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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} f (x - 2), x \geq 0 \\ 2 x^{2} - 3 x, x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、-1 B、1 C、5 D、14

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2、下列说法中，正确的有（）

A、直线 $y = 3 x - 2$ 在y轴上的截距是2 B、直线 $2 x - y + 5 = 0$ 经过第一、二、三象限 C、过点 $(5, 0)$ ，且倾斜角为90°的直线方程为 $x - 5 = 0$ D、过点 $P (1, 2)$ 且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$

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3、若存在 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) \neq x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的次不动点.
已知 $f (x) = \{\begin{cases} 2 a x, x \leq \frac{1}{2}, \\ 2 a - 2 a x, x > \frac{1}{2}, \end{cases}$ $a$ 为常数且 $a > 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，判断 $\frac{2}{3}$ 是否为函数 $f (x)$ 的次不动点，并说明理由；

(2)、已知 $f (x)$ 有两个次不动点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，
①求 $a$ 的取值范围；
②若对任意 $x \in R, f (f (x)) \leq f (f (x_{3}))$ ，且 $x_{3} < \frac{1}{2}$ ， $P (x_{1}, f (f (x_{1})))$ ， $Q (x_{2}, f (f (x_{2})))$ ， $R (x_{3}, 0)$ ，求△ $P Q R$ 的面积的取值范围.

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4、已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，且经过点 $M (2, \frac{2}{5} \sqrt{5})$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $A$ 、 $B$ 在 $y$ 轴的同侧.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，直线 $A C$ 、 $B C$ 分别交 $y$ 轴于 $P$ 、 $Q$ 两点，记 $△ P Q C$ 和 $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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5、如图，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， $D$ 是 $A C$ 中点， $E$ 、 $F$ 分别是 $B A$ 、 $B C$ 边上的动点，且 $E F // A C$ ，将 $△ B E F$ 沿 $E F$ 折起，将点 $B$ 折至点 $P$ 的位置，得到四棱锥 $P - A C F E$ .

(1)、求证： $E F ⊥ P C$ ；

(2)、若 $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B A}$ ，二面角 $P - E F - C$ 是直二面角，求平面 $P E F$ 与平面 $P A C$ 夹角的余弦值；

(3)、当 $B C = 2$ 时，是否存在这样的点 $F$ ，使得二面角 $P - E F - C$ 为 $\frac{π}{3}$ ，且直线 $P D$ 与平面 $A C F E$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，若存在，求出 $C F$ 的长，若不存在，请说明理由.

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6、已知 $O$ 为坐标原点，直线 $(m + 1) x + y - m - 1 = 0$ 过定点 $A$ ，设圆 $C$ 的半径为2，圆心在直线 $l$ ： $x + y - 2 = 0$ 上.

(1)、若圆心 $C$ 也在直线 $y = 2 x + 5$ 上，求过点 $A$ 与圆 $C$ 相切的直线方程；

(2)、若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 $|O A| = |O M|$ ，求圆心 $C$ 的横坐标的取值范围.

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c \sin C \cos B + c \sin B \cos C + \sqrt{3} a \cos C = 0$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、已知 $c = 7$ ， $a b = 15$ ，求 $a$ .

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8、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左焦点为 $F (- c, 0)$ ，直线 $x = t$ 与椭圆交于点 $M$ 、 $N$ ， $△ F M N$ 的周长最大值为 $2024 c + \frac{1}{c} - 2$ ，则椭圆离心率的最大值为.

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9、在G5联盟考试成绩中，从某班随机抽取8名同学的数学成绩，分数从低到高为：70，77，90，101，115，119，138，149，则第70百分位数为.

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10、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ ， $F$ 是棱 $C C_{1}$ 、 $B C$ 的中点，动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} + ν \vec{A A_{1}}$ ，其中 $λ$ ， $μ$ ， $ν \in [0, 1]$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $λ = 2 μ$ ， $ν = 0$ ，则 $D_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$ B、若 $λ = μ$ ，则 $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ C、若 $P D_{1} //$ 平面 $D E F$ ，则 $λ + 2 μ - 2 ν = 0$ D、若 $P D_{1} ⊥ P F$ ，则 $λ + μ + ν \in [1, 3]$

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11、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率为 $e$ ，焦距为 $2 c$ ，直线 $y = k x$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $A$ 位于第一象限，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，点 $F$ 为双曲线的左焦点，则（）

A、若 $A F ⊥ B F$ ，则 $|A B| = 2 c$ B、若 $k = \sqrt{3}$ ，则 $e > 2$ C、若 $e = 2$ ，则 $\frac{|A F|}{|A N|} > 2$ D、 $|A F| - |A N| \geq 2 a$

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12、已知复数 $z_{1} = a + b i$ ， $z_{2} = a - b i (a \in R, b \in R)$ ，且 $b \neq 0$ ，则以下四个命题正确的是（）

A、 $z_{1} + z_{2} \in R$ B、 $z_{1} - z_{2}$ 为纯虚数 C、 $z_{1} z_{2}$ 为纯虚数 D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为虚数

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13、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的焦点到 $y = \frac{1}{2}$ 的距离为1， $M$ 是抛物线 $C$ 上的动点， $M$ 到 $y = - \frac{1}{2}$ 的距离与 $|M P|$ 之和的最小值为1，则点 $P$ 的轨迹围成的面积是（）

A、 $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3} + \sqrt{3}$ D、 $4 π$

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14、曲线 $y = sin (ω x + 1)$ 与 $y = - 2 cos (ω x + 2)$ 在 $x \in (0, π)$ 内有3个交点，则 $ω$ 可能的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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15、已知 $a$ ， $b$ 均为正实数， $a - \frac{1}{b} = 2$ ，则 $\frac{5}{a} - b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{5}{2} - \sqrt{5}$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $3 - 2 \sqrt{5}$ D、 $3 + 2 \sqrt{5}$

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16、把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（）

A、1 B、 $\sqrt{2} - 1$ C、2 D、 $\sqrt{2} + 1$

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17、曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m + 1} - \frac{y^{2}}{m + 3} = 1$ ，则“ $m > - 1$ ”是“曲线 $C$ 表示双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知直线 $l_{1}$ ： $m x + 2 y + 2 = 0$ ， $l_{2}$ ： $2 x + y + 4 m = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 4$ C、4 D、1

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19、直线 $l : x = 0$ 的倾斜角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、不存在

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20、已知函数 $f (x) = k \ln x + \frac{1}{e^{x}} (k \in R)$ ．

(1)、已知函数 $f (x)$ 在点 $A (1, f (1))$ 处的切线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，求 $k$ 的值．

(2)、若函数 $y = f (x)$ 为增函数，求 $k$ 的取值范围；

(3)、已知 $0 < x_{1} < x_{2}$ ．证明： $\frac{e}{e^{x_{2}}} - \frac{e}{e^{x_{1}}} > 1 - \frac{x_{2}}{x_{1}}$ ；

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