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相关试卷

1、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足 $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{x + y}$ ，当且仅当 $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ 时，等号成立．则函数 $f (x) = \frac{1}{3 x} + \frac{16}{1 - 3 x} (0 < x < \frac{1}{3})$ 的最小值为（）

A、16 B、25 C、36 D、49

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2、已知 $p : x > a, q : x < - 2$ 或 $x > 0$ ，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 2$ B、 $a \leq 0$ C、 $a > 0$ D、 $a \geq 0$

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3、若 $a = {(\frac{2}{5})}^{0.1}$ ， $b = {(\frac{2}{5})}^{0.2}$ ， $c = \log_{\frac{2}{5}} 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c<a<b$ D、 $a < c < b$

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4、设集合 $A = {x ∣ - 2 < x \leq 4}, B = \{2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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5、已知函数 $f (x) = {(a x^{2} + b x + 1)}^{- 1} e^{x}$ .（ $a > 0$ ， $b \in R$ ， e是自然对数的底数）
（1）若 $b = 1$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 1$ ，求实数a的取值范围；
（2）若 $b = 0$ ， $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $1 < f (x_{1}) + f (x_{2}) < e$ .

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6、已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{9}} \frac{a - x}{2 + b x}$ ， $g (x) = m \cdot 4^{x} - 2^{x + 2} + 3$

(1)、若 $y = lg [g (x)]$ 的值域为 $R$ ，求满足条件的整数 $m$ 的值；

(2)、若非常数函数 $f (x)$ 是定义域为 $(- 2, 2)$ 的奇函数，且 $\forall x_{1} \in [1, 2)$ ， $\exists x_{2} \in [- 1, 1]$ ， $f (x_{1}) - g (x_{2}) > - \frac{1}{2}$ ，求 $m$ 的取值范围.

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7、通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如： $\cos 3 α = \cos (2 α + α) = \cos 2 α \cos α - \sin 2 α \sin α = (2 \cos^{2} α - 1) \cos α - 2 \sin^{2} α \cos α =$ $4 \cos^{3} α - 3 \cos α$ ．

(1)、根据上述过程，推导出 $\sin 3 α$ 关于 $\sin α$ 的表达式；

(2)、求 $\sin 18 °$ 的值；

(3)、求 $\sin^{3} 126 ° + \sin^{3} 6 ° - \sin^{3} 66 °$ 的值．

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8、已知 $\frac{3 π}{4} < α < π$ ， $\sin α \cos α = - \frac{3}{10}$ ；

(1)、求 $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{5 \sin^{2} \frac{α}{2} + 8 \sin \frac{α}{2} \cos \frac{α}{2} + 11 \cos^{2} \frac{α}{2} - 8}{\sqrt{2} \sin (α - \frac{π}{2})}$

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9、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $9 x^{2} + y^{2} + x y = 4$ ，则 $3 x + y$ 的最大值为．

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10、设 $k, b \in R$ ，若关于x的不等式 $k x + b \geq \ln x$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $\frac{b}{k}$ 的值可以是（）

A、 $- 4$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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11、下列各式中，计算结果为 $\sqrt{3}$ 的是（）

A、 $\tan 25^{\circ} + \tan 35^{\circ} + \sqrt{3} \tan 25^{\circ} \tan 35^{\circ}$ B、 $\cos 85^{\circ} \cos 25^{\circ} - \sin 85^{\circ} \sin 25^{\circ}$ C、 $\frac{\sin 15^{\circ} + \cos 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ} - \sin 15^{\circ}}$ D、 $\frac{\sin 40^{\circ} + \sin 80^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$

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12、已知 $a < 0$ ，不等式 $x^{a + 1} \cdot e^{x} + a \ln x \geq 0$ 对任意的实数 $x > 1$ 都成立，则实数 $a$ 的最小值为（）

A、 $- e^{2}$ B、 $- e$ C、 $- \frac{e}{2}$ D、 $- \frac{1}{e}$

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13、定义在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的函数 $f (x), f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (x) < - \tan x \cdot f (x)$ 成立， $a = 2 f (\frac{π}{3}), b = \sqrt{2} f (\frac{π}{4}), c = \frac{2 \sqrt{3}}{3} f (\frac{π}{6})$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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14、函数 $f (x) = \frac{8}{x + 1} - (x - 2) \ln x$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y + 3 = 0$ B、 $x + y - 5 = 0$ C、 $2 x + y - 2 = 0$ D、 $x - 2 y + 7 = 0$

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15、函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{3^{x} + 1}) \cdot cos x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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16、若 $\sin (π + α) + \cos (\frac{π}{2} + α) = - m$ ，则 $\cos (\frac{3 π}{2} - α) + 2 \sin (6 π - α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3} m$ B、 $- \frac{3}{2} m$ C、 $\frac{2}{3} m$ D、 $\frac{3}{2} m$

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17、如下图，在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 2$ ， D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且 $E F / / A C$ ；将 $△ B E F$ 沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；

(1)、求证： $E F ⊥ P C$ ；

(2)、若 $B E = 2 A E$ ，二面角 $P - E F - C$ 是直二面角，求二面角 $P - C E - F$ 的正切值；

(3)、当 $P D ⊥ A E$ 时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c, \frac{a - c}{a + b} = \frac{sin A - sin B}{sin C}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $12 π$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中 $, P A ⊥$ 平面ABCD，E为PD的中点， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $P A = A B = B C = 1, A D = 2$ ．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P D C$

(2)、求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．

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20、某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ ，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $m$ 的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；

(2)、若认定评分在 $[80, 90)$ 内的学生为“运动爱好者”，评分在 $[90, 100]$ 内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.

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