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相关试卷

1、函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin^{2} x - \sqrt{3} \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x$ ，下列结论正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、若关于 $x$ 的方程 $2 f (x) - m = 0$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 上有两个不相等的实数根，则 $m \in [2 \sqrt{3}, 4]$ D、函数 $h (x) = \sin 2 x - f (x) + 2 \sin x$ 的最大值为 $\frac{7}{6} \sqrt{3}$

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2、已知△ABC的三个顶点坐标为 $A (- 1, 1)$ ， $B (2, 0)$ ， $C (3, - 1)$
(1)求△ABC的外接圆 $O_{1}$ 的方程；
(2) 若圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 2 = 0$ 相交，求两圆的公共弦长.

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3、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是空间单位向量， $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{2}$ .若空间向量 $\vec{b}$ 满足 $\vec{b} \cdot \vec{e_{1}} = 2, \vec{b} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{5}{2}$ ，且对于任意 $x, y \in R, |\vec{b} - (x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}})| \geq |\vec{b} - (x_{0} \vec{e_{1}} + y_{0} \vec{e_{2}})| = 1 (x_{0}, y_{0} \in R)$ ，则 $y_{0} =$ ， $|\vec{b}| =$ .

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4、设 $x$ ， $y \in R$ ， $\vec{a} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, y, z)$ ， $\vec{c} = (x, - 4, 2)$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、3 D、4

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5、已知向量 $\vec{a} = (3, 5, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 1, 4)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $36$ B、 $32$ C、 $56$ D、 $52$

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6、已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ ，则圆心 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(- 2, 4)$ D、 $(2, - 4)$

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7、直线 $y = \sqrt{3} x + 2$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8、设 $f (x)$ 是可导函数，且 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + 3 Δ x) - f (1)}{Δ x} = 2$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、6 D、 $- 2$

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} + \sin x - a x, a \in R$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、 $\forall x \in [0, + \infty)$ ， $f (x) \geq \cos x$ 成立，求实数a的取值范围；

(3)、若 $a = 1, x \in [- 2 π, + \infty)$ 时， $y = m$ 与 $y = f (x)$ 的图象有三个交点，横坐标分别为 $x_{p}$ ， $x_{q}$ ， $x_{r}$ （ $x_{p} < x_{q} < x_{r}$ ），求证： $2 x_{q} < x_{p} + x_{r}$ .

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = {sin}^{2} θ, a_{2} = {cos}^{2} θ, S_{4} = 4$ ，其中 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、求公差 $d$ 及 $θ$ 的值；

(2)、设数列 $b_{n} = a_{n} sin \frac{n π}{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{20}$ .

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11、为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表：
男性
女性
需要
40
20
不需要
160
280

(1)、在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为 $P$ ，求 $P$ 的估计值；

(2)、完成抽样数据列联表，并根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关；并指出该调查中更优的抽样方法.
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879

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12、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ ，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 1 ， \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} = \frac{1}{2}$ ，则 $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4}$ 的值为.

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13、已知函数 $f (x) = (m \cdot 2^{x} + 2^{- x}) \cdot x$ 为偶函数，则 $m$ 的值为.

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14、已知函数 $f (x) = {sin}^{k} (2 x) + {cos}^{k} (3 x), k \in N^{*}$ ，则（）

A、当 $k = 2$ 时， $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、不存在整数 $k$ ，使得 $f (x)$ 的最大值为2 D、当 $k = 2 n + 1, n \in N^{*}$ 时， $f (x)$ 在 $[- π, 3 π]$ 上恰有 $12$ 个零点

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15、已知 $P (x_{0}, y_{0})$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 上一点，且 $x_{0} > 0$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是 $C$ 的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，下列说法正确的有（）

A、 $C$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ B、若 $|O P| = |O F_{1}|$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为1 C、若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} < 0$ ，则 $y_{0}$ 的取值范围是 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于A，B两点，若 $△ A F_{1} B$ 为等腰直角三角形，且 $∠ A F_{1} B = 90^{\circ}$ ，则 $l$ 的斜率为 $\pm \sqrt{2}$

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16、已知 $b > 0$ ， $e^{b + \ln 2} + 2 \ln a e = 4$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $b < \ln \frac{1}{a}$ B、 $e^{b + \ln 2} > 4 - 2 a$ C、 $a e^{b} > 1$ D、 $b + a - 1 > 0$

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17、平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $y = x^{2} + m x - 3, m \in R$ 与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在 $y$ 轴上截得的弦长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、5

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18、已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为 $28 \sqrt{7}$ ，则其表面积为（）

A、148 B、 $68 + 20 \sqrt{7}$ C、168 D、80

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19、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\sqrt{2} \vec{b}$ B、 $- \sqrt{2} \vec{b}$ C、 $\vec{b}$ D、 $- \vec{b}$

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20、点 $M$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上， $F$ 为 $C$ 的焦点， $M F ⊥ x$ 轴，过 $M$ 且与 $x$ 轴平行的直线与 $C$ 的准线交于点 $N, △ M N F$ 的面积2，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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	男性	女性
需要	40	20
不需要	160	280

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879