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相关试卷

1、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} = 5$ ， $S_{7} = 49$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ；

(3)、若 $a_{n + 1} > m a_{n}$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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2、某学校为了研究学生的数学成绩与物理成绩是否有关联，随机抽取了500名学生的成绩数据，得到如下2×2列联表：
单位：人
物理成绩
数学成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
90
60
150
不优秀
160
190
350
合计
250
250
500

(1)、记数学成绩优秀者中物理成绩不优秀的概率为P，求P的值；

(2)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与物理成绩有关系？
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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3、某个科技小作品是由红、黄、蓝三个颜色的灯组成，每次闪烁时只有一个颜色的灯亮，其余两个颜色的灯不亮，每种颜色的灯不会连续在两次闪烁中亮起，若第1次闪烁，红灯亮起，则第6次闪烁时，黄灯亮的概率为.

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 7$ ， $B = 60 °$ ， $S_{△ A B C} = 6 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的周长是.

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5、已知函数 $f (x) = x \ln x + 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为.

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6、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，O为坐标原点，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，同时过焦点F作与直线l垂直的直线 $l^{'}$ 与抛物线C交于D，E两点，则下面说法正确的是（）

A、 $|A B|$ 的取值范围为 $[4, + \infty)$ B、若直线l的倾斜角为60°，则 $|A B| = \frac{16}{3}$ C、若在x轴上存在一点M，使得 $∠ A M O = ∠ B M O$ ，则点M的坐标为 $(- 1, 0)$ D、当直线l的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，四边形ADBE的面积为36

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7、已知正实数a，b满足 $a + b = 1$ ，则下面说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为4 B、 $\frac{1}{a b} - 3$ 的最小值为 $2 \sqrt{3} - 3$ C、 $\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 + b}$ 的最大值为 $\sqrt{6}$ D、 $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b})$ 的最小值为 $\frac{25}{4}$

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8、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下面说法正确的是（）

A、 $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $A B C D$ B、 $A C_{1} ⊥ B D$ C、平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A B C D$ D、直线 $A_{1} B$ 与直线 $A D_{1}$ 所成角为 $60 °$

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9、已知 $a_{} = \log_{2025} 2026$ ， $b = \ln \sqrt[3]{9}$ ， $c = \sin^{\frac{7}{2}} \frac{π}{4} + \cos^{\frac{7}{2}} \frac{π}{4}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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10、已知圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ ，直线l： $m x - y + 2 m + 1 = 0 (m \neq 0)$ ，若直线l与圆C交于A，B两点，且满足 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - 8$ ，则实数m的值为（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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11、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 7$ ， $S_{12} = 511$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、56 B、 $- 56$ C、63 D、 $- 63$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - a}$ 为奇函数，则 $f (2)$ 的值为（）．

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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13、若点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 是函数 $f (x) = \tan (x - φ)$ 的图象的一个对称中心，则 $φ$ 的最小正值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5π}{6}$ D、 $\frac{4π}{3}$

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14、若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 一条渐近线的倾斜角角为30°，则该双曲线的离心率e为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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15、已知全集 $U = \{x |x 是小于 10 的质数\}$ ， $A = \{3\}$ ，则 $∁_{U} A$ 的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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16、已知 $z = \frac{1 + 2 i}{i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、 $- 1$

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17、已知函数 $f (x) = ln x - e^{t x} (t \in R)$ ，且 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线的斜率为 $1 - e$ ．设函数 $f (x)$ 的最大值为 $k$ ．

(1)、求 $t$ 的值；

(2)、求证： $k < - 2$ ；

(3)、若不等式 $e^{2 x + k} - ln (2 x) + 2 \geq m$ ，求实数 $m$ 的最大值．

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18、如图，在平面四边形ABCD中， $B A = B C = 2, B A ⊥ B C$ ， $C A ⊥ C D$ ，将 $△ A C D$ 沿AC翻折，使点 $D$ 到达点 $P$ 的位置，且平面 $P A C ⊥$ 平面ABC.

(1)、证明： $B A ⊥ B P$ ；

(2)、设三棱锥 $P - A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上，且二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $45^{°}$ .
（i）求球 $O$ 的表面积与体积；
（ii）若 $M$ 为线段PC（点 $C$ 除外）上的动点，求直线BM与平面OBC所成角的最大值.

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19、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，三角形 $P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形，点 $E$ 为线段 $P D$ 的中点， $B C ∥ A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $P C = \sqrt{3}$ ， $A D = 2 C D = 2 B C = 2$ ．

(1)、求证：直线 $C E ∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $P A B$ 间的距离．

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20、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in (0, + \infty)$ 时，求证： $f (x) \geq - 3 x - 2$ .

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物理成绩	数学成绩		合计
物理成绩	优秀	不优秀	合计
优秀	90	60	150
不优秀	160	190	350
合计	250	250	500

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828