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相关试卷

1、已知经过定点 $F (0, \frac{1}{2})$ 的动圆 $E$ 与直线 $y = - \frac{1}{2}$ 相切，记圆心 $E$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ，直线 $l : y = k x + \frac{1}{2}$ 与曲线 $Γ$ 交于不同的两点 $M, N$ ，以 $M, N$ 分别为切点作曲线 $Γ$ 的切线 $l_{1}, l_{2}, l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $P$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、设点 $A_{1} (0, y_{1})$ ，连接 $M A_{1}, N A_{1}$ ，分别与曲线 $Γ$ 的另一个交点为 $M_{1}, N_{1}$ ，直线 $M_{1} N_{1}$ 与 $y$ 轴相交于 $A_{2} (0, y_{2})$ ，连接 $M A_{2}, N A_{2}$ ，分别与曲线 $Γ$ 的另一个交点为 $M_{2}, N_{2}$ ，直线 $M_{2} N_{2}$ 与 $y$ 轴相交于 $A_{3} (0, y_{3}), \dots$ ，连接 $M A_{n}, N A_{n}$ ，分别与曲线 $Γ$ 的另一个交点为 $M_{n}, N_{n}$ ，直线 $M_{n} N_{n}$ 与 $y$ 轴相交于 $A_{n + 1} (0, y_{n + 1})$ ，已知 $y_{1} = 1$ .
（i）求数列 $\{y_{n}\}$ 的通项；
（ii）已知 $a_{n} = {log}_{2} y_{n} + 1, b_{n} = {log}_{2} a_{n}, S_{n}$ 为数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求使不等式 $S_{n} > 2025$ 成立时， $n$ 的最小值.

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - a$

(1)、若 $a = 1, g (x) = f (x) \cos x - \sin x$ ，讨论函数 $g (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 1$ ，求证： $f (x) \geq x$ ．

(3)、若 $h (x) = f (x) - x \cos x$ 在 $[0, + \infty)$ 上有唯一的零点，求实数 $a$ 的最小值．

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3、某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.

(1)、求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；

(2)、用 $X$ 表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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4、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 1) + f (5 - x) = 2$ ，则 $f (2) =$ ；若 $f (2 x + 1)$ 为偶函数， $g (x) = f (x + 2) - 1$ ，且 $x \in (0, 1]$ 时， $g (x) = 4 e^{x - 1} sin (\frac{π}{3} x)$ ，则 $g (x)$ 图象与曲线 $y^{2} = 4 |x|$ 的交点个数为.

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5、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2, A A_{1} = \sqrt{3}, ∠ A B C = 120^{\circ}, E$ 为 $A B$ 边中点，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $B_{1} E$ 所成角的余弦值为.

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6、已知复数 $z$ 满足 $i z = 3 + 4 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ .

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7、已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C_{1} : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过抛物线 $C_{2} : y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，连接 $A O, B O$ 并分别延长交椭圆 $C_{1}$ 于 $M, N$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则 $|A B| = \frac{9}{2}$ B、若直线 $O M, O N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{4}$ C、若抛物线 $C_{2}$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $P$ ，直线 $l$ 的倾斜角为 $45 °$ ，则 $tan ∠ A P B = 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{|O M|} + \frac{1}{|O N|}$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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8、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $b^{2} - 3 a c \geq 0, f (x)$ 有两个极值点 B、 $f (x)$ 的对称中心为 $(- \frac{b}{3 a}, f (- \frac{b}{3 a}))$ C、过平面内一点 $P$ 作 $f (x)$ 的切线最多有三条 D、 $f (x) = 0$ 有三个不同的根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = \frac{b}{a}$

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9、在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第 $n$ 行的所有数字之和为 $2^{n - 1}$ ，若去除所有为1的项，依次构成数列 $\{a_{n}\}$ ：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{12} = a_{14}$ B、 $S_{15} = 104$ C、第 $\frac{n^{2} - n + 2}{2}$ 项为 $n + 1, n \in N^{*}$ D、从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和 $S$ ，则 $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \cdot \cdot \cdot > 2$

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10、已知 $x_{1}$ 是函数 $f (x) = x ln x - e$ 的零点， $x_{2}$ 是函数 $g (x) = x + ln x - 1$ 的零点，则 $x_{1} x_{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、 $\sqrt{e}$ D、e

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11、有一组样本数据为 $- 1$ ， 3，7，8，9，11，在其中添加一个数 $x$ 构成一组新的样本数据，若 $x \in \{0, 2, 3, 8, 9, 12\}$ ，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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12、已知点 $(m, 9)$ 在幂函数 $f (x) = (m - 2) x^{α}$ 的图象上，设 $a = f (\frac{α + 1}{m})$ ， $b = f (ln 2)$ ， $c = f (3^{\sqrt{2}})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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13、若 $cos (θ - \frac{π}{3}) = \frac{2}{3}$ ，则 $cos (2 θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $- \frac{5}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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14、若随机变量 $ξ \sim N (3, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq a) = P (ξ \geq b)$ ，则 $a^{2} + 2 b^{2}$ 的最小值为（）

A、18 B、 $18 \sqrt{2}$ C、24 D、27

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15、在复平面内，点 $Z (3, 4)$ 对应的复数为 $z$ ，则 $| \frac{1 - i}{z} | =$ （）

A、 $\frac{2}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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16、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{6} + a_{8} + a_{10} = 36$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、270 B、225 C、180 D、135

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17、集合 $A = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x \in N |x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{x |- 1 \leq x < 2\}$

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18、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，过原点 $O$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别与椭圆交于点 $A ､ B$ 和点 $C ､ D, M$ 为椭圆上一点，且 $\vec{O M} = \frac{3}{5} \vec{O A} + \frac{4}{5} \vec{O C}$ .

(1)、设 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(2)、求证： $△ A B C$ 的面积为定值；

(3)、当直线 $l_{1}$ 的斜率 $k_{1} = 3$ 时，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $P$ ，与椭圆交于不同的两点 $E, F$ ，求 $|P E| + 2 |P F|$ 的最大值.

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19、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 有三个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ .

(1)、若 $a = 1 ， b = - 1$ ，求 $c$ 的取值范围；

(2)、若 $a = \frac{3}{2} ， b > 0 ， x_{1} = 0$ ，且对任意 $x \in [x_{2}, x_{3}] (x_{2} < x_{3})$ 都有 $f (x) > f (- 1)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围；

(3)、若 $a = b > 0 ， c = 0$ ，比较 $f (x)$ 的极大值与 $- 1$ 的大小.

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20、如图所示，在直角梯形 $B C E F$ 中， $∠ C B F = ∠ B C E = 90^{\circ}, A, D$ 分别是 $B F, C E$ 上的点，且 $A D / / B C, A B = E D = 2 B C = 2 A F = 2$ ，将四边形 $A D E F$ 沿 $A D$ 向上折起，连接 $B E, B F, C E$ ，在折起的过程中，记二面角 $E - A D - C$ 的平面角为 $α$ .

(1)、请将几何体 $E F A B C D$ 的体积表达为关于 $α$ 的函数，并求其最大值；

(2)、当 $α \in (\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ 时，求平面 $E F B$ 和平面 $E B C$ 夹角的余弦值的取值范围.

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