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相关试卷

1、袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{5}{21}$ D、 $\frac{5}{23}$

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2、高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为 $1, 2, \dots, 6$ 的球槽内.

(1)、某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入 $X$ 号球槽，该商品可立减 $Y$ 元，其中 $Y = |15 - 5 X|$ .若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数）

(2)、将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？

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3、已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - 2 x$ （ $e$ 为自然对数的底数），

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 3 ln a + 2 - ln 2$ .

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4、甲､乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到 $10 : 10$ 平后，先多得2分者为胜方.在 $10 : 10$ 平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙发球时甲得分的概率为 $\frac{1}{3}$ ，各球的结果相互独立，在双方 $10 : 10$ 平后，甲先发球，则甲以 $13 : 11$ 赢下此局的概率为.

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5、某小吃店的日盈利 $y$ （单位：百元）与当天平均气温（单位： $^{\circ} C$ ）之间有如下数据：由表中数据可得回归方程 $\hat{y} = a x + b$ 中 $a = - 1$ .试预测当天平均气温为 $- {3.2}^{\circ} C$ 时，小吃店的日盈利约为百元.
$x /^{\circ} C$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
$y /$ 百元
5
4
2
2
1

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6、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，且 $0 \leq λ \leq 1, 0 \leq μ \leq 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $λ + u = 1$ ，则 $A P$ $/ /$ 面 $A_{1} C_{1} D$ B、若 $λ + u = 1$ ，则 $A P ⊥ B C_{1}$ C、若 $λ = μ = \frac{1}{2}$ ，则 $P$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ D、若 $λ = 1, 0 \leq μ \leq 1$ 时，直线 $D P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角为 $θ$ ，则 $sin θ \in [\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$

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7、已知事件 $A, B$ 满足 $P (A) = 0.5, P (B) = 0.2$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = 0.5$ B、若 $C$ 与 $B$ 相互对立，则 $P (B) + P (C) = 1$ C、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \bar{B}) = 0.1$ D、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A + B) = 0.7$

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8、已知 $6$ 条试题中有 $2$ 条选择题，甲无放回地依次从中抽取 $3$ 条题，乙有放回地依次从中抽取 $3$ 条题，甲､乙每次均抽取一条试题，抽出的 $3$ 条题中选择题的条数分别为 $ξ_{1}, ξ_{2}$ ， $ξ_{1}, ξ_{2}$ 的期望分别为 $E (ξ_{1}), E (ξ_{2})$ ，方差分别为 $D (ξ_{1}), D (ξ_{2})$ ，则（）

A、 $E (ξ_{1}) < E (ξ_{2}), D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ B、 $E (ξ_{1}) = E (ξ_{2}), D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ C、 $E (ξ_{1}) < E (ξ_{2}), D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$ D、 $E (ξ_{1}) = E (ξ_{2}), D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$

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9、中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱与梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱至少各1人，且甲、乙两人安排在同一个舱内的分配方案有（）

A、6种 B、12种 C、18种 D、24种

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10、已知函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，且 $\lim_{_{△ x \to 0}} \frac{f (x_{0} + △ x) - f (x_{0})}{2 △ x} = 4$ ，则 $f^{'} (x_{0}) =$ （）

A、8 B、 $- 8$ C、 $- 2$ D、2

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11、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）经过点 $A (2, 3)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，离心率 $e = \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、求 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的角平分线所在直线 $l$ 的方程；

(3)、过点 $F_{2}$ 且斜率为 $k_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 交椭圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ 两点，记直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，是否存在常数 $λ$ ，使得 $k_{2} + k_{3} - λ k_{1}$ 为定值?若存在，求出 $λ$ 及该定值；若不存在，请说明理由.

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12、为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号 $i$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩 $x_{i}$ /分
38
41
44
51
54
56
58
64
74
80
记 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ 分别为这10名学生体质测试成绩的平均分与方差，且 $∑_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 1690$ .

(1)、求 $\bar{x}$ ；

(2)、若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用 $X$ 表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，用 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ 的值分别作为 $μ$ ， $σ^{2}$ 的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间 $[43, 82]$ 的人数为 $Y$ ，求 $Y$ 的数学期望.
附：若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ \leq μ + σ) = 0.6827$ ，
$P (μ - 2 σ \leq ξ \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq ξ \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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13、如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B // D C$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ， $A D = D C = 1$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $D D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D_{1} N //$ 平面 $C B_{1} M$ ；

(2)、求直线 $D_{1} N$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离；

(3)、求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值.

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14、已知函数 $f (x) = sin (2 x + θ)$ ， $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，且 $f (0) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g (x)$ .设 $P (1, \sqrt{3})$ 为角 $α$ 终边上的一点，求 $g (2 α)$ .

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15、一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则满足 $|a - b| + |b - c| + |c - a| = 6$ 的情况有种.

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16、已知函数 $f (x) = 2 cos (x - \frac{π}{2}) + \frac{3}{x} + 3$ ，若 $f (a) = 4$ ，则 $f (- a) =$ .

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17、已知向量 $\vec{a} = (t, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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18、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 不是常数函数，且 $f (2 x) + f (x + y) f (x - y) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (x) f (- x) = 2$ C、 $f (3) = {[f (1)]}^{3}$ D、 $f (x) + f (- x) \leq - 2$

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19、已知双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为双曲线 $C$ 上一点，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率 $e = \sqrt{3}$ B、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值为 $- \sqrt{5}$ C、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $2 (\sqrt{3} + \sqrt{5})$ D、双曲线 $C$ 上存在不同两点 $M, N$ 关于点 $Q (1, 1)$ 对称

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20、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 2$ ， $a_{4} = 2 a_{2} + a_{3}$ ，设其公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $q = 2$ B、 $a_{n} = 2^{n}$ C、 $S_{10} < 2025$ D、 $a_{n} + a_{n + 1} < a_{n + 2}$

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序号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
成绩 $x_{i}$ /分	38	41	44	51	54	56	58	64	74	80

$x /^{\circ} C$	$- 2$	$- 1$	0	1	2
$y /$ 百元	5	4	2	2	1