一次操作后 $P_{i}$ （ $1 \leq i \leq n$ 且 $i \in N^{*}$ ）中的“空点”数目．

(1)、若 $n = 2$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、定义随机变量 $Y_{i} = \{\begin{array}{l} 1, 若一次操作后 P_{i} 为 “ 空点 ” \\ 0, 若一次操作后 P_{i} 不为 “ 空点 ” \end{array}$ ，当 $n \geq 3$ 时，求 $Y_{i}$ 的分布列与期望 $E (Y_{i})$ ；

(3)、当 $n \geq 3$ 时，求 $n$ 的最小值，使得 $E (X) < \frac{5}{8} n$ ．
（参考公式：若 $ξ = η_{1} + η_{2} + \dots + η_{n}$ ，则 $E (ξ) = E (η_{1}) + E (η_{2}) + \dots + E (η_{n})$ ）

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	购买A等票	购买非A等票	总计
男性观众		50
女性观众	60
总计		100	200

场次编号x	1	2	3	4	5
观众人数y	0.7	0.8	1	1.2	1.3

$α$	0.100	0.050	0.010
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635