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相关试卷

1、随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线的光学性质是：从右焦点 $F_{2}$ 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 $F_{1}$ ，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若 $| P F_{2} |$ 的最小值为2，且双曲线C的渐近线为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，则下列结论正确的有（）

A、双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、若 $m ⊥ n$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为24 C、若点 $P$ 处的切线交 $x$ 轴于 $T (1, 0)$ ，则 $P F_{2} ⊥ x$ 轴 D、当n过点 $M (11, 8)$ 时，光由 $F_{2} \to P \to M$ 所经过的路程为13

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2、已知曲线 $C$ ： $m x^{2} - y^{2} = 4 m$ ，其中 $m$ 为非零常数，则下列结论中正确的是（）

A、当 $m = 5$ 时，曲线 $C$ 是双曲线且渐近线方程为 $\sqrt{5} x \pm y = 0$ B、曲线 $C$ 不可能是圆 C、当 $m > 0$ 时，曲线 $C$ 是双曲线 D、若曲线 $C$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆，则 $m = - 2$

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3、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且 $O A ⊥ O B$ ，则 $4 |F A| + |F B|$ 的最小值为（）

A、21 B、13 C、10 D、9

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4、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{12} < S_{11} < S_{13}$ ，则使 $S_{n} > 0$ 的最小整数 $n =$ （）

A、22 B、23 C、24 D、25

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5、已知二面角 $α - l - β$ 的平面角为 $120 °$ ， $A \in l$ ， $B \in l$ ， $A C \subset α$ ， $B D \subset β$ ， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，若 $A B = A C = B D = 1$ ，则CD长为（）

A、4 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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6、已知点 $A (- 1, 0, 1), B (a, a + 1, a - 1),$ 若平面 $A B C$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1, - 1, 2),$ 则 $|\vec{A B}| =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{33}$

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 1$ ， $a_{2} + a_{8} = 6$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、0 B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、 $- 3$

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8、已知函数 $f (x) = |x - \frac{4}{x}| - (x - a) ， a \in R$ ．

(1)、写出函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 2$ ，且 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，求 $x_{1} - x_{2} + a$ 的取值范围．

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9、已知函数 $f (x) = {log}_{a} (- x^{2} + 2 x + 3)$ ，其中 $a > 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和值域；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > {log}_{a} (|x| + 1)$ .

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10、已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $M (\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ .

(1)、求 $\cos α$ ， $\sin α$ 的值；

(2)、求 $\frac{cos (\frac{π}{2} + α)}{sin (π - α) + cos (- α)}$ 的值.

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11、若函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + k$ 的定义域为 $[m, n] (m < n)$ ，值域为 $[m, n]$ ，则实数 $k$ 的取值范围是．

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12、已知 $\sin α + \cos α = \sin α \cos α = m$ ，则 $m$ 的值为．

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13、已知 ${log}_{a} 2 > - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则 $a$ 的取值范围是.

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14、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $4 a + b = 2$ ，则（）

A、 $a b$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$ B、 $2 \sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为2 C、 $\frac{b}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} + \frac{1}{2}$ D、 $4^{a} + 2^{b}$ 的最小值为4

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15、下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（　　）

A、 $y = x^{2} - 2 x$ 与 $y = x^{2} + 2 x$ B、 $y = x^{3}$ 与 $y = x^{3} - x$ C、 $y = 2^{x}$ 与 $y = 3 \cdot 2^{x}$ D、 $y = lg x$ 与 $y = \lg (3 x)$

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16、已知定义在 $R$ 上的单调函数 $v = f (x)$ 满足 $f (f (x) - 3^{x} - 2 x) = 6$ ．若对 $\forall x \in [1, 2], \exists x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [- 1, 0] (n \in N^{*})$ ，使得 $f (x) \leq f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})$ 成立，则 $n$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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17、已知正实数 $a$ ， $b$ ，满足 $a + \frac{2}{a} + 3 b + \frac{4}{b} = 4 \sqrt{6}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 取值范围为（）

A、 $[\frac{2}{3}, 1]$ B、 $[1, \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{2}{3}, \sqrt{6}]$ D、 $[\frac{3}{2}, \sqrt{6}]$

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18、已知函数 $f (x) = 2^{|x|} + 3$ ，记 $a = f (- \frac{3}{2})$ ， $b = f ({log}_{3} 2)$ ， $c = f (\frac{ln 3}{ln 2})$ ，则（　　）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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19、下列四个命题，其中为真命题的是（）

A、若函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数，在 $(- \infty, 0)$ 上也是增函数，则 $f (x)$ 是增函数 B、 $y = x + 1$ 和 $y = \sqrt{{(1 + x)}^{2}}$ 表示同一函数 C、函数 $f (x) = x^{2} - 2 |x| - 3$ 的单调增区间为 $[1, + \infty)$ D、若函数 $f (x) = x^{2} + 4 a x + 2 a$ 的值域是 $[0, + \infty)$ ，则实数 $a = 0$ 或 $\frac{1}{2}$

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20、设集合 $A = \{x |x + \frac{1}{x} > \frac{10}{3}\}$ ，集合 $B = {x | | 2 x - 1 ∣ < 1}$ ，集合 $I = (∁_{R} A) \cap B$ ．

(1)、求 $I$ ；

(2)、当 $x \in I$ 时，求函数 $f (x) = \log_{3} \frac{x}{4 x - 1}$ 的值域．

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