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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，且满足 $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 5 x + \frac{4}{x}$ ，则 $f (x)$ 的最小值为．

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2、设 $a, b \in R$ ，集合 $A = \{- 1, a\}, B = \{b, 1\}$ ，若 $A = B$ ，则 $a + b =$ ．

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3、（多选题）关于函数 $y = - \frac{5}{x}$ 的单调性的叙述正确的是（）

A、函数在 $(- \infty, 0)$ 上是递增的 B、函数在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上是递增的 C、函数在 $[0, + \infty)$ 上是递增的 D、函数的递增区间是 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, + \infty)$

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4、已知正数 $x$ 满足 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ ，则 $x + x^{- 1} =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5、已知 $- 1 \leq x + y \leq 2$ ， $0 \leq 2 x - y \leq 3$ ，则 $5 x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $2 \leq 5 x + 2 y \leq 7$ B、 $- 3 \leq 5 x + 2 y \leq 8$ C、 $- 2 \leq 5 x + 2 y \leq 6$ D、 $- 3 \leq 5 x + 2 y \leq 9$

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6、若集合 $A = \{x |x < 1$ 或 $x > 2\}$ ， $B = \{x |- 1 < x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ B、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ C、 $\{x |x < 1$ 或 $x > 2\}$ D、 $\{x |- 1 < x < 1$ 或 $2 < x < 3\}$

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7、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{1, 3, 4\}$ ，集合 $B = \{1, 5\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{1, 4\}$ B、 $\{1, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{1, 3, 4\}$

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8、如图，已知 $a, b, c$ 为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边， $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A D ⊥ A C, ∠ A C B = ∠ B A D$ .

(1)、若 $b = c$ ，求 $\frac{C D}{B D}$ 的值；

(2)、若 $\frac{C D}{B D} = 3$ ，求 $tan C$ 的值；

(3)、求 $\frac{c^{2} - B D^{2} + b^{2}}{a^{2} + c^{2}}$ 的取值范围.

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9、每个面都是正多边形的凸多面体称为阿基米德多面体.现从一个棱长为2的正方体的每个角处，切去一个大小相同的正三棱锥，得到一个阿基米德多面体.

(1)、若截得的阿基米德多面体如图所示，求其表面积；

(2)、当截得的阿基米德多面体体积达到最大时：
（i）求此时该多面体的体积和外接球半径；
（ii）该几何体是否存在内切球（与每个面都相切），若有，求出内切球半径，若不存在，请说明理由.

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10、如图，在等腰梯形 $O A B C$ 中， $O A$ $∥$ $C B, O A = 2 A B = 2 B C = 2 O C$ ， $\vec{B M} = λ \vec{B A} (λ ϵ (0, 1)), O M$ 交 $A C$ 于 $P$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，
（i）用 $\vec{O A}$ 和 $\vec{O C}$ 表示 $\vec{O M}$ ；
（ii）求 $\frac{|C P|}{|P A|}$ ；

(2)、设 $\vec{O B} = x \vec{C A} + y \vec{O M}$ ，求 $x + y$ 的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ 图象上相邻的一个最低点与一个最高点分别为 $(- \frac{π}{12}, - 2), (\frac{5 π}{12}, 2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上的单调区间.

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12、已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 3, 1)$

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量.

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13、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| \leq 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值为.

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14、如图， $△ S A B$ 为圆锥的轴截面， $A B = 2, S A = 3$ ，则从点 $A$ 出发沿圆锥的侧面再回到点 $A$ 的最短路线的长是.

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15、复数 $1 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p + q =$ ．

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16、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = - 1$ ，对 $\forall x_{1}, x_{2} \in R, x_{1} \neq x_{2}$ ，存在常数 $a > 1$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > a$ ，则下列结论中可能成立的是（）

A、 $f (\frac{1}{a}) < \frac{1}{a}$ B、 $f (\frac{1}{a}) > \frac{1}{a - 1}$ C、 $f (\frac{1}{a - 1}) < \frac{1}{a - 1}$ D、 $f (\frac{1}{a - 1}) > \frac{a}{a - 1}$

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17、对于复数 $z, z_{1}, z_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $z < 0$ ，则 $z^{2} > 0$ B、若 $z^{2} > 0$ ，则 $z \in R$ C、若 $|z_{1}| > |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ ，则 $|z_{1}| > |z_{2}|$

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18、下列说法正确的是（）

A、相等的线段在直观图中仍然相等 B、平行的线段在直观图中仍然平行 C、相等的角在直观图中仍然相等 D、面积相等的三角形在直观图中其面积仍然相等

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19、已知函数 $f (x) = k cos x + 2 x$ 与 $g (x) = {(x + 1)}^{2} - k$ 的图象在 $x \in (- 1, 1)$ 时有且只有一个交点，则 $k =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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20、已知 $△ A B C$ 满足： $a = c \cdot cos A$ ，则角 $A$ 的最大值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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