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相关试卷

1、在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马” $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = 2 A B = 2 P A = 4$ ， $F$ 是棱 $B C$ 的中点，点 $E$ 是棱 $A B$ 上的动点，则当 $△ P E F$ 的周长最小时，三棱锥 $P - A E F$ 外接球的表面积为．

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2、若“ $\forall α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\frac{1}{{sin}^{2} α} + \frac{4}{{cos}^{2} α} \geq m$ 恒成立”为真命题，则实数 $m$ 的取值范围是．

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3、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{23}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ ．

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4、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别是 $A A_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（）

A、过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B、存在点P，使得 $C_{1} P ⊥$ 平面 $B E F$ C、若点P到直线BB₁与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分 D、若直线D₁P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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5、已知抛物线 $E : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，顶点为 $O$ ，过点 $F$ 作直线 $l_{1}$ ，交抛物线 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上方，分别过点 $A$ ， $B$ 作直线 $l_{2} : x = - 2$ 的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l_{2}$ 是抛物线 $E$ 的准线 B、若直线 $l_{1}$ 的斜率为2，则 $|A B| = 10$ C、 $△ A B O$ 面积的最小值为4 D、 $|A A_{1}| + 4 |B B_{1}|$ 的最小值为18

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6、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $[1, 2]$ ，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[1, \frac{3}{2}]$ C、 $[1, 3]$ D、 $[\frac{1}{2}, 2]$

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7、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且函数 $y = f (x)$ 图象关于 $x = 2$ 对称．当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = x$ ，则 $f (11) =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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8、已知直线 $l : m x + y - m + 1 = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9、设 $cos (α + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $sin (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{14}}{4}$

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10、若复数 $z = 1 - i^{2025}$ ，则 $|\frac{\bar{z}}{z}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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11、函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，该结论可以推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．已知函数 $g (x) = \frac{2}{2^{x} + m} (m > 0)$ ．（）

A、若 $m = 1$ ，则函数 $y = g (x) - 1$ 为奇函数 B、若 $m = 1$ ，则 $g (- 10) + g (- 9) + \cdot \cdot \cdot + g (9) + g (10) = 20$ C、函数 $g (x)$ 的图象必有对称中心 D、 $\forall x \in R$ ， $g [\log_{2} (2 m) + x] + g [\log_{2} (2 m) - x] < \frac{2}{m}$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |x + 1|, x \leq 0 \\ |{l o g}_{4} x|, x > 0 \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有4个不同的根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{4}{x_{3} x_{4}^{2}} - x_{4} (x_{1} + x_{2})$ 的取值范围是（）

A、 $[4 \sqrt{2}, 6)$ B、 $[2, 4 \sqrt{2})$ C、 $(2, 4 \sqrt{2}]$ D、 $[4 \sqrt{2}, 9]$

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13、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 2)$ ，对任意 $x, y \in (- 2, 2)$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x + y)$ ，且当 $x \in$ $(0, 2)$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、若 $f (- 1) = - 2$ ， $f (x) \leq t^{2} + a t - 1$ 对任意的 $x \in [- 1, 1]$ ， $a \in [- 2, 2]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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14、如图， $△ O A B$ 是边长为2的正三角形，记 $△ O A B$ 位于直线 $x = t (0 \leq t \leq 2)$ 左侧的图形的面积为 $f (t)$ .

(1)、试求函数 $y = f (t)$ 的解析式；

(2)、有同学发现，函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数 $y = f (t)$ 的图象关于点 $P (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 成中心对称图形.

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15、设函数 $f (x) = 2^{x} + k \cdot 2^{- x}$

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 为偶函数，证明： $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 单调递增；

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16、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $b \in R$ ）.

(1)、若 $f (x)$ 的图象过点 $(0, - 1)$ 和 $(3, 6)$ ，求 $f (x)$ 在 $R$ 上的值域；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a}{3}$ ，求 $a$ 的值.

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17、求下列各式的值：

(1)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a + a^{- 1} + 2}{a^{2} + a^{- 2} - 2}$ 的值；

(2)、 ${(lg 2)}^{2} + lg 2 \cdot lg 50 + lg 25$ ；

(3)、若 $lg 2 = a$ ， $3^{b} = 10$ ，用 $a$ ， $b$ 表示 ${log}_{12} 45$ .

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18、已知函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ 的定义域为 $A$ ，集合 $B = {x | 1 - a < x < 1 + a}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的充分条件，求a的取值范围.

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19、若“ $\forall x \in [0, 2]$ ， $2^{x - 1} + 2^{- x} - m < 0$ ”为假命题，则 $m$ 的取值范围为.

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20、若幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m + 1}$ 是偶函数， $m =$ .

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