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相关试卷

1、 $△ A B C$ 所在平面内一点 $O$ 满足 $3 \vec{O A} + 2 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{9} \vec{A B} + \frac{2}{9} \vec{A C}$ B、延长 $A O$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，则 $B M = 2 C M$ C、若 $B C = 3$ ，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O A} \cdot \vec{O C}$ ，则 $\vec{O B} \cdot \vec{B C} = - 6$ D、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}| = 1$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{B C} = - \frac{9}{8}$

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2、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列四个命题中，正确的命题是（）

A、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $(a^{2} + b^{2}) sin (A - B) = (a^{2} - b^{2}) sin (A + B)$ ，则 $A B C$ 是等腰三角形 C、若 $D$ 在线段 $A B$ 上，且 $A D = 5$ ， $B D = 3$ ， $C B = 2 C D$ ， $cos ∠ C D B = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为8 D、若 $A B = \sqrt{7}$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $cos ∠ B A C = \frac{1}{7}$ ，动点 $D$ 在 $△ A B C$ 所在平面内且 $∠ B D C = \frac{2 π}{3}$ ，则动点 $D$ 的轨迹的长度为 $\frac{8 π}{3}$ .

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3、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4, M$ 为棱 $D C$ 的中点， $N$ 为侧面 $B C_{1}$ 的中心，过点 $M$ 的平面 $α$ 垂直于 $D N$ ，则平面 $α$ 截正方体 $A C_{1}$ 所得的截面面积为（）

A、 $4 (\sqrt{5} + \sqrt{2})$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{6}$

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4、在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ A = 2 ∠ B$ ，则 $\frac{b + c}{2 b}$ 的范围是（）

A、 $(1, \frac{3}{2})$ B、 $(1, \frac{4}{3})$ C、 $(\frac{4}{3}, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, 2)$

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5、已知函数 $f (x) = sin 2 x - \sqrt{3} cos 2 x$ 在 $[α, \frac{π}{3}]$ 与 $[α + \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 上的值域均为 $[t, \sqrt{3}]$ ，则 $α$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{π}{2}, - \frac{5 π}{12}]$ B、 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{3}]$ C、 $[- \frac{5 π}{12}, - \frac{π}{6}]$ D、 $[- \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}]$

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6、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为 $4$ ，点 $P$ 是正八边形 $A B C D E F G H$ 的内部（包含边界）任一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 8 \sqrt{2}, 16 + 8 \sqrt{2}]$ B、 $[- 16 - 8 \sqrt{2}, 8 \sqrt{2}]$ C、 $[- 16 - 8 \sqrt{2}, 16 + 8 \sqrt{2}]$ D、 $[- 8 \sqrt{2}, 8 \sqrt{2}]$

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7、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{c} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ C、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $2 \vec{c} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c}$

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8、第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时 $h (x) = 180 x + 100$ ；当产量大于50万盒时 $h (x) = x^{2} + 60 x + 3500$ ，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）

(1)、求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；

(2)、当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.

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9、计算下列各值：

(1)、 ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 2)}^{0} - {(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(\frac{3}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 $(\log_{4} 3 + \log_{8} 3) \times (\log_{3} 2 + \log_{9} 2) - \log_{2} \sqrt[4]{32}$ .

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10、已知函数 $f (x) = 2023^{x} - 2023^{- x} + x^{2023}$ ，对任意的 $k \in [- 3, 3]$ ， $f (k x - 2) + f (x) < 0$ 恒成立，则 $x$ 的取值范围为．

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11、已知命题：“ $\forall x \in R, a x^{2} - a x - 2 < 0$ ”为真命题，则 $a$ 的取值范围是．

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12、若函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{x} + a$ 在区间 $(1, 2)$ 上存在零点，则常数a的取值范围为．

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13、已知x，y均为正实数，且 $x + 2 y = 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y \geq 2$ B、 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} \geq 2$ C、 $2^{x} + 4^{y} \geq 8$ D、 $x^{2} + 4 y^{2} \leq 8$

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14、下列函数中，与函数 $y = x + 2$ 不是同一个函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x + 2})}^{2}$ B、 $y = \sqrt[3]{x^{3}} + 2$ C、 $y = \frac{x^{2}}{x} + 2$ D、 $y = \sqrt{x^{2}} + 2$

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15、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 ${(1 + 1 %)}^{365}$ 看作是每天的“进步”率都是 $1 %$ ，一年后是 ${1.01}^{365} \approx 37.7834$ ；而把 ${(1 - 1 %)}^{365}$ 看作是每天“退步”率都是 $1 %$ ，一年后是 ${0.99}^{365} \approx 0.0255.$ 若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过 $($ 参考数据： $lg 101 \approx 2.0043$ ， $lg 99 \approx 1.9956)$ （）天．

A、200天 B、210天 C、220天 D、230天

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16、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{5}{2} - |x - 1|, |x| \geq 1 \\ \lg \frac{1 - x}{1 + x}, |x| < 1 \end{matrix}$ ，则 $f [f (- 2)]$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\lg 3$ D、 $- \lg 3$

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17、集合 $M = \{x | x < - 2$ 或 $x \geq 3\}$ ， $N = \{x | x - a \leq 0\}$ ，若 $N \cap ∁_{R} M = \emptyset$ （R为实数集），则a的取值范围是（　　）

A、 $\{a | a \leq 3\}$ B、 $\{a | a \leq - 2\}$ C、 $\{a | a < - 2\}$ D、 $\{a | - 2 \leq a \leq 2\}$

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别为 $l_{1} ： y = 2 x$ 和 $l_{2} ： y = - 2 x$ ，右焦点坐标为 $(\sqrt{5}, 0)$ ， $O$ 为坐标原点．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值；

(3)、直线y=4x-6与双曲线的右支交于点 $A_{1}, B_{1}$ （ $A_{1}$ 在 $B_{1}$ 的上方），过点 $A_{1}, B_{1}$ 分别作 $l_{2}, l_{1}$ 的平行线，交于点 $P_{1}$ ，过点 $P_{1}$ 且斜率为4的直线与双曲线交于点 $A_{2}, B_{2}$ （ $A_{2}$ 在 $B_{2}$ 的上方），再过点 $A_{2}, B_{2}$ 分别作 $l_{2}, l_{1}$ 的平行线，交于点 $P_{2}$ ， ⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}, n \geq 3, n \in N*$ ．证明： $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ 共线．

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19、如图， $E$ 是以 $A B$ 为直径的圆上一点， $∠ A O E = 2 ∠ E O B$ ，等腰梯形 $A B C D$ 所在的平面垂直于 $⊙ O$ 所在的平面，且 $A B = 2 C D = 4$ .

(1)、求 $C D$ 与 $A E$ 所成的角：

(2)、若异面直线 $D E$ 和 $A B$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求二面角 $D - E C - B$ 的平面角的正切值.

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20、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 2^{n} - 1 (n \geq 2)$ ， $a_{4} = 81$ ．

(1)、求 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ ；

(2)、是否存在一个实数 $λ$ ，使此数列 $\{\frac{a_{n} + λ}{2^{n}}\}$ 为等差数列？若存在求出 $λ$ 的值及 $a_{n}$ ；若不存在，说明理由．

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