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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ 且 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 135^{°}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、10 D、 $\sqrt{10}$

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2、已知一次函数 $g (x) = (a - 1) x + b$ 和指数函数 $f (x) = a^{x}$ ，若一次函数图象过一、三、四象限，则下列关系正确的是（）

A、 $f (- 3) > f (- 2)$ B、 $f (3) < f (2)$ C、 $f (3) > f (2)$ D、 $f (3) \geq f (2)$

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3、等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，前 $n$ 项和 $S_{n} = 3^{n} + a$ ，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、 $- 1$ C、1 D、-2

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4、如图所示，若 $0 < a < 1$ ，函数 $y = a^{x}$ 与 $y = x + a$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5、已知不等式 $x^{2} - m x + 4 < 0$ 的解集为空集，则 $m$ 的取值集合为（）

A、 $(- 4, 4)$ B、 $(- \infty, - 4) \cup (4, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 4] \cup [4, + \infty)$ D、 $[- 4, 4]$

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6、已知函数 $f (x) = x^{5} + b x - 8$ ，若 $f (m) = - 3$ ，则 $f (- m)$ 的值是（）

A、3 B、 $- 13$ C、 $- 5$ D、5

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7、函数 $y = 2 \sin 3 x \cos 3 x$ 的最大值和最小正周期分别是（）

A、2， $\frac{π}{3}$ B、1， $\frac{2 π}{3}$ C、1， $\frac{π}{3}$ D、2， $\frac{2 π}{3}$

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8、下列选项说法正确的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a < b$ C、若 $a > b$ ，则 $5 - a > 5 - b$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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9、“ $2^{a}$ ， $2^{b}$ ， $2^{c}$ 成等比数列”是“ $2 b = a + c$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、函数 $y = \frac{2}{\sqrt{7 - |x - 3|}}$ 的定义域是（）

A、 $(- 4, 10)$ B、 $(- 10, 4)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (10, + \infty)$ D、 $[- 4, 10]$

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11、已知全集 $U = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$ ，集合 $A = {x \in N ∣ - 3 < x < 2}$ ， $B = {1, 2, 3}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B)$ 等于（）

A、 ${4}$ B、 ${- 1, - 2, 4}$ C、 ${0, - 1, - 2, 4}$ D、 ${- 2, 2, 4}$

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12、已知曲线 $C$ 上任意一点 $P (x, y)$ 满足 $\sqrt{{(x + \sqrt{2})}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - \sqrt{2})}^{2} + y^{2}} = 2$ ．

(1)、化简曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ （ $O$ 为坐标原点），直线 $l$ 经过点 $A (m, 0) (m > 1)$ 且与圆 $O$ 相切，过点 $A$ 作直线 $l$ 的垂线，交 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $△ O M N$ 面积的最小值．

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13、图1是直角梯形 $A B C D, A D // B C$ ， $∠ B = 90^{\circ}$ ，四边形 $A E C D$ 是边长为2的菱形，并且 $∠ A D C = 120^{\circ}$ ，以 $D E$ 为折痕将 $△ C D E$ 折起，使点 $C$ 到达点 $C_{1}$ 的位置，如图2.

(1)、求证： $A C_{1} ⊥ D E$ ；

(2)、若平面 $C_{1} D E ⊥$ 平面 $A B E D$ ，在棱 $B C_{1}$ 上找一点 $M$ ，使得点 $M$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{15}}{15}$ ，并求 $\frac{B M}{B C_{1}}$ 的值；

(3)、在（2）的前提下，求直线 $E M$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成角的正弦值.

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14、近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”.为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的统计数据如下表所示：

喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的居民
40
10
50
年龄超过45岁的居民
20
30
50
合计
60
40
100

(1)、试根据 $a = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系．

(2)、居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择在 $A$ 平台买菜，那么周二选择在 $A$ 平台买菜的概率为 $\frac{4}{5}$ ；如果周一选择在 $B$ 平台买菜，那么周二选择在 $A$ 平台买菜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求小张周二选择在 $B$ 平台买菜的概率.

(3)、用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量 $X$ ，并记随机变量 $Y = 2 X + 3$ ，求X，Y的数学期望和方差．
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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15、已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x) \ln x + x$ 的图象在点 $(e, f (e))$ 处的切线斜率为 $3 (e - 1)$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上的最大值．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ．

(1)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，求证： $\{b_{n}\}$ 为等差数列；

(2)、求数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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17、将分别标有号码 $1 ~ 6$ 的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有种.

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18、已知 $\cos (α + β) = \frac{1}{3}, \sin α \sin β = - \frac{1}{12}$ ，则 $\cos^{2} α - \sin^{2} β =$ ．

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19、设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{7} = 18, 4 a_{3} + a_{6} = 36$ ，则 $S_{8} =$ ．

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20、函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - (2 a + 1) x^{2} + 8 a x + 32 a^{2}$ ，其中 $a$ 是常数，则（）

A、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 是增函数 B、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点，则 $a = \frac{1}{4}$ C、若 $a > 1$ ，且 $f (x)$ 有2个零点，则 $a = \frac{9}{2}$ D、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 有3个零点

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	喜欢网上买菜	不喜欢网上买菜	合计
年龄不超过45岁的居民	40	10	50
年龄超过45岁的居民	20	30	50
合计	60	40	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828