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相关试卷

1、黎曼函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的，其在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 $[0, 1]$ 上，其解析式为 $R (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{p} ， x = \frac{q}{p} (p ， q 互质， p > q > 0) \\ 0 ， x = 0, 1 或 x 为 [0, 1] 上的无理数 \end{cases}$ .
若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (3 x) + f (2 - 3 x) = 0$ ，且 $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [0, 1)$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2025} f (\frac{k}{4}) =$ .

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2、若 $(2, 9)$ 在函数 $y = a^{|x|}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象上，则函数 $y = a^{|x|}$ 的单调递减区间是.

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3、集合 $\{1, 2, 3\}$ 的子集个数为．

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4、已知定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：
①对任意 $x, y \in (- 1, 1)$ 都有 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ ；②当 $x > 0$ ， $f (x) > 0$ .
则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是减函数 C、若 $f (\frac{1}{5}) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (\frac{1}{2}) - f (\frac{1}{7}) = 1$ D、 $f (\frac{1}{11}) + f (\frac{1}{19}) + f (\frac{1}{29}) + f (\frac{1}{41}) < f (\frac{1}{3})$

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5、存在函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in \{x |x \neq 0\}$ 都有（）

A、 $f (4^{x}) = x^{2} + 1$ B、 $f (x + \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ C、 $f (x^{2}) = x + 1$ D、 $f (x^{2} + 2 x) = \sqrt{|x + 1|}$

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6、已知实数 $a, b, c$ 满足 $a > b > c$ ，则下列不等关系中不一定成立的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$ C、 $a - b > b - c$ D、 $a + b > c$

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7、已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，若 $a \in (0, 1)$ ，记 $f (x) = |x - [x + a]| + |x - [x - a]|$ ，且 $\forall x \in R$ ，有 $f (x) \leq M (a)$ 恒成立，则 $M (a)$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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8、若 $m, n$ 均为大于1的实数，且 $m n = 3 + m + n$ ，则 $m + 2 n$ 的最小值为（）

A、6 B、9 C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 + 4 \sqrt{2}$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 x ， x \leq 1 \\ x + a ， x > 1 \end{cases}$ ，若 $f (2^{a}) = f (1 - a)$ ，则整数a的值为（）

A、0 B、1 C、-1 D、-1或0

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10、已知 $a = {1.1}^{0.1}$ ， $b = {0.9}^{- 0.1}$ ， $c = \log_{5} 4$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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11、函数 $y = f (x)$ 的图象如图，则 $y = |f (x - 2)|$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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12、命题“ $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} + 2 x \geq 3$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} + 2 x < 3$ B、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} + 2 x \geq 3$ C、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} + 2 x < 3$ D、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} + 2 x < 3$

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13、“ $x^{2} = 1$ ”是“ $x = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、（1）设取大函数 $\max {a, b} = \frac{a + b + |a - b|}{2}$ ，若 $f (x) = \max \{x^{2} - 1, |x|\}$ ，则 $f (\sqrt{2}) =$ _________；
（2）设 $n$ 为正整数， $α = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}), β = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，记 $M (α, β) = \frac{1}{2} [(x_{1} + y_{1} - |x_{1} - y_{1}|) + (x_{2} + y_{2} - |x_{2} - y_{2}|) + \dots + (x_{n} + y_{n} - |x_{n} - y_{n}|)] .$
①当 $n = 2$ 时，若 $α = (1, 0), β = (1, 1)$ ，求 $M (α, β)$ 的值；
②当 $n = 4$ 时，设集合 $P = \{α ∣ α = (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}), t_{k} \in \{0, 1\}, k = 1, 2, 3, 4\}$ ，设Q是P的子集，且满足：对于Q中的任意元素 $α, β$ ，当 $α, β$ 相同时， $M (α, β)$ 是奇数；当 $α, β$ 不同时， $M (α, β)$ 是偶数.求集合Q中元素个数的最大值.

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15、求下列各式的最值

(1)、求 $\sqrt{x (1 - 4 x)}$ 的最大值；

(2)、当 $0 < x < 1$ 时，求 $\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x}$ 的最小值；

(3)、已知 $2 a + b = 1 (a, b > 0)$ ，求 $\frac{2 b}{a} + \frac{1 + b}{b}$ 的最小值.

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16、已知 $x, y, z \in R$ ，且满足 $2 x + y + \sqrt{5} z = 2$ ，求 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的最小值为.

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17、已知函数 $f (x) = 3 x + 3 + \sqrt{x - 1}$ ，则 $f (x)$ 的值域为.

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18、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 1, x \leq 1 \\ f (x - 4), x > 1 \end{matrix}$ ，则 $f (3)$ 等于.

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19、已知二次函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ 在 $(0, 1)$ 上有两个不同的零点，则（）

A、 $a^{2} > 4 b$ B、 $a + b < - 1$ C、 $2 a + b < 0$ D、 $b^{2} + (a + 1) b < \frac{1}{16}$

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20、关于 $x$ 的不等式 $2 a x^{2} - (2 a + 3) x + 3 > 0$ 的解集可能为（）

A、 $\emptyset$ B、 $\{x | x < 1\}$ C、 $\{x | x > \frac{3}{2 a} 或 x < 1\}$ D、 $\{x | \frac{3}{2 a} < x < 1\}$

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