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相关试卷

1、已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（）

A、 $\frac{4 π}{5}$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{π}{5}$ D、 $5 π$

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2、已知 $a = - {log}_{5} \frac{1}{3}, b = 5^{0.3}, c = {log}_{6} 2$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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3、已知复数 $z = a - b i (b < 0)$ ，满足 $|z| = 1$ ，复数z的实部为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则复数z的虚部是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (x, - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x$ 等于（）

A、-7 B、9 C、4 D、-4

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5、已知集合 $A = \{- 1, a, a + 2\}, B = \{y| y = x^{2} - 2 x, x \in A\}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则 $a =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、1或3

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6、如图在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，侧棱 $P A ⊥ P D$ ，且 $A D = 4 A B = 4$ ， $P A = 2$ ， $P C = \sqrt{13}$ ，点E为AD中点，

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - E$ 的余弦值；

(3)、点F为对角线AC上的点，且 $F G ⊥ P B$ ，垂足为G，求FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值.

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7、如图在直角梯形 $A B C D$ 中， $\vec{B C} = 2 \vec{A D}$ ， $B C = C D = 2$ ，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.

(1)、求向量 $\vec{A F}$ 与 $\vec{B E}$ 夹角 $α$ 的余弦值；

(2)、若向量 $\vec{B H} = x \vec{B D} + y \vec{A C}$ ，求实数x，y的值；

(3)、若向量 $\vec{B P}$ 与 $\vec{C P}$ 的夹角为 $β$ ，求 $cos β$ 的最小值.

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8、某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示： $A B = A D = 100$ 米， $B C = 160$ 米， $∠ B A D = 2 ∠ B C D = 120 °$ .

(1)、求 $cos ∠ B D C$ 的值；

(2)、若点 $E, F$ 分别为边 $B C, C D$ 上的点，且 $C E = 80$ 米， $C F = 60$ 米，又点 $I$ 在以C为圆心， $C F$ 为半径的圆弧 $F G$ 上（ $△ B C D$ 内部），准备将四边形 $C E I F$ 区域种植郁金香.设 $∠ E C I = θ$ ，求四边形 $C E I F$ 的面积关于 $θ$ 的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $M$ 、 $N$ 分别是BC、 $C C_{1}$ 的中点， $A B_{1} ⊥ M N$ .

(1)、证明： $M N ⊥$ 平面 $A B_{1} M$ ；

(2)、求 $C_{1}$ 点到平面 $A B_{1} M$ 的距离.

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10、已知向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 3)$ ， $\vec{c} = (6, - 1)$ .

(1)、求满足 $\vec{c} = 2 \vec{a} + y \vec{b}$ 的实数x，y的值；

(2)、若 $(4 \vec{a} + \vec{c}) / / \vec{b}$ ，求实数x的值.

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11、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ ， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (2 \vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的取值范围为.

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12、已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为.

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13、水平放置的 $△ A B C$ 斜二测直观图为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 2$ ， $∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 60 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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14、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 是线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 是线段 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $A_{1} D$ 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）

A、 $C_{1} P$ 的最小值为 $\sqrt{6}$ B、 $∠ B_{1} P C$ 可能是直角 C、三棱锥 $A - P E F$ 的体积为定值 D、 $△ P E F$ 的周长的最小值为 $2 \sqrt{5} + \sqrt{2}$

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15、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $A = \frac{π}{4}$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，若 $△ A B C$ 有且仅有一个解，则 $c - a$ 的可能取值有（）

A、0 B、 $4 - 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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16、若 $\{\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}\}$ 是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（）

A、 $\{\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} ， \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}\}$ B、 $\{\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} ， \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}\}$ C、 $\{2 \vec{e_{2}} - 3 \vec{e_{1}} ， 6 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}\}$ D、 $\{3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} ， \vec{e_{1}} - \frac{1}{3} \vec{e_{2}}\}$

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17、费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 $\frac{2 π}{3}$ .如图，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是正三角形， $A B = 4$ ， $A E = 2$ ，且B，A，D三点共线，设点P是 $△ A C E$ 内的任意一点，则 $P A + P C + P E$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\sqrt{26}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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18、已知某圆台的上、下底面半径分别为 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ ，且 $r_{2} = 3 r_{1}$ ，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{13 π}{9}$ B、 $\frac{20 π}{9}$ C、 $\frac{26 π}{9}$ D、 $\frac{26 π}{3}$

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19、若两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 2 |\vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F，G，H分别是棱 $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} C$ ， $B_{1} B$ ， $A B$ 的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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