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相关试卷

1、已知点 $P$ 在 $y = \sqrt{x^{2} + 1}, x \in [- 1, \sqrt{3}]$ 上运动，点 $Q$ 在圆 $C : x^{2} + {(y - a)}^{2} = \frac{3}{4} (a > 0)$ 上运动，且 $|P Q|$ 最小值为 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ ，则实数 $a$ 的值为.

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2、已知直线 $l$ 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ ，与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，过 $M$ 作 $M N$ 垂直于抛物线的准线，垂足为 $N$ ，则 $\frac{32}{|A B|} + \frac{{|N F|}^{2}}{4}$ 的最小值是.

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3、如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= $\sqrt{5}$ ， ∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是．

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4、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D = A D = 2$ ， $M, N, G$ 分别为 $P A, P C, P B$ 的中点，则（）

A、四面体 $N - B C D$ 是鳖臑 B、 $C G$ 与 $M N$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、点 $G$ 到平面 $P A C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、过点 $M, N, B$ 的平面截四棱锥 $P - A B C D$ 的截面面积为 $\frac{2 \sqrt{11}}{3}$

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5、设 $M$ 为双曲线 $C$ ： $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 上一动点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为上、下焦点， $O$ 为原点，则下列结论正确的是（）

A、若点 $N (0, 8)$ ，则 $|M N|$ 最小值为7 B、若过点 $O$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点（ $A, B$ 与 $M$ 均不重合），则 $k_{M A} k_{M B} = \frac{1}{3}$ C、若点 $Q (8, 1)$ ， $M$ 在双曲线 $C$ 的上支，则 $|M F_{2}| + |M Q|$ 最小值为 $2 + \sqrt{65}$ D、过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $G$ 、 $H$ 不同两点，若 $|G H| = 7$ ，则 $l$ 有4条

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6、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 满足 $\overset{⃑}{B P} = λ \overset{⃑}{B C} + μ \overset{⃑}{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $△ A B_{1} P$ 的周长为定值 B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

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7、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，经过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ ， $△ A B F_{2}$ 的内切圆的圆心为 $I$ ，若 $3 \overset{⃑}{I B} + 4 \overset{⃑}{I A} + 5 \overset{⃑}{I F_{2}} = \overset{⃑}{0}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、如图，平面 $O A B ⊥$ 平面 $α$ ， $O A \subset α$ ， $O A = A B$ ， $∠ O A B = 120 °$ ．平面 $α$ 内一点P满足 $P A ⊥ P B$ ，记直线 $O P$ 与平面 $O A B$ 所成角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > 0, b > 0)$ 右焦点为 $F$ ，离心率为 $e$ ， $\vec{P O} = k \vec{F O}, (k > 1)$ ，以 $P$ 为圆心， $| P F |$ 长为半径的圆与双曲线有公共点，则 $k - 8 e$ 最小值为（）

A、 $- 9$ B、 $- 7$ C、 $- 5$ D、 $- 3$

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10、若方程 $\frac{x^{2}}{25 - m} + \frac{y^{2}}{m + 9} = 1$ 表示椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 9, 25)$ B、 $(- 9, 8) \cup (8, 25)$ C、 $(8, 25)$ D、 $(8, + \infty)$

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11、已知事件 $A, B$ 满足 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1$ .证明：

(1)、若 $\frac{P (A B)}{P (B)} + \frac{P (\bar{A} \bar{B})}{P (\bar{B})} = 1$ ，则 $A$ 与 $B$ 独立；

(2)、 $|P (A B) - P (A) P (B)| \leq \frac{1}{4}$ .

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12、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B {}_{1}C_{1} D_{1}$ 中，E为线段A₁B₁的中点，F为线段AB的中点．

(1)、求点B到直线AC₁的距离；

(2)、求直线FC到平面AEC₁的距离．

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13、在空间直角坐标系中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，点 $P (x, y, z)$ ．若直线l经过点 $P_{0}$ ，且以 $\vec{u}$ 为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点．

(1)、求证： $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ；

(2)、当 $a = b = 2 c = 1, 4 x_{0} = 2 y_{0} = z_{0} = 4$ ，且 $\vec{O P} \cdot \vec{u} = - 1$ 时，求点P的坐标．

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14、近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加 $2$ 次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核， $2$ 次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为 $\frac{1}{3}$ ，教师乙每次考核通过的概率为 $\frac{1}{4}$ ，且甲乙每次是否通过相互独立.

(1)、求乙通过考核的概率；

(2)、求甲乙两人考核的次数和为 $3$ 的概率.

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15、已知向量 $\vec{a} = (1 - t, 1 - t, t), \vec{b} = (2, t, t)$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $t$ 的值；

(2)、求 $|\vec{b} - \vec{a}|$ 的最小值.

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16、已知点 $P$ 是平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $\vec{A B} = (- 1, 2, 2)$ ， $\vec{A D} = (0, 1, 3)$ ， $\vec{A P} = (2, 1, 0)$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $A P ⊥ A B$ B、存在实数 $λ$ ，使 $\vec{A P} = λ \vec{B D}$ C、 $\vec{A P}$ 不是平面 $A B C D$ 的法向量 D、四边形 $A B C D$ 的面积为 $\sqrt{26}$

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17、从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（）

A、“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B、“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C、“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D、“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件

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18、在空间直角坐标系中，已知 $A (1, 1, - 1), B (1, 2, 2), C (- 3, 4, 2)$ ，则点A到直线 $B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{39}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

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19、已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的 $\frac{3}{4}$ 倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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20、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90 °, D_{1}, F_{1}$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点， $B C = C A = C C_{1}$ ，则 $B D_{1}$ 与 $A F_{1}$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{10}$

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