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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 1, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a$ .

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2、从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 中任取4个不同的数，组成无重复数字的四位数.若该四位数能被3整除的概率为 $p$ ；若取出的4个数按从小到大排列，中间两个数的和为7的概率为 $q$ ，则 $p + q =$ .

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3、设 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.若 $S_{5} = 15$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，则 $a_{6} =$ .

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4、已知函数 $f (x) = {log}_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ .若 $f (e^{2}) + f (e^{3}) = 10$ ，则 $a =$ .

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5、“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2，则（）

A、该石凳的表面积为 $24 + 8 \sqrt{3}$ B、该石凳的体积为 $\frac{40 \sqrt{2}}{3}$ C、直线 $L H$ 与 $B C$ 的夹角为 $60^{\circ}$ D、 $D H ⊥$ 平面 $L E I$

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6、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左、右焦点，点 $Q (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在 $C$ 上， $M$ 是 $C$ 上的动点， $M N ⊥ y$ 轴，垂足为 $N$ ，且 $P$ 为 $M N$ 的中点，则（）

A、 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的最大值为 $120^{\circ}$ B、 $\frac{1}{|M F_{1}|} + \frac{4}{|M F_{2}|}$ 的最小值为 $9$ C、点 $P$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ D、 $|P Q|$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{10}}{2} - 1$

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7、已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{4}) + cos (x - \frac{π}{4})$ ，则（）

A、函数 $f (x - \frac{π}{4})$ 为偶函数 B、曲线 $y = f (x)$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{4}, 0)$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 单调递增 D、 $f (x)$ 的最大值为2

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8、设函数 $f (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，若 $f (1 + x) f (3 - x) \leq 0$ ，则 $\sum_{i = 1}^{3} x_{i} =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ，以 $A B, A C$ 为直径分别作半圆， $P$ 是两段半圆弧上的动点，则 $\vec{B P} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 6]$ B、 $[- 2, 5]$ C、 $[- 2, 6]$ D、 $[- 1, 5]$

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10、设函数 $g (x) = f (x) - |x|$ 是奇函数， $h (x) = f (x) + 2$ ，若 $f (1) = 3$ ，则 $h (- 1) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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11、 ${(2 x + y - 1)}^{6}$ 的展开式中，含 $x y^{4}$ 的项的系数是（）

A、 $- 60$ B、 $- 30$ C、30 D、60

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12、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的方差 $s^{2} = 0$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x_{1})}^{2} =$ （）

A、 $n^{2}$ B、 $n$ C、1 D、0

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13、复数 $z$ 满足 $|z - 1| - |z + 1| = 1$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点的轨迹为（）

A、圆 B、双曲线的一支 C、椭圆 D、抛物线

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14、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}, B = \{x ∣ {log}_{2} x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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15、已知 $△ A B C$ 且 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = {\vec{B A}}^{2}$ ，点 $P$ 为线段 $B C$ 上的动点， $B C = 2 A B = 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ B = \frac{π}{3}$ B、若 $P$ 为线段 $B C$ 的中点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 4$ C、 $\vec{A C} \cdot \vec{C B} = - 12$ D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为 $[- \frac{1}{2}, 12]$

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16、计算： $sin 30 ° cos 15 ° + sin 60 ° sin 15 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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17、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{c}| = |\vec{b} - \vec{c}| = 3$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ （ $λ > 0$ ， $μ > 0$ ）.当 $λ + μ = 4$ 时， $|c| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{58}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{62}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{66}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{70}}{2}$

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18、已知 $A (1, 2)$ ， $B (- 1, 0)$ ，则 $\vec{A B} =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(- 2, - 2)$ D、 $(0, - 2)$

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19、已知 $\{a_{n}\}$ 是无穷正整数数列，且对任意的 $n \geq 3, a_{n + 1} = card \{k ∣ a_{k} = a_{n}, k \in {1, 2, \dots, n}\}$ ，其中 $card S$ 表示有穷集合S的元素个数．

(1)、若 $a_{1} = 2, a_{2} = 3, a_{4} = 2$ ，求 $a_{5}$ 的所有可能取值；

(2)、求证：数列 $\{a_{n}\}$ 中存在等于1的项；

(3)、求证：存在 $t \in N^{*}$ ，使得集合 $\{k \in N^{*} ∣ a_{k} = t\}$ 为无穷集合．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{a \ln x + 1}{e^{x - 1}} (a \geq 0)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在单调递减区间，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = 1$ ，求 $a$ 的值．

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