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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = 3 + 4 i$ ， $z_{2} = 1 - a i$ （ $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位）.

(1)、若 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 是纯虚数，求 $|z_{2}|$ ；

(2)、若 $z_{2}$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} - p x + 3 = 0$ 的根，求实数 $a$ 和 $p$ 的值.

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2、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A C = 2$ ，侧棱长为 $\sqrt{3}$ ，点 $P$ 是侧面 $A C C A_{1}$ 内一点．当 $|A B| + |B C|$ 最大时，过 $B$ 、 $B_{1}$ 、 $P$ 三点的截面面积的最小值为．

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3、1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式 $e^{i x} = \cos x + isin x$ ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可以得到“最美的数学公式”： $e^{iπ} + 1 =$ .

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4、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $sin A > sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $a cos B + b cos A = a$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 D、若 $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{cos B} = \frac{c}{cos C}$ ，则 $△ A B C$ 是等腰直角三角形

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5、已知复数 $z$ 满足 $z + 4 - i = 8 + i$ ，则下列命题是真命题的是（）

A、 $\bar{z}$ 的虚部为 $- 2$ B、 $z^{2} = | z |^{2}$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限 D、若 $z$ 与复数 $a^{2} + 3 a + (a^{2} + 5 a + 6) i (a \in R)$ 相等，则 $a = 1$

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6、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $O^{'} A^{'} / / B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = 2 B^{'} C^{'} = 4$ ， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则该平面图形的面积为（）

A、 $12$ B、 $12 \sqrt{2}$ C、 $6$ D、 $6 \sqrt{2}$

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7、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 所对的边，若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ ， $C = 30^{\circ}$ ，则边 $c =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{8 - 2 \sqrt{3}}$

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8、若复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 + i$ B、 $- 2 - i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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9、2022年2月4日，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传北京冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了110名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下：
喜欢
不喜欢
男生
50
10
女生
30
20

(1)、根据上表说明，能否有 $99 %$ 的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关？

(2)、现从这110名喜欢冬季体育运动的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人参加2022年北京冬奥会志愿者服务前期集训，且这8人经过集训全部成为合格的冬奥会志愿者.若从这8人中随机选取2人到场馆参加志愿者服务，求选取的2人中至少有一名女生的概率.
$\begin{array}{r} 附 : K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, 其中 n = a + b + c + d . \end{array}$
$P (K^{2} ⩾ k_{0})$
$0.025$
$0.01$
$0.005$
$k_{0}$
$5.024$
$6.635$
$7.879$

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10、某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率.

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11、给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有种不同的染色方案.

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12、 $\frac{y}{x} {(x - 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{2}$ 的系数为（用数字作答）.

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13、学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为．

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14、随机询问50名大学生调查爱好某项运动是否和性别有关.利用2×2列联表计算得 $x^{2} = 8.333$ ，则下列结论正确的是（）
附：
$a$
0.010
0.005
0.001
$X_{a}$
6.635
7.879
10.828

A、在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关” B、在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别无关” C、在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关” D、在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关”

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15、 $C_{5}^{2} + C_{6}^{3} =$ （）

A、 $25$ B、 $30$ C、 $35$ D、 $40$

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16、已知函数 $f (x) = sin x - m (x + \frac{π}{2}) cos x - 1$ ， $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ．

(1)、当 $m < 0$ 时，证明 $f^{'} (x)$ 有唯一极值点；

(2)、讨论 $f (x)$ 的零点个数；

(3)、若存在 $t > 0$ ，当 $x \in (\frac{π}{2} - t, \frac{π}{2})$ 时，总有 $|f (x)| < - 2 x + π$ ，求符合条件的 $m$ 的最小值．

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17、已知椭圆 $E : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ， $△ A F_{1} F_{2}$ 为锐角三角形且面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的离心率．

(2)、过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ 在 $Q$ 的左侧），且 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的面积与 $△ Q F_{1} A$ 的面积相等．
（ⅰ）求直线 $l$ 的斜率；
（ⅱ）若 $|A Q| - |P F_{1}| = \frac{8}{13}$ ，求椭圆 $E$ 的方程．

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18、如图， $E A$ 和 $D C$ 都垂直于平面 $A B C$ ，且 $E A = 2 D C = 2$ ， $A C = 2$ ， $F$ 是 $E B$ 的中点．

(1)、证明： $D F //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若四棱锥 $B - A C D E$ 的体积为3，求平面 $D E F$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值的最大值．

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19、在 $△ A B C$ 中，已知 ${cos}^{2} A - {cos}^{2} B = sin A cos A - sin B cos B$ ，且 $A \neq B$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $A B^{2} + A C^{2} = 6$ ， $D$ 为 $B C$ 中点，且 $A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20、在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表：
思维任务类型
信号同步性
合计
信号同步
信号不同步
逻辑推理
42
58
100
创造性想象
28
72
100
合计
70
130
200

(1)、分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由．

(2)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	$0.025$	$0.01$	$0.005$
$k_{0}$	$5.024$	$6.635$	$7.879$

思维任务类型	信号同步性		合计
思维任务类型	信号同步	信号不同步	合计
逻辑推理	42	58	100
创造性想象	28	72	100
合计	70	130	200

	喜欢	不喜欢
男生	50	10
女生	30	20

$a$	0.010	0.005	0.001
$X_{a}$	6.635	7.879	10.828

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828