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相关试卷

1、圆 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 关于直线 $x - y = 0$ 对称的圆的方程为（）

A、 $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$

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2、 $P$ 、 $Q$ 分别为 $6 x + 8 y - 20 = 0$ 与 $6 x + 8 y + 5 = 0$ 上任意一点，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、6

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3、在空间直角坐标系中， $A (2, 3, 5)$ ， $B (3, 1, 4)$ ，则 $|A B| =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、6 C、29 D、 $\sqrt{29}$

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4、抛物线 $x^{2} = \frac{1}{2} y$ 的准线方程是（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $y = - \frac{1}{2}$ C、 $x = - \frac{1}{4}$ D、 $y = - \frac{1}{8}$

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点到两焦点的距离之和为 $2 \sqrt{2}$ ，且其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）如图，已知 $A$ 、 $B$ 是椭圆 $C$ 上的两点，且满足 ${|O A|}^{2} + {|O B|}^{2} = 3$ ，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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6、在平面直角坐标系中， $N (1, 0)$ ， $M (4, 0)$ ，动点 $Q$ 满足 $\frac{|Q M|}{|Q N|} = 2$ ，设动点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $x - y + 1 = 0$ 与曲线 $C$ 交于A，B两点，求 $|A B|$ ；

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7、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $P D$ 的中点，若 $P A = A D = 2$ ， $C D = 4$ .

(1)、求证： $A F //$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求直线 $F C$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值.

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8、已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (- 5, 0)$ ， $B (3, - 3)$ ， $C (0, 2)$ ，求：

(1)、边 $A C$ 所在直线的方程；

(2)、过点 $B$ 且与直线 $A C$ 平行的直线方程；

(3)、过点 $B$ 且与直线 $A C$ 垂直的直线方程.

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9、两条平行线 $l_{1} : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 和 $l_{2} : 3 x + 4 y - 12 = 0$ 的距离为.

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10、给出以下命题，其中正确的是（）

A、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ，直线m的方向向量为 $\vec{b} = (2, 1, - \frac{1}{2})$ ，则l与m垂直 B、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (0, 1, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, - 1, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、平面 $α 、 β$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}} = (0, 1, 3), \vec{n_{2}} = (1, 0, 2)$ ，则 $α // β$ D、平面 $α$ 经过三个点 $A (1, 0, - 1), B (0, - 1, 0), C (- 1, 2, 0)$ ，向量 $\vec{n} = (1, u, t)$ 是平面 $α$ 的法向量，则 $u + t = \frac{5}{3}$

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长为10 B、椭圆 $C$ 的一个顶点为 $(0, 5)$ C、椭圆 $C$ 的焦距为8 D、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{4}{5}$

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12、下列说法中，错误的是（）

A、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B、点 $(0, 2)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点为 $(1, 1)$ C、直线 $x - a y - 2 = 0$ 经过定点 $(2, 0)$ D、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程只有 $x + y - 2 = 0$

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13、平面四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{S A} = x \vec{S B} + y \vec{S C} + z \vec{S D}$ ，则实数组 $(x, y, z)$ 可能是（）

A、 $(1, - 1, 1)$ B、 $(1, 0, - 1)$ C、 $(1, 0, 1)$ D、 $(1, - 1, - 1)$

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14、已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} + 8 x + 8 = 0$ ，则圆C的半径为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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15、已知直线 $l$ 过 $A (- 1, 1)$ ， $B (- 1, 3)$ 两点，则直线 $l$ 的倾斜角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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16、已知圆 $C$ 经过 $A (0, 3), B (0, - 1)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $y = 2 x + 1$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程.

(2)、已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过点 $(0, 2)$ ，且与圆 $C$ 交于 $D, E$ 两点，直线 $A D$ 与直线 $B E$ 交于点 $P$ .
①记直线 $A D$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A E$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{3}$ .
②试问点 $P$ 是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由.

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17、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值及样本成绩的第75百分位数，中位数；

(2)、已知落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是54，方差是7，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数 $\bar{z}$ 和方差 $s^{2}$ .（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $m$ ， $\bar{x_{1}}$ ， $s_{1}^{2}$ ； $n$ ， $\bar{x_{2}}$ ， $s_{2}^{2}$ ，记两组数据总体的样本平均数为 $\bar{w}$ .则总体样本方差 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x_{1}} - \bar{w})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{x_{2}} - \bar{w})}^{2}]$ .

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18、如图，正方形 $A D E F$ 与梯形 $A B C D$ 所在的平面互相垂直， $A D ⊥ C D$ ， $A B$ ∥ $C D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 2$ ，点 $M$ 在线段 $E C$ 上．
（1）当点 $M$ 为 $E C$ 中点时，求证： $B M$ ∥平面 $A D E F$ ；
（2）当平面 $B D M$ 与平面 $A B F$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时，求点M在线段EC上的位置．

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19、在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知 $(b - \sqrt{3} a) \sin B = c \sin C - a \sin A$ ．
（1）求角C；
（2）若 $c = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $1 + \sqrt{3}$ ，求 $\sin A \sin B$ 的值．

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20、已知直线 $l_{1} : 2 x - y + 1 = 0$ 和 $l_{2} : x - y - 2 = 0$ 的交点为P．

(1)、若直线l经过点P且与直线 $l_{3} : 4 x - 3 y - 5 = 0$ 平行，求直线l的一般式方程；

(2)、若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点， $P$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $△ O A B$ 的面积．（其中O为坐标原点）．

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