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相关试卷

1、秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对应的边，其公式为： $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{(a b)}^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{{(b c)}^{2} - {(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2})}^{2}}$ $= \frac{1}{2} \sqrt{{(a c)}^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}}$ 若 $c^{2} = \frac{2 \sin C}{\sin A}$ ， $\cos B = \frac{3}{5}$ ， $a > b > c$ ，则利用“三斜求积术”求 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2、已知点 $A (1, 1)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (- 1, - 1)$ ．则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{3 \sqrt{10}}{5})$ B、 $(- \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{3 \sqrt{10}}{5})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(- \frac{1}{5}, - \frac{3}{5})$

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3、某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）

A、恰有1名女生和恰有2名女生 B、至少有1名男生和至少有1名女生 C、至少有1名女生和全是女生 D、至少有1名女生和至多有1名男生

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4、某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在 $[20, 70]$ 内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：
年龄段
类型
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70]$
单次购物金额满188元
8
15
23
15
9
单次购物金额不满188元
2
3
5
9
11

(1)、为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？

(2)、在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.

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5、下列求导不正确的是（）

A、 ${(sin x - sin \frac{π}{6})}^{'} = cos x - sin \frac{π}{6}$ B、 ${[{(2 x + 1)}^{2}]}^{'} = 2 (2 x + 1)$ C、 ${({log}_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 2}$ D、 ${(2^{x} + x^{2})}^{'} = 2^{x} + 2 x$

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6、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A E = 2$ ，则向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A_{1} C}$ 的夹角是（　　）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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7、1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段 $A B$ 与 $C D$ 所在直线异面垂直， $E ､ F$ 分别为 $A B ､ C D$ 的中点，且 $E F ⊥ A B, E F ⊥ C D$ ，线拐子使用时将丝线从点 $A$ 出发，依次经过 $D ､ B ､ C$ 又回到点 $A$ ，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中 $A B = E F = C D = 30 cm$ ，则丝线缠一圈长度为（）

A、 $90 \sqrt{2} cm$ B、 $90 \sqrt{3} cm$ C、 $60 \sqrt{6} cm$ D、 $80 \sqrt{3} cm$

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8、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如下，则下面判断正确的是（）

A、在区间 $(- 2, 1)$ 上 $f (x)$ 是增函数 B、在 $(1, 2)$ 上 $f (x)$ 是减函数 C、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取极大值 D、在 $(4, 5)$ 上 $f (x)$ 是增函数

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9、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 4) ， \vec{b} = (- 1, 5, - 2) ， \vec{c} = (1, 4, λ)$ ，若 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 三向量共面，则实数 $λ$ 等于（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $e$ C、 $2 e$ D、 $e^{0}$

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11、如图， $△ A B C$ 中 $A B = 1, A C = 3, ∠ B A C = 60 °$ ， AD为BC边上的中线，点E，F分别为边 $A B, A C$ 上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1．

(1)、已知 $A F = 2$ ，请用 $\vec{A B}, \vec{A C}$ 表示 $\vec{A G}$ ；

(2)、求 $\vec{A G} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中，D是边BC上一点， $A B = A C$ ， $B D = 2$ ， $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D} = \frac{2}{3}$ ．
（1）求DC的长；
（2）若 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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13、如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．

(1)、以r为变量，表示圆柱的表面积 $S_{柱}$ 和体积 $V_{柱}$ ；

(2)、当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？

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14、已知复数 $z = 3 + m i (m \in R)$ ， $z_{1} = (1 + 3 i) z$ ，且 $z_{1}$ 为纯虚数．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、设 $z$ 、 $z^{2}$ 在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量 $\vec{O A}$ 在向量 $\vec{O B}$ 上的投影向量的坐标．

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15、如图所示，隔河可以看到对岸两目标 $A, B$ ，但不能到达，现在岸边取相距 $4 k m$ 的两点 $C, D$ ，测得 $∠ A C B = 75^{°}, ∠ B C D = 45^{°}, ∠ A D C = 30^{°}, ∠ A D B = 45^{°}$ （ $A, B, C, D$ 在同一平面内），则两目标 $A, B$ 间的距离为 $k m$ .

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16、在 $△ A B C$ 中，若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ，则 $A =$ ．

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17、点 $O$ 在△ $A B C$ 所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A、若动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | \sin B} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} | \sin C}) (λ > 0)$ ，则动点 $P$ 的轨迹一定经过△ $A B C$ 的垂心； B、若 $\vec{O A} \cdot (\frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} - \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |}) = \vec{O B} \cdot (\frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} - \frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |}) = 0$ ，则点 $O$ 为△ $A B C$ 的内心； C、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则点 $O$ 为△ $A B C$ 的外心； D、若动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | \cos B} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} | \cos C}) (λ > 0)$ ，则动点 $P$ 的轨迹一定经过△ $A B C$ 的重心.

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18、定义： $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 两个向量的叉乘 $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，则以下说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \times \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、 $λ (\vec{a} \times \vec{b}) = (λ \vec{a}) \times \vec{b}$ C、若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 $\vec{A B} \times \vec{A D}$ D、若 $\vec{a} \times \vec{b} = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值为 $\sqrt{7}$

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19、已知棱长均相等的四面体 $A - B C D$ 的外接球的半径为 $\sqrt{6}$ ，则这个四面体的棱长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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20、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 3, A C = 4, \cos A = \frac{5}{8}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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