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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - \cos x$ ，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值为0 .

(1)、证明：当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ；

(2)、求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知两个非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，在空间中任取一点 $O$ ，作 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $∠ A O B$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，记作 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ . 定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”为 $\vec{a} \times \vec{b}$ ，它是一个向量，且与向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都垂直，它的模 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，如图，在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B = 2$ ，且 $|\vec{B C} \times \vec{S D}| =2 \sqrt{3}$ .

(1)、若 $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S D ⊥$ 平面 $P A C$ ，求平面 $P A C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的大小；

(2)、若点 $E$ 是侧棱 $S C$ （不包含端点）上的一个动点，当直线 $D E$ 与平面 $B C E$ 所成的角最大时，求 $\frac{S E}{S C}$ 的值.

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3、记 $△ A B C$ 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为 $a, b, c$ ，分别以 $a, b, c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，且 $S_{1} - S_{2} + S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $\sin A \sin C = \frac{1}{2}$ ，求 $b$ .

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4、已知锐角 $α$ ， $β$ 满足 $2 \cos (2 α + β) + \cos β = 0$ ，则 $\tan α + \tan β$ 的最小值为.

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5、已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =1 (a > b >0)$ 的左、右焦点， $|F_{1} F_{2}| = 6$ ， $P$ 是椭圆上异于顶点的一点，点 $Q$ 是以 $P F_{2}$ 为底的等腰三角形 $F_{1} P F_{2}$ 的内切圆圆心，过 $F_{1}$ 作 $F_{1} M ⊥ P Q$ ，垂足为 $M$ ， $|O M| =2$ ，则椭圆的离心率为

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6、设随机变量 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，向量 $(1, 1)$ 与向量 $(ξ, - 1)$ 的夹角为锐角的概率是 $0.5$ ，则 $μ$ 的值是.

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7、若 $a_{n} = 2^{n} ， b_{n} = 3 n - 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的公共项由小到大排列组成 $\{c_{n}\}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} < 5$ B、 $c_{4} = 32$ C、 $\{c_{n}\}$ 为等比数列 D、 $\sqrt{b_{1}}$ 、 $\sqrt{b_{2}}$ 、 $\sqrt{b_{3}}$ 不是任一等差数列的三项

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8、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，动点P在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内及其表面上运动，点E在棱AD上，且 $A E = \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ， $λ + μ = 1$ ，则三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 B、棱 $C_{1} D_{1}$ 上存在点P，使得 $E P / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ C、若 $A_{1} P ⊥ C_{1} D$ ，则动点P所围成的图形的面积为 $9 \sqrt{2}$ D、若动点P在正方形ABCD内， $A_{1} P = \sqrt{2} E P$ ，则线段BP的最小值为 $\sqrt{21} - \sqrt{15}$

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9、下列说法正确的是（）

A、连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 $A =$ “第一次出现 2 点”，事件 $B =$ “两次点数之和为奇数”，则事件 $A$ 与 $B$ 互斥 B、已知一组数据为 $- 1$ ， 1，2，4，3，5，10，9，若 $n$ 为这组数据的上四分位数，则 $n = 7$ C、数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ 组成一个样本，其回归直线方程为 $\hat{y} = x - 3$ ，其中 $\bar{x} =8 .2$ ，去除一个异常点 $(1, 7)$ 后，得到新的回归直线必过点 $(9, 5)$ D、若 $P (A) >0, P (B) >0$ ，则事件 $A, B$ 相互独立与 $A, B$ 互斥不可能同时成立

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10、已知函数 $f (x) = e^{|x|} - x^{2}$ ，若 $a = f (- \sqrt{2}), b = f (e^{\frac{1}{e}}), c = f (π^{\frac{1}{π}})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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11、记 $T_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积，已知 $a_{n} +2 T_{n} =1$ ，则 $T_{2026} =$ （）

A、 $\frac{1}{2027}$ B、 $\frac{1}{1013}$ C、 $\frac{1}{4053}$ D、 $\frac{2}{4051}$

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12、如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $2 \sqrt{15}$

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13、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{b} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角等于（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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14、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $M (3, m)$ 在抛物线上，且 $|M F| = 5$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若 $|A B| = 16$ ，求直线l的方程．

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15、已知 $\sin α + 2 \cos α = 0$ ，则 $\cos 2 α =$ ．

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16、已知集合 $A = \{y ∣ y = \sqrt{x} + 1\}, B = {x \in N ∣ 0 \leq x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 ${x ∣ 1 \leq x < 4}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 ${x ∣ 0 < x < 4}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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17、某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；

(2)、在样本答卷成绩为 $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在 $[70, 80)$ 中的市民应抽取多少人？

(3)、若落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是57，方差是2，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数 $z$ 和总方差 $S^{2}$ ．
参考公式： $S^{2} = \frac{n}{n + m} [S_{x}^{2} + {(\bar{z} - \bar{x})}^{2}] + \frac{m}{n + m} [S_{y}^{2} + {(\bar{z} - \bar{y})}^{2}]$ 其中 $\bar{z}$ 为总样本平均数．

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18、如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为.

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19、二面角 $α - l - β$ 为 $60 °$ ， $A$ ， $B$ 是棱 $l$ 上的两点， $A C$ ， $B D$ 分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = 2$ ， $B D = 4$ ，则 $C D$ 的长为．

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20、在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为；身高方差为.

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