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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \ln x + b x (a, b \in R)$ 的图象在点 $(1, - 3)$ 处的切线方程为 $y = - 2 x - 1.$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意 $x \in [\frac{1}{3}, + \infty)$ 有 $f (x) \leq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) + x^{2} + k + 2$ 在 $(0, + \infty)$ 内有3个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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2、设某幼苗从观察之日起，第 $x$ 天的高度为 $y cm$ ，测得的一些数据如下表所示：
第 $x$ 天
1
4
9
16
25
36
49
高度 $y cm$
0
4
7
9
11
12
13
作出这组数据的散点图发现： $y (cm)$ 与 $x$ （天）之间近似满足头系式 $y = b \sqrt{x} + a$ ，其中 $a$ ， $b$ 均为大于0的常数．

(1)、试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对 $a$ ， $b$ 作出估计，并求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于 $\bar{y}$ 的点的个数为 $ξ$ ，其中 $\bar{y}$ 为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望．
附：对于一组数据 $(v_{1}, μ_{1})$ ， $(v_{2}, μ_{2})$ ， …， $(v_{n}, μ_{n})$ ，其回归直线方程 $\hat{μ} = α + β v$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} \cdot μ_{i} - n \bar{v} \cdot \bar{μ}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{μ} - \hat{β} \bar{v}$ ．

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3、某商店对该店某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行分析发现：该款冰雪运动装备的日销售单价 $P (x)$ （元/套）与时间x（该月的第x天）的函数关系近似满足 $P (x) = 1 + \frac{k}{x}$ （k为正常数）.该商品的日销售量 $Q (x)$ （个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x
10
20
25
30
$Q (x)$
110
120
125
130
已知第10天该商品的日销售收入为121元.

(1)、求k的值；

(2)、根据上表中数据，用函数模型 $Q (x) = a x + b$ ，（ $a, b$ 为常数）来描述该商品的日销售量 $Q (x)$ 与时间x的关系，试求出函数 $Q (x)$ 的解析式；

(3)、根据（1）（2）的结论，求该商品的日销售收入 $f (x)$ （ $1 \leq x \leq 30$ ， $x \in N^{*}$ ）（元）的最小值.

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4、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = (x ∣ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0}$ ， $B = {x ∣ |x - 3| < 1}$ ， $C = {x ∣ 2 a \leq x \leq a + 2, a \in R}$

(1)、分别求 $A \cap B, A \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $B \cup C = B$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $A \cap C \neq \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围．

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5、已知随机变量 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq - 2) = P (X \geq a)$ ，则函数 $y = \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{a - x} (0 < x < a)$ 的最小值为．

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6、命题 $p :$ $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} - x < 0$ ，则命题 $p$ 的否定为．

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7、2024年3月3日，由中国田径协会技术认证，贵州省体育局、黔西南州人民政府共同主办的“加油奔跑·兴义真好”2024万峰林马拉松赛鸣枪开跑.近2万名选手穿行城市间，奔跑峰林中，尽享“万峰成林处、阳光黔西南”的山水画卷.本次马拉松共设置了4个服务站点（真实数据是16个，本题设置为4个），某参赛运动员在第1个服务点停留的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在其他服务点停留的概率均为 $\frac{1}{2}$ ．用随机变量X表示该运动员会停留的服务点的个数，则下列正确的是（）

A、 $P (X = 1) = \frac{1}{8}$ B、 $P (X = 2) = \frac{3}{8}$ C、一次都不停留的概率为 $\frac{1}{32}$ D、至多停留一次的概率为 $\frac{5}{32}$

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8、已知 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 展开式中各项二项式系数之和为128，则（）

A、 $n = 7$ B、展开式的各项系数之和是 $- 1$ C、展开式中第4项和第5项的二项式系数最大 D、展开式中无常数项

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9、在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P (x, y)$ 到两个定点 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ 的距离之积等于3，化简得曲线C： $x^{2} + y^{2} + 1 = \sqrt{4 x^{2} + 9}$ ，下列结论不正确的是（）

A、曲线C关于y轴对称 B、 $|P F_{1}| + |P F_{2}|$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{3}{2}$ D、 $|O P|$ 的取值范围为 $[\sqrt{2}, 2]$

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10、新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前 $5 % - 3 %$ 的同学赋分 $95 - 97$ 分．若原始分的最大值为 $a$ ，最小值为 $b$ ，令 $f (x)$ 为满足 $f (a) = 97$ ， $f (b) = 95$ 的一次函数．对于原始分为 $x, (b \leq x \leq a)$ 的学生，将 $f (x)$ 的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分 $96$ ，赋分 $97$ ；小叶原始分 $81$ ，赋分 $95$ ；小林原始分 $89$ ，他的赋分是（）

A、 $95$ B、 $96$ C、 $97$ D、 $96$ 或 $97$

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11、如图是函数 $f (x)$ 的部分图象，记 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，则下列选项中值最大的是（）

A、 $f (3)$ B、 $3 f^{'} (3)$ C、 $f (- 14)$ D、 $f^{'} (8)$

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12、若 $a > 1$ ，则 $4 a + \frac{1}{a - 1}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、无最小值

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13、某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（）

A、192种 B、168种 C、72种 D、144种

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14、数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、设集合 $A = {- 1, 0, 1}$ ，集合 $B = {0, 1, 2, 3}$ ，定义 $A * B = {(x, y) | x \in A \cap B, y \in A \cup B}$ ，则 $A * B$ 中元素个数是（）

A、7 B、10 C、 $2^{5}$ D、 $5^{2}$

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16、“ $- 2 < x < 4$ ”是“ $x^{2} - x - 6 < 0$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、在以下四个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给出解答．（注：如果选择多个条件份分别进行解答，则按第一个解答计分）
① $2 a - b = 2 c \cos B$ ；② $c \sin B = b \cos (C - \frac{π}{6})$ ；③ $\frac{2 a}{b} = \frac{\tan C}{\tan B} + 1$ ；④ $b + b \cos C = \sqrt{3} c \sin B$ ．在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且___________．

(1)、求C；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围；

(3)、若 $c = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， D为AB的中点，求CD的值．

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18、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象，如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [0, \frac{π}{3}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域.

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19、已知复数 $z_{1} = \frac{3}{a + 2} + (a^{2} - 3) i, z_{2} = 2 + (3 a + 1) i, a \in R$ ．

(1)、若复数 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；

(2)、若虚数 $z_{1}$ 是方程 $x^{2} - 6 x + m = 0$ 的一个根，求实数m的值．

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20、已知平面内给定三个向量 $\overset{⃑}{a} = (2, 3)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 4, 3)$ ， $\overset{⃑}{c} = (4, 1)$ .

(1)、求 $\cos ⟨\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}⟩$ ；

(2)、若 $(\overset{⃑}{a} + k \overset{⃑}{c}) ⊥ (2 \overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{a})$ ，求实数k.

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第 $x$ 天	1	4	9	16	25	36	49
高度 $y cm$	0	4	7	9	11	12	13

x	10	20	25	30
$Q (x)$	110	120	125	130