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相关试卷

1、杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（）

A、从第2行起，第 $n$ 行的第 $r (r \leq n)$ 个位置的数是 $C_{n}^{r - 1}$ B、记第 $n + 1$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 3^{i - 1} a_{i} = 4^{n}$ C、从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{10} = 55$ D、从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} = \frac{2 n}{n + 1}$

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2、下列说法中错误的有（）

A、相关系数 $r$ 越小，表明两个变量相关性越弱 B、决定系数 $R^{2}$ 越接近1，表明模型的拟合效果越好 C、若随机变量 $X$ 服从两点分布，其中 $P (X = 0) = \frac{2}{3}$ ，则 $E (3 X + 2) = 3$ ， $D (3 X + 2) = 4$ D、随机变量 $X ～ N (3, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 5) = 0.7$ ，则 $P (X \leq 1) = 0.3$

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3、某单位有1000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占 $p % (0 < p < 100)$ ．给出下面两种化验方法．
方法1：对1000人逐一进行化验．
方法2：将1000人分为100组，每组10人．对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验.如果混合血样呈阴性，那么可断定这10人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．运用概率统计的知识判断下面哪个 $p$ 值能使得混合化验方法优于逐份化验方法（）
（参考数据： $lg 0.794 \approx - 0.1$ ）

A、18 B、22 C、26 D、30

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4、已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表：
$X$
0
1
$- 1$
$P$
$a$
$b$
$c$
其中满足 $a = b + c$ ，则 $D (X)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5、若 ${(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ 的展开式中第3项和第9项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（）

A、奇数项的二项式系数和为 $2^{9}$ B、所有奇数项的系数和为 $- 2^{9}$ C、第6项的系数最大 D、 $|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| \cdot \cdot \cdot + |a_{n}| = 2^{10}$

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6、中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（）

A、60种 B、80种 C、90种 D、100种

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7、设 $X ～ N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ ， $Y ～ N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ，这两个变量的正态曲线如图所示，则（）

A、 $μ_{1} > μ_{2}$ ， $σ_{1} < σ_{2}$ B、 $μ_{1} > μ_{2}$ ， $σ_{1} > σ_{2}$ C、 $μ_{1} < μ_{2}$ ， $σ_{1} < σ_{2}$ D、 $μ_{1} < μ_{2}$ ， $σ_{1} > σ_{2}$

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8、根据一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $(x_{10}, y_{10})$ ，求得经验回归方程为 $\hat{y} = 1.1 x + \hat{a}$ ，已知 $\bar{x} = 3$ ， $\bar{y} = 4$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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9、在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线 $C : y = f (x)$ 上的曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ ，其弧长为 $Δ s$ ，当动点从 $A$ 沿曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ 运动到 $B$ 时， $A$ 点的切线 $l_{A}$ 也随着转动到 $B$ 点的切线 $l_{B}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $Δ θ$ （它等于 $l_{B}$ 的倾斜角与 $l_{A}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则曲线的弯曲程度越大，因此可以定义 $\bar{K} = |\frac{Δ θ}{Δ s}|$ 为曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ 的平均曲率；显然当 $B$ 越接近 $A$ ，即 $Δ s$ 越小， $K$ 就越能精确刻画曲线 $C$ 在点 $A$ 处的弯曲程度，因此定义 $K = lim_{Δ s \to 0} |\frac{Δ θ}{Δ s}| = \frac{|y^{″}|}{{(1 + {y^{'}}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ （若极限存在）为曲线 $C$ 在点 $A$ 处的曲率．（其中 $y^{'}$ ， $y^{″}$ 分别表示 $y = f (x)$ 在点 $A$ 处的一阶，二阶导数）

(1)、求单位圆上圆心角为 $45^{\circ}$ 的圆弧的平均曲率；

(2)、求抛物线 $y^{2} = 8 x$ 在 $(2, 4)$ 处的曲率；

(3)、定义 $φ (y) = \frac{2 \sqrt{2} |y^{″}|}{{(1 + y^{'})}^{3}}$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“柯西曲率”．已知在曲线 $f (x) = x ln x - 2 x$ 上存在两点 $P (x_{1}, f (x_{1}))$ 和 $Q (x_{2}, f (x_{2}))$ ，若 $x_{2} \geq 8 x_{1}$ 且 $P$ ， $Q$ 处的“柯西曲率”相同，求 $\sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{x_{2}}$ 的最小值．

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10、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $P B$ ， $P D$ 的中点．设平面 $A E F \cap$ 平面 $A B C D = m$ ．

(1)、求证： $m // B D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值；

(3)、若平面 $A E F$ 与棱 $P C$ 交于点 $M$ ，求 $\frac{P M}{P C}$ 的值．

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11、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $P (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，当 $△ F_{1} A B$ 的面积最大时，求此时直线 $l$ 的方程．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 4$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 6 \times 5^{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} - 5^{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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13、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $sin C = sin A cos B + \frac{1}{2} sin B$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 2 a$ ， $△ A B C$ 外接圆的半径为2，求 $△ A B C$ 的面积．

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14、一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点 $P (4, 2)$ 的跳法共有种．（用数字作答）

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + 2 sin x$ ，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $f (2 m) + f (n - 2) = f (0)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是．

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16、 ${(x - \frac{1}{3 \sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中的常数项为．

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17、我们常用的数是十进制数，如 $1025 = 1 \times 10^{3} + 0 \times 10^{2} + 2 \times 10^{1} + 5 \times 10^{0}$ ，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数 $1101_{(2)} = 1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0}$ ，等于十进制的数13．已知 $m, n \in N^{*}$ ，且 $m \geq 2$ ， $n \geq 2$ ，若把 $m$ 位 $n$ 进制中的最大数记为 $M (m, n)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $M (5, 4) = 1023$ B、 $M (2, 4) < M (4, 2)$ C、 $M (3^{n}, 2) > M (3 n, 2)$ D、 $M (n + 3, n + 2) > M (n + 2, n + 3)$

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18、如图，在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，动点 $Q$ 在侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 内（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、 $B D ⊥ A_{1} P$ B、平面 $A_{1} B P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、若 $A_{1} Q = \sqrt{11}$ ，则点 $Q$ 轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$ D、若点 $G$ 在直线 $A_{1} B$ 上，则 $A G + G P$ 的最小值为 $\sqrt{9 - 2 \sqrt{10}}$

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19、某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、平均数为2，方差为2.4 D、中位数为3，方差为2.8

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20、已知抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ ， $B$ 两点分别位于 $x$ 轴的上下两侧，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ ，其中 $O$ 为坐标原点．过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 向 $l$ 作垂线交 $l$ 于点 $H$ ，动点 $H$ 的轨迹为 $L$ ，则 $L$ 的方程和直线 $O H$ 斜率的最大值分别为（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ （除去点 $(1, 0)$ ）， $\frac{2}{3}$ B、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ （除去点 $(1, 0)$ ）， $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ， $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ， $\frac{1}{3}$

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$X$	0	1	$- 1$
$P$	$a$	$b$	$c$