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相关试卷

1、某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记 $X$ 为抽到红球的次数，则 $P (X = 3) =$ ．

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2、在 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{5}$ 的二项展开式中， $x^{- 2}$ 的系数为（用数字作答）．

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3、已知动圆 $C ： {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = 4$ 的圆心 $C (x_{0}, y_{0})$ 在曲线 $y = e^{x}$ 上运动， $O$ 是原点，则下列结论正确的是（）

A、存在两个不同的实数 $x_{0}$ 满足圆 $C$ 经过点 $O$ B、若圆 $C$ 被直线 $y = e x$ 平分，则圆心的坐标为 $(1, e)$ C、当 $x_{0} > 0$ 时，存在某个位置使得圆 $C$ 被两条坐标轴截得的弦长相等 D、若点 $M$ 在圆 $C$ 上运动，点 $N$ 在直线 $y = x - 3$ 上运动，则 $|M N|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$

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4、已知动直线 $l : x = m y + 1$ 经过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点 $F$ ，与 $C$ 交于 $M, N$ 两点， $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $p = 1$ B、 $|M N|$ 的最小值为4 C、抛物线 $C$ 在 $M, N$ 处的切线的交点在准线上 D、当直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ 时， $△ O M N$ 是等腰三角形

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5、下列命题中的真命题是（）

A、数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，11的 $90 %$ 分位数是10 B、已知 $m = (x, 1), n = (y, - 1)$ ，命题“ $\exists x, y > 0$ ，使 $m, n$ 平行”的否定是“ $\forall x, y > 0$ ， $m, n$ 平行” C、设 $a, b \in R$ ，则“ $|a| > b$ ”是“ $a > b$ ”成立的必要不充分条件 D、奇函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ 在定义域上单调递增

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6、已知实数 $a ， b ， c$ 满足 $2^{\frac{1}{2} - a} = 3^{\frac{1}{3} - b} = 7^{\frac{1}{7} - c}$ ，则下列关系一定不成立的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c = a < b$ D、 $c < a < b$

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7、已知甲、乙、丙、丁四名学生利用假期的某周周一到周五去敬老院参加志愿者活动，每天去一人，且甲参加两天活动，其余三名学生每人一天，则安排甲不在相邻两天做志愿者的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, \frac{n + 1}{a_{n + 1}} = \frac{n + 2 a_{n}}{a_{n}}$ ，则数列 $\{\frac{n}{a_{n}}\}$ 的前10项和为（）

A、9 B、10 C、100 D、99

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9、已知直线 $l ： x - 2 y + 4 = 0$ 的倾斜角为 $α$ ，直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为点 $A$ ， $l$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转 $45 °$ 得到直线 $l_{1}$ ， $l_{1}$ 与 $x$ 轴的交点为点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(\frac{2}{3}, 0)$ B、 $(8, 0)$ C、 $(4, 0)$ D、 $(6, 0)$

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10、已知函数 $f (x) = |tan (3 x + \frac{π}{3})|$ 图象的对称轴为直线 $x = a$ ，其中 $a > 0$ ，则 $a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{18}$ B、 $\frac{π}{9}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$ 或 $\frac{7 π}{12}$

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12、已知集合 $U = R, A = \{x ||x - 2| > 3\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (5, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1]\cup[5, + \infty)$ C、 $(- 1, 5)$ D、 $[- 1, 5]$

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13、已知复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ （ $i$ 是虚数单位）的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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14、已知过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A, B$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、以 $|A B|$ 为直径的圆与准线相切 B、若点 $M (4, 3)$ ，则 $|A F| + |A M|$ 的最小值为5 C、若直线 $l$ 的倾斜角为 $30^{\circ}$ ，则 $S_{△ A O B} = 16$ D、点 $N$ 为线段 $A B$ 中点，则点 $N$ 的坐标可以是 $(3, 2)$

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15、设 $θ \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，若 $tan θ + \frac{1}{tan θ} = \frac{5}{2}$ ，则 $sin (2 θ + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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16、已知函数 $f (x) = 1 - (x + 1) e^{x}$ ， $g (x) = a x - \sin x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $g (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 单调递增，求a的取值范围；

(2)、求 $f (x)$ 函数的零点；

(3)、已知 $min \{m, n\} = \{\begin{matrix} m, m \leq n \\ n, n < m \end{matrix}$ ，记 $F (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ．
问是否存在实数a，使得对任意 $x \in R$ ， $F (x) \leq 0$ 恒成立？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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17、2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为 $p$ ，且每局比赛相互独立．

(1)、在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计 $p$ ．
（ⅰ） $p$ 为多少？
（ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数 $X$ 的分布列．

(2)、如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求 $p$ 的取值范围？

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18、已知函数 $f (x) = x - \frac{2 a}{x} - (a + 2) ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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19、某袋中装有大小相同质地均匀的6个球，其中4个白球和2个红球．从袋中随机一次取出3个球．

(1)、求至少有一个红球的概率；

(2)、记取出白球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的概率分布、数学期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ ．

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20、直线 $y = k x + b$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切也与曲线 $y = g (x)$ 相切，则称直线 $y = k x + b$ 为曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 的公切线，已知函数 $f (x) = a x^{2}$ ， $g (x) = ln x$ ，其中 $a \neq 0$ ，若曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 的公切线有两条，则 $a$ 的取值范围为．

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