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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = b \sin A$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形

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2、若 $a = 3^{0.5}, b = {0.8}^{2}, c = \log_{0.5} 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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3、已知 $α$ 为第四象限角， $cos α = \frac{3}{5}$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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4、函数 $y = \sqrt{x - 2}$ 的定义域是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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5、 $A = \{- 1, 1, 2, 4\}$ ， $B = \{2, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 4, 5\}$ B、 $\emptyset$ C、 $\{2, 4\}$ D、 $\{- 1, 1, 2, 4\}$

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6、人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了 $A$ ， $B$ 两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐的概率分别为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ .为测试AI软件的识别能力，计划采用以下两种测试方案.
方案一：将100首音乐随机分配给 $A$ ， $B$ 两个小组识别，每首音乐只被一个AI软件识别一次，并记录结果；
方案二：对同一首歌， $A$ ， $B$ 两组分别识别2次，如果识别的正确次数之和不小于3，那么称该次测试通过.

(1)、若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐首数之和占总数的 $\frac{3}{5}$ ；在正确识别的音乐中 $A$ 组占 $\frac{2}{3}$ ；在错误识别的音乐中 $B$ 组占 $\frac{1}{2}$ .
（ⅰ）请根据以上数据填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析识别音乐是否正确与软件类型是否有关联？
单位：首
软件类型
识别音乐是否正确
合计
正确
错误
$A$ 组的AI软件

$B$ 组的AI软件

合计

100
（ⅱ）利用（ⅰ）中的数据，将频率视为概率，求方案二在一次测试中通过的概率.

(2)、研究性小组为了验证AI软件的有效性，需多次执行方案二，假设 $P_{1} + P_{2} = \frac{4}{3}$ ，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的均值为16？并求此时 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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7、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的函数， $f (- x) = - f (x)$ 恒成立，且 $f (1) = \frac{2}{5}$

(1)、确定函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在定义域 $(- 2, 2)$ 上的单调性（不用证明），并解不等式 $f (x - x^{2}) + f (x) < 0$ .

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8、4名男生和3名女生站成一排．

(1)、甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？

(2)、甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？

(3)、甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？

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9、若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的值域为 $[\frac{1}{b}, \frac{1}{a}]$ ，则称区间 $[a, b]$ 为函数 $f (x)$ 的一个“倒值区间”．已知定义在 $R$ 上的奇函数 $g (x)$ ，当 $x \in (- \infty, 0]$ 时， $g (x) = x^{2} + 2 x$ ，则函数 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的“倒值区间”为．

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10、 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{9}$ 的展开式中的常数项为．（用数字作答）．

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11、下列说法正确的有（）

A、若随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ， $P (X < 4) = 0.79$ ，则 $P (X \leq - 2) = 0.21$ B、若随机变量 $X \sim B (10, \frac{1}{3})$ ，则方差 $D (3 X + 2) = 22$ C、从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数X服从超几何分布 D、已如随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{a}{i (i + 1)} (i = 1, 2, 3)$ ，则 $P (X = 2) = \frac{2}{9}$

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12、对任意实数 $x$ ，有 ${(2 x - 3)}^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} {(x - 1)}^{8}$ .则下列结论成立的是（）

A、 $a_{0} = - 1$ B、 $a_{2} = - 112$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} = 1$ D、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} = 3^{8}$

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13、甲、乙、丙三名同学报名参加数学、物理、化学、生物兴趣小组．已知每人参加两个兴趣小组，三人不能同时参加同一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人参加，则不同的报名参加方式共有（）

A、45种 B、81种 C、90种 D、162种

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14、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (2 x + 2)$ 是奇函数， $f (x + 1)$ 是偶函数，则一定有（）

A、 $f (- 1) = 0$ B、 $f (3) = 0$ C、 $f (4) = 0$ D、 $f (5) = 0$

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15、已知事件A与B独立，当 $P (A) > 0$ 时，若 $P (B | A) = 0.32$ ，则 $P (B) =$ （）

A、0.34 B、0.68 C、0.32 D、1

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16、下列选项中，表示的是同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (t) = |t|$ C、 $f (x) = {(x - 1)}^{2}, g (x) = {(x - 2)}^{2}$ D、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}, g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

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17、给定两个随机变量 $(X, Y)$ 的5组成对数据： $(0, 1)$ ， $(1, 2)$ ， $(2, 3)$ ， $(3, 3)$ ， $(4, 5)$ .通过计算，得到 $Y$ 关于 $X$ 的线性回归方程为 $\hat{Y} = 0.9 X + \hat{a}$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、1 B、1.1 C、0.9 D、1.15

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4，圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 与椭圆C有且仅有两个公共点．

(1)、求椭圆C的标准方程．

(2)、已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得 $\vec{R P} \cdot \vec{R Q}$ 为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由．

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x \ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $a x - b y + a - b = 0$ ，求a，b；

(2)、若 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围.

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20、随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表：
回答正确
回答错误
问题中存在语法错误
100
300
问题中没有语法错误
500
100
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．

(1)、测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；

(2)、现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列．

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软件类型	识别音乐是否正确		合计
软件类型	正确	错误	合计
$A$ 组的AI软件
$B$ 组的AI软件
合计			100

	回答正确	回答错误
问题中存在语法错误	100	300
问题中没有语法错误	500	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828