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相关试卷

1、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $4 S = a b cos B + b^{2} cos A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $\frac{b}{c}$ 的取值范围.

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2、某科研课题组通过一款手机 $A P P$ 软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表及直方图：

周跑量（ $k m /$ 周）
人数
周跑量（ $k m /$ 周）
人数
$[10$ ， $15)$
100
$[35$ ， $40)$
150
$[15$ ， $20)$
120
$[40$ ， $45)$
60
$[20$ ， $25)$
130
$[45$ ， $50)$
30
$[25$ ， $30)$
180
$[50$ ， $55)$
10
$[30$ ， $35)$
220

(1)、请补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；

(2)、将周跑量在 $[10$ ， $25)$ ， $[25$ ， $40)$ ， $[40$ ， $55)$ 区间内的跑步爱好者依次记为 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取40人，求这三个组分别抽取的跑步爱好者人数；

(3)、根据以上图表数据，估计样本的下四分位数、众数及平均数（结果保留一位小数）．

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3、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}, |\vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = 4$ ，求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 的值；

(3)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量.

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4、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = 1, A D = 2, A A_{1} = 2, ∠ B A D = 60 °$ ，点 $P$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{A_{1} D_{1}}$ 上的动点(不包括端点)，点 $Q$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上的动点(不包括端点)，若三棱锥 $P - B C Q$ 的外接球表面积为 $S$ ，则 $S$ 的取值范围是．

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5、若10个数据的平均数是2，标准差是2，则这10个数据的平方和是．

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6、不等式组 $0 \leq x^{2} - 2 x - 3 < 5$ 的解集为.

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7、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F，G分别是棱AD， $D D_{1}$ ， CD的中点，则（）

A、直线 $A_{1} G$ ， $C_{1} E$ 为异面直线 B、二面角 $D_{1} - A C - B_{1}$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ C、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9

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8、如图所示， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图，其中 $O^{'} C^{'} = O^{'} A^{'} = 2 O^{'} B^{'} = 2$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 是钝角三角形 B、 $△ A B C$ 的面积是 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积的2倍 C、 $△ A B C$ 是等腰直角三角形 D、 $△ A B C$ 的周长是 $4 + 4 \sqrt{2}$

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D = 2 D B$ ， $A E = 3 E C$ ， $C D$ 与 $B E$ 交于 $F$ ， $\overset{⃑}{A F} = x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A C}$ ，则 $(x, y)$ 为（）

A、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$

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10、解放碑是重庆的标志建筑物之一，因其特存的历义内涵，仍牵动着人们敬仰的目光，在海内外具有非凡的影响.我校数学兴趣小组为了测量其高度 $A B$ ，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点 $A$ 的仰角为 $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ ，且 $C D = D E = 22 m$ ，则解放碑的高 $A B$ 约为（）（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.449$ ）

A、 $24 m$ B、 $27 m$ C、 $30 m$ D、 $33 m$

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11、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 2 \sqrt{3}, B B_{1} = 2 \sqrt{5}$ ，则三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的体积为（）

A、 $25 π$ B、 $29 π$ C、 $32 π$ D、 $36 π$

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12、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，下列命题中错误的是

A、若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α$ ∥ $β$ B、若 $α$ ∥ $γ$ ， $β$ ∥ $γ$ ，则 $α$ ∥ $β$ C、若 $m \subset α, n \subset β, m$ ∥ $n$ ，则 $α$ ∥ $β$ D、若 $m, n$ 是异面直线， $m \subset α, n \subset β, m$ ∥ $β$ ， $n$ ∥ $α$ ，则 $α$ ∥ $β$

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13、为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（）
① $a$ 的值为0.005；
②估计成绩低于60分的有25人；
③估计这组数据的众数为75；
④估计这组数据的第85百分位数为86．

A、②③ B、①③④ C、①②④ D、①②③

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14、设向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (λ, 1)$ ，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ$ 的值等于（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{7}{4}$ C、2 D、 $\frac{7}{4}$

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15、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}, B = \{2, 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、{2} B、{2，3，4} C、{1，2，3，4} D、{0，2，3，4}

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16、自然常数，符号 $e$ ，为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率 $π$ 和虚数单位 $i$ ，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是 $e = \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ .设数列 $\{e_{n}\}$ 的通项公式为 $e_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ， $n \in N *$ ，

(1)、写出数列 $\{e_{n}\}$ 的前三项 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ， $e_{3}$ ．

(2)、证明： $2 \leq e_{n} < 3$ ．

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17、在 $x O y$ 平面上，我们把与定点 $F_{1} (- a, 0), F_{2} (a, 0) (a > 0)$ 距离之积等于 $a^{2}$ 的动点的轨迹称为伯努利双纽线， $F_{1}, F_{2}$ 为该曲线的两个焦点．已知曲线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 9 (x^{2} - y^{2})$ 是一条伯努利双纽线．

(1)、求曲线 $C$ 的焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的坐标；

(2)、判断曲线 $C$ 上是否存在两个不同的点 $A$ 、 $B$ （异于坐标原点 $O$ ），使得以 $A B$ 为直径的圆过坐标原点 $O$ ．如果存在，求点 $A$ 、 $B$ 坐标；如果不存在，请说明理由．

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18、在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是等边三角形，侧面 $A_{1} A C C_{1}$ 是等腰梯形， $O$ 是 $A C$ 的中点， $B_{1} O$ 是两异面直线 $B_{1} B$ 和 $A C$ 的公垂线，且 $A B = 9 A_{1} B_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $B B_{1} = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明：侧面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} A C$ ；

(2)、若 $\vec{B O} = \vec{B_{1} E}$ ，且 $B_{1} B$ 与平面 $E A C$ 之间的距离为1，求二面角 $A - E C - B_{1}$ 的正切值．

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19、某网游经销商在甲地区5个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行游戏掉线次数测试，得到数据如下：

A
B
C
D
E
电信
4
3
8
6
12
网通
5
7
9
4
3

(1)、如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值α＝0.15的独立性检验，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关？

(2)、若该游戏经销商要在上述接受测试电信的5个地区中任选3个作为游戏推广，求A，B两个地区同时被选到的概率；

(3)、在（2）的条件下，以X表示选中的掉线次数超过5次的位置的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
x_α
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
α
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
x_α
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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20、在① $sin A sin B sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} ({sin}^{2} A + {sin}^{2} C - {sin}^{2} B)$ ；② $\frac{1}{tan A} + \frac{1}{tan B} = \frac{sin C}{\sqrt{3} sin A cos B}$ ；③设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $4 \sqrt{3} S + 3 (b^{2} - a^{2}) = 3 c^{2}$ .这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知，且 $b = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、若 $a + c = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{a}{c}$ 的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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周跑量（ $k m /$ 周）	人数	周跑量（ $k m /$ 周）	人数
$[10$ ， $15)$	100	$[35$ ， $40)$	150
$[15$ ， $20)$	120	$[40$ ， $45)$	60
$[20$ ， $25)$	130	$[45$ ， $50)$	30
$[25$ ， $30)$	180	$[50$ ， $55)$	10
$[30$ ， $35)$	220

α	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10
x_α	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706
α	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
x_α	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	A	B	C	D	E
电信	4	3	8	6	12
网通	5	7	9	4	3