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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 为偶函数，若 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) \geq f (x) tan x$ ，且 $f (\frac{π}{3}) = 2$ ，则不等式 $f (x) < \frac{1}{cos x}$ 的解集为.

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2、近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ ），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件 $A_{k} = {$ 第 $k$ 次取单恰好是从1号店取单 $} ， P (A_{k})$ 是事件 $A_{k}$ 发生的概率，显然 $P (A_{1}) = 1 ， P (A_{2}) = 0$ ，则 $P (A_{n}) =$

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3、已知复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - 3 + 4 i|$ 的取值范围是.

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4、下列说法正确的是（）

A、两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 $\frac{1}{2}$ B、已知随机变量 $X ~ B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30, D (X) = 10$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ C、已知 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n = 8$ D、从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 $\frac{45}{91}$

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5、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线l与椭圆 $Γ$ 相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接 $F_{1} C$ ， $F_{1} A$ ．若O为坐标原点， $F_{1} C ⊥ F_{1} A$ ， $S_{\begin{matrix} △ \end{matrix} C O F_{2}} = 2 S_{△ A F_{1} F_{2}}$ ，则椭圆 $Γ$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

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6、已知无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\lim_{n \to \infty} S_{n} = S$ ，下列条件中，使得 $2 S_{n} < S (n \in N, n \geq 1)$ 恒成立的是（）

A、 $a_{1} > 0, 0.6 < q < 0.7$ B、 $a_{1} < 0, - 0.7 < q < - 0.6$ C、 $a_{1} > 0, 0.7 < q < 0.8$ D、 $a_{1} < 0, - 0.8 < q < - 0.7$

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7、已知函数 $f (x) = 3^{x} - 2^{x}, x \in R$ ，则下列结论错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 B、存在 $a \in R$ ，使得函数 $y = \frac{f (x)}{a^{x}}$ 为奇函数 C、任意 $x \in R, f (x) > - 1$ D、函数 $g (x) = f (x) + x$ 有且仅有2个零点

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8、克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，她掷了 $k$ 次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量 $X$ 表示每掷 $N$ 次硬币中正面向上的次数，现以使 $P (X = 10)$ 最大的 $N$ 值估计 $N$ 的取值并计算 $E (X)$ .(若有多个 $N$ 使 $P (X = 10)$ 最大，则取其中的最小 $N$ 值).下列说法正确的是（）

A、 $E (X) > 10$ B、 $E (X) < 10$ C、 $E (X) = 10$ D、 $E (X)$ 与10的大小无法确定

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9、已知函数 $f (x) = x (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5)$ ，求 $f^{'} (2) =$ （）

A、0 B、 $- 12$ C、 $- 120$ D、120

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10、已知 $x \in (0, π)$ ， $\sin (\frac{13 π}{3} - x) - \cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = 0$ ，则 $\tan (x + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- 3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、-3

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11、已知下列四个命题：
①命题“ $\forall x \in R, \sqrt{x^{2} + 1} \geq 1$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \in R, \sqrt{x_{0}^{2} + 1} < 1$ ”；
②若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A + sin B > cos A + cos B$ ；
③若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，则 $x = x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点；
④命题 $p$ ：若 $a^{2} - b^{2} > 0$ ，则 $a^{3} - b^{3} > 0$ ；命题 $q$ ：若 $a \neq b$ ，则 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ ；可知“ $p$ 或 $q$ ”为真命题．
其中真命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12、如果集合 $S = \{x | x = 3 n + 1, n \in Z\}$ ， $T = \{x | x = 3 k - 2, k \in Z\}$ ，则（）

A、 $S \subseteq T$ B、 $T \subseteq S$ C、 $S = T$ D、 $S \in T$

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13、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、讨论函数 $g (x) = f (x) - \frac{a}{2} {(x + 1)}^{2}$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) > 1 - m x + ln x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = n x + ln x (n \in N^{*})$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线 $l$ 经过点 $(a_{n}, 0)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{\frac{(n^{2} - 1) a_{n}}{2^{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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15、将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.

(1)、试把这个正六棱柱铁皮盒的容积 $V$ 表示为盒底边长 $x$ 的函数；

(2)、 $x$ 多大时，盒子的容积 $V$ 最大？并求出最大值.

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16、已知 $p : f (x) = x - a \ln x$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增， $q : a < m$ .若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围为.

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17、数列 $\{{(- 1)}^{n} (2 n - 1)\}$ 的前100项和等于.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 0, a_{n + 1} = ln (e^{a_{n}} + 1) - a_{n} (n \in N^{*})$ ，记 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是单调递增数列， $\{a_{2 n}\}$ 是单调递减数列 B、 $a_{n} + a_{n + 1} \leq ln 3$ C、 $S_{2020} < 1010 ln 2$ D、 $a_{2 n - 1} \leq a_{2 n}$

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19、已知函数 $f (x) = \frac{|x|}{e^{x}}$ .则下列说法正确的有（）

A、函数 $y = f (x)$ 有两个零点 B、函数 $y = f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, 0)$ 和 $(1, + \infty)$ C、函数 $y = f (x)$ 有极大值 $\frac{1}{e}$ D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有三个不同的根.则实数 $a$ 的取值范围是 $(0, \frac{1}{e})$

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20、已知集合 $M = {x | x^{2} - 3 x + 2 \leq 0}$ ， $N = {x | x > - 1}$ ，则（）

A、 $N \subseteq M$ B、 $M \subseteq N$ C、 $M \cap N \neq \emptyset$ D、 $M \cup ∁_{R} N = R$

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