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相关试卷

1、 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，且 $a = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3} S$ ，下列选项正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、若 $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $b$ 取值范围是 $(2 \sqrt{3}, 4)$ D、若 $D$ 为 $B C$ 边上的中点，则 $A D$ 的最大值为 $4 (2 + \sqrt{3})$

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2、i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（）

A、 $|(8 - 6 i) i| = 10$ B、 $\frac{6 - 8 i}{i} = - 8 - 6 i$ C、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ D、若复数 $z$ 满足 $|z - i| = 1$ ，则 $|z - 1|$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$

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3、在 $△ A B C$ 中，P为边AB上一点， $C P = 1$ ， $∠ A C P = 30^{\circ}$ ， $∠ B C P = 45^{\circ}$ ， $A P = λ B P$ ， $∠ C P B = θ$ .当 $△ A B C$ 面积最小时， $\tan θ =$ （）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$

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4、在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $A C$ 上靠近点 $C$ 的三等分点，点 $F$ 在 $B E$ 上，若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + \frac{4}{9} \vec{A D}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{5}{8}$

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5、内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点 $C$ 与 $D$ 与塔底 $B$ 在同一水平面，并测得 $C D = 20 \sqrt{2}$ 米， $∠ B C D = 15^{\circ}, ∠ B D C = 120^{\circ}$ ，在点 $C$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，则塔高 $A B =$ （）

A、 $10 \sqrt{6}$ 米 B、 $10 \sqrt{3}$ 米 C、 $20 \sqrt{3}$ 米 D、60米

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6、现有 $A, B$ 两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球 $a$ 为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（）

A、M发生的概率为 $\frac{1}{3}$ B、M与N互斥 C、M与N相互独立 D、P发生的概率为 $\frac{1}{2}$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{a x + b}$ 是定义域上的奇函数，且 $f (- 1) = - 2$ .

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 在定义域上的单调性；

(2)、令函数 $h (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 t f (x) (t < 0)$ ，若对 $\forall x_{1}, x_{2} \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，都有 $|h (x_{1}) - h (x_{2})| \leq \frac{15}{4}$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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8、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m + 2) x^{5 k - 2 k^{2}} (k \in Z)$ 是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = 4 m x^{2} + t x - 8$ 在 $[\frac{1}{8}, 2]$ 上具有严格的单调性，求t的取值范围；

(3)、若实数a， $b (a, b \in R^{+})$ 满足 $2 a + 3 b = 7 m$ ，求 $\frac{3}{a + 1} + \frac{2}{b + 1}$ 的最小值.

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9、设集合 $A = {x | a + 1 < x < 3 a - 2}$ ， $B = {x | - x^{2} + 5 x + 6 \geq 0} .$

(1)、若 $a = 3$ ，求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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10、二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x + 3$ ，且 $f (0) = 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 3, 4]$ 上的最值．

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11、若不等式 $k + k x \leq x^{2} + 3$ 对于 $x \in [0, + \infty)$ 恒成立，则实数k的取值范围是.

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12、已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}, x \in [1, 3]$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值为.

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13、已知 $f (x) = a x^{3} + \frac{b}{x} - 5$ ， $f (5) = 5$ ，则 $f (- 5) =$ .

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14、若命题“ $\forall x \in R, a x^{2} - 2 a x + 12 > 0$ ”是真命题，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (12, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0] \cup (12, + \infty)$ C、 $(0, 12)$ D、 $[0, 12)$

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x (2 - x) ， x > 0 \\ 2^{- x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f [f (- 2)] =$ （）

A、0 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- 8$ D、8

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16、设全集 $U = {x \in Z | - 7 < 2 x - 1 < 9}$ ， $A = \{- 2, 2\}$ ， $B = {- 2, 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 $\{4\}$ B、 $\{- 1, 0, 4\}$ C、 ${- 2, 0, 3, 4}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1, 3, 4}$

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17、不等式 $(x + 2) (3 - x) > 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - 2 < x < 3}$ B、 $\{x |x < - 2$ 或 $x > 3}$ C、 ${x | 2 < x < 3}$ D、 ${x | x < 2$ 或 $x > 3}$

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18、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - k x ， g (x) = sin x$ .

(1)、若 $k = 2$ ，求函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $k = 1$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x - 1) = m + 1$ 有两个不等实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $1 < \frac{x_{2}}{x_{1}} \leq 2$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $f (n) + k n$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{n} - a_{n} = g (\frac{1}{n})$ ， $n \in N^{*}$ ，求证：当 $n \in N^{*} ， n \geq 2$ 时，有 $S_{2 n - 1} - S_{n - 1} < \frac{4 n - 3}{2 (n - 1) (2 n - 1)} + 2 ln 2$ .

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19、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} D / /$ 平面 $E B C$ ；

(2)、若三棱锥 $A - E B C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，求平面 $E B C$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 夹角的余弦值.

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20、定义 $max \{f (x), g (x)\} = \{\begin{array}{l} f (x), f (x) \geq g (x) \\ g (x), f (x) < g (x) \end{array}, min \{f (x), g (x)\} = \{\begin{array}{l} g (x), f (x) \geq g (x) \\ f (x), f (x) < g (x) \end{array}$ ．

(1)、用解析式表示 $h (x) = max \{x^{2} - 2 x - 2, x + 2\}$ ，并写出 $h (x)$ 的定义域：

(2)、证明： $min \{f (x), g (x)\} = \frac{f (x) + g (x) - |f (x) - g (x)|}{2}$ ；

(3)、设 $G (x) = x^{2} + (b - 4) x + b + 5 - |x^{2} - (b + 4) x - b + 5|, H (x) = x + 2$ ．若对任意 $x_{1} \in [0, 4]$ ，都存在 $x_{2} \in [0, + \infty)$ ，使得 $G (x_{1}) = H (x_{2})$ ，求实数 $b$ 的取值范围．

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