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相关试卷

1、在整数集 $Z$ 中，被 $5$ 除所得余数为 $k$ 的所有整数组成一个“类”，记为 $[k]$ ，即 $[k] = \{5 n + k |n \in Z\}, k = 0, 1, 2, 3, 4$ ，则下面选项正确的为（）

A、 $2025 \in [3]$ B、 $- 2 \in [2]$ C、 $Z = [0] \cup [1] \cup [2] \cup [3] \cup [4]$ D、整数 $a 、 b$ 属于同一“类”的充分不必要条件是“ $a - b \in [0]$ ”

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2、已知条件 $p : | x + 1 | > 2$ ，条件 $q : x > a$ ，且 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 1$ B、 $a \geq 1$ C、 $a \geq - 1$ D、 $a \leq - 3$

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3、已知 $1 \leq a + b \leq 4$ ， $- 1 \leq a - b \leq 2$ ，则 $4 a - 2 b$ 的取值范围是（）

A、 $\{x| - 4 < x < 10\}$ B、 $\{x| - 3 < x < 6\}$ C、 $\{x| - 2 < x < 14\}$ D、 $\{x| - 2 \leq x \leq 10\}$

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4、已知正实数a，b，设甲： $\frac{a}{b} < \frac{a + 1}{b + 1}$ ；乙： $\frac{1}{\sqrt{a}} > \frac{1}{\sqrt{b}}$ ，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、若集合 $A = \{1, 9, a^{2}\}$ ， $B = \{9, 3 a\}$ ，则满足 $A \cap B = B$ 的实数a的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、下列关系中：① $0 \in \{0\}$ ， ② $\emptyset \subseteq \{0\}$ ， ③ $\{0, 1\} \subseteq \{(0, 1)\}$ ， ④ $\{(a, b)\} = \{(b, a)\}$ 正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、如图，在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 上的一点，且 $A_{1} E = 2 E B_{1}$ ，点 $F$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 上的一点，且 $A_{1} F = 2 F D_{1}$ ．

(1)、求异面直线 $A D_{1}$ 与 $C F$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $B D$ 到平面 $C E F$ 的距离．

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 1$ ， $B C = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D$ 是棱 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A C_{1} //$ 平面 $B_{1} C D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $B_{1} C D$ 所成角的正弦值.

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9、已知 $\vec{a} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, y, 1) (0 \leq y \leq 1)$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 最大值为.

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10、在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为 $A, B, C, |A C| = 2, |A B| = 2 \sqrt{3}, |B C| = 4$ .现移动边 $A C$ ，使得点 $A, C$ 分别在 $x$ 轴､ $y$ 轴的正半轴上运动，则 $|O B|$ （点 $O$ 为坐标原点）的最大值为.

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11、给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、空间任意两个单位向量必相等 C、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，必有 $\vec{B D} = \vec{B_{1} D_{1}}$ D、向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$ 的模为 $\sqrt{2}$

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12、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E F$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的直径，点 $P$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的一点，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2, 0]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[0, 2]$

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13、如图，直线 $y = \frac{3}{4} x + 3$ 交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线 $y = \frac{3}{4} x + 3$ 上，若点N在第二象限内，则 $\tan ∠ A O N$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{8}$

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14、下列关于空间向量的说法中错误的是（）

A、平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B、空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C、直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D、任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量

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15、已知 $\vec{a} = (2, 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, - 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $2 \vec{b}$ B、 $- 2 \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{b}$

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16、若 $l_{1} : x - m y - 1 = 0$ 与 $l_{2} : (m - 2) x - 3 y + 1 = 0$ 是两条不同的直线，则“ $m = - 1$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、如图①所示，长方形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $A B = 2$ ，点 $M$ 是边 $C D$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 翻折到 $△ P A M$ ，连接 $P B$ ， $P C$ ，得到图②的四棱锥 $P - A B C M$ ．

(1)、求四棱锥 $P - A B C M$ 的体积的最大值；

(2)、若棱 $P B$ 的中点为 $N$ ，求 $C N$ 的长；

(3)、设 $P - A M - D$ 的大小为 $θ$ ，若 $θ \in (0, \frac{π}{2}]$ ，求平面 $P A M$ 和平面 $P B C$ 夹角余弦值的最小值．

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ 经过点 $(2,−3)$ ，两条渐近线的夹角为 $6 0^{∘}$ ，直线 $l$ 交双曲线于 $A, B$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程.

(2)、若动直线 $l$ 经过双曲线的右焦点 $F_{2}$ ，是否存在 $x$ 轴上的定点 $M (m,0)$ ，使得以线段 $A B$ 为直径的圆恒过 $M$ 点？若存在，求实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19、如图，已知 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形， $A B / / D C$ ， $D C / / E F$ ， $A B = 5$ ， $D C = 3$ ， $E F = 1$ ， $∠ B A D = ∠ C D E = 60 °$ ，二面角 $F - D C - B$ 的平面角为 $60 °$ ．设M，N分别为 $A E, B C$ 的中点．

(1)、证明： $F N ⊥ A D$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

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20、已知点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B$ 关于直线 $l$ ： $x + y - 1 = 0$ 对称．
（1）若直线 $l_{1}$ 过点 $B$ ，且使得点 $A$ 到直线 $l_{1}$ 的距离最大，求直线 $l_{1}$ 的方程；
（2）若直线 $l_{2}$ 过点 $A$ 且与直线 $l$ 交于点 $C$ ， $△ A B C$ 的面积为2，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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