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相关试卷

1、在科技飞速发展的今天，人工智能领域迎来革命性的突破.类似于OpenAI的人工智能大模型不仅具有高度智能化、自主化和自适应的特点，它们的学习能力和信息储存能力也远远超越人类，更是拥有强大的语音识别和语言理解能力.某机构分别用 $A$ ， $B$ 两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠，从某知识领域随机选取180个问题进行分组回答，其中 $A$ 人工智能大模型回答100个问题，有90个正确； $B$ 人工智能大模型回答剩下的80个问题，有65个正确.

(1)、完成下列 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值 $α = 0.10$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关？
回答正确
回答错误
合计
$A$ 人工智能大模型
$B$ 人工智能大模型
合计

(2)、将频率视为概率，用 $A$ 人工智能大模型回答该知识领域的3道题目，且各题回答正确与否，相互之间没有影响，设回答题目正确的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
参考公式及参考数据： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.15
0.10
0.05
0.010
$x_{0}$
2.072
2.706
3.841
6.635

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2、某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近10年投入的年研发费用 $x$ 千万元与年销售量 $y$ 千万件的数据，得到散点如图，对数据作出如下处理：令 $u_{i} = \ln x_{i}, v_{i} = \ln y_{i}$ ，得到相关统计量的值如表：
$\sum_{i = 1}^{10} u_{i} v_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} u_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} ν_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} u_{i}^{2}$
30.5
15
15
46.5
附：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、利用散点图判断 $y = b x + a$ 和 $y = c \cdot x^{d} (c > 0, d > 0)$ 哪一个更适合作为年研发费用 $x$ 和年销售量 $y$ 的回归类型（不必说明理由），并根据数据，求出 $y$ 与 $x$ 的回归方程；

(2)、已知企业年利润千万元与 $x, y$ 的关系式为 $z = \frac{27}{e} y - x$ （其中为自然对数的底数），根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？

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3、杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列： $1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1 ， 1 ， 4 ， 6 ， 4, 1, \dots$ .记作数列 $\{a_{n}\}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{68} =$ .

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4、设 ${(x - 1)}^{6} = a_{0} + a_{1} (x - 2) + \dots + a_{6} {(x - 2)}^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{6} =$ .

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5、某班有40名学生，一次考试后数学成绩 $X$ 服从正态分布 $N (115, σ^{2})$ ，若 $P (110 < X \leq 115) = 0.3$ ，则估计该班学生数学成绩不低于 $120$ 分的人数为．

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6、已知函数 $f (x) = x (e^{x} + 2), g (x) = (x + 2) ln x$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、若对任意 $x > 0$ ，不等式 $f (a x) \geq f (ln x^{2})$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为 $\frac{2}{e}$ C、函数 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在极值点 D、若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t (t > 0)$ ，则 $\frac{ln t}{x_{1} (x_{2} + 2)}$ 的最大值为 $\frac{1}{e}$

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7、下列选项中正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (10, \frac{1}{2})$ ，则 $D (2 X) = 5$ B、口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量 $X$ ，则 $X$ 的数学期望 $E (X) = \frac{7}{5}$ C、对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是 $\frac{5}{13}$ D、某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次

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8、已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是（）

A、若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法 B、若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法 C、若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法 D、若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法

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9、在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数 $f (x)$ ，存在一个点 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，那么我们称 $f (x)$ 为“不动点”函数．若 $f (x)$ 存在 $n$ 个点 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，满足 $f (x_{i}) = x_{i}$ ，则称 $f (x)$ 为“ $n$ 型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（）

A、 $f (x) = 1 - ln x$ B、 $f (x) = 5 - ln x - e^{x}$ C、 $f (x) = \frac{4 e^{x - 2}}{x}$ D、 $f (x) = 2 sin x + 2 cos x$

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10、已知三家公司同时生产某一产品，它们的市场占有率分别为20%，30%，50%，且对应的次品率为1%，2%，3%，则该产品的次品率为（）

A、2.3% B、3.3% C、1.3% D、3%

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11、若函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + a \ln x$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 4$ B、 $a \geq 4$ C、 $a \leq - 4$ D、 $a \geq - 4$

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12、现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，则在已知抽到两名同学性别相同的条件下，抽到两名女同学的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、设随机变量 $β \sim N (0, σ^{2})$ ， $P (β < - 2) = 0.3$ ，则函数 $f (x) = x^{2} - β x + 1$ 无零点的概率为（）

A、0.3 B、0.4 C、0.6 D、0.7

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14、二项式 ${(2 x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为（）

A、448 B、900 C、1120 D、1792

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15、色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度Y和色差X之间满足线性相关关系，且 $Y = 0.8 X + \hat{a}$ ，当色差 $X$ 为31时，估计色度 $Y$ 为（）
色差X
22
24
25
26
28
色度Y
17
19
20
23
26

A、25.8 B、24.8 C、24 D、23.8

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16、曲线 $f (x) = x ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线的方程为（）

A、 $2 x - y - 2 = 0$ B、 $x - y - 1 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $3 x - y - 1 = 0$

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17、柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足①图象在 $[a, b]$ 上是一条连续不断的曲线；②在 $(a, b)$ 内可导；③对 $\forall x \in (a, b)$ ， $g^{'} (x) \neq 0$ ．则 $\exists ξ \in (a, b)$ ，使得 $\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (ξ)}{g^{'} (ξ)}$ ．特别的，取 $g (x) = x$ ，则有： $\exists ξ \in (a, b)$ ，使得 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (ξ)$ ，此情形称之为拉格朗日中值定理．

(1)、设函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 0$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，判断函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 的单调性并证明；

(2)、若 $\forall a, b \in (0, e)$ 且 $a > b$ ，不等式 $\frac{ln a}{b} - \frac{ln b}{a} + m (\frac{b}{a} - \frac{a}{b}) < 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $0 < x_{1} < x_{2} < \frac{π}{2}$ ，求证： $e^{x_{2}} - e^{x_{1}} > (sin x_{2} - sin x_{1}) e^{x_{1}}$ ．

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18、陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前某省有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后才可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 $\frac{3}{5}$ ， $\frac{7}{8}$ ， $\frac{3}{4}$ ，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为 $\frac{5}{6}$ ， $\frac{4}{7}$ ， $\frac{2}{3}$ .

(1)、求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

(2)、经过前后两次烧制后，如果陶瓷合格则可以上市销售，每件陶器可获利100元；如果陶器不能合格，则每件陶器亏损80元，求这3件陶器最终盈亏 $Y$ 的分布列和数学期望.

(3)、 $A$ ， $B$ ， $C$ 三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ ，且 $0 < p_{3} < p_{2} < p_{1} < 1$ ，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束.按 $A$ ， $B$ ， $C$ 的顺序制作陶器，若 $p_{1} p_{2} = \frac{2}{9}$ ， $p_{1} \in [\frac{2}{3}, 1)$ ，求制作陶器人数 $X$ 的数学期望的最大值.

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19、已知函数 $f (\frac{1}{2} x - 1) = x^{2} - \frac{1}{2} x - 2$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）对任意的实数 $x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，都有 $\frac{1}{2} f (x) \geq \frac{1}{2} x + a x - \frac{3}{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = |\log_{2} x|$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x$ ，若对任意 $x \in [a ， + \infty)$ ，总存在两个 $x_{0} \in [\frac{1}{2} ， 4]$ ，使得 $g (x) \cdot f (x_{0}) = 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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	回答正确	回答错误	合计
$A$ 人工智能大模型
$B$ 人工智能大模型
合计

$\sum_{i = 1}^{10} u_{i} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} u_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} ν_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} u_{i}^{2}$
30.5	15	15	46.5

$α$	0.15	0.10	0.05	0.010
$x_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635

色差X	22	24	25	26	28
色度Y	17	19	20	23	26