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相关试卷

1、恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：
网民类型
在直播间购买大米的情况
合计
在甲直播间购买
在乙直播间购买
本地区网民

外地区网民
30

45
合计

20
100

(1)、补全2×2列联表，并判断依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；

(2)、用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有 $100000$ 名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为 $X$ ，求使事件“ $X = k$ ”的概率取最大值时 $k$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
a
0.1
0.05
0.01
0.005
$x_{n}$
2.706
3.841
6.635
7.879

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2、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、设 $a_{1} = 1$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $f (x) = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{n}$ ，设 $a_{n} = f^{'} (2)$ ，求 $S_{n}$ .

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3、在三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 是正三角形且 $S A = S B = S C$ ， $M$ 是 $S C$ 的中点，且 $A M ⊥ S B$ ，底面边长 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 外接球的表面积为．

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4、在二项式 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的二项式系数为．

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5、已知 $F (2, 0)$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（）

A、 $p = 4$ B、 $| M F | \geq | O F |$ C、以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D、当 $∠ O F M = 120 °$ 时， $△ O F M$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$

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6、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，关于 $y$ 轴对称，此时与 $y$ 轴最接近的一个极大值坐标为 $(\frac{π}{2}, 2)$ ，下列说法错误的是（）

A、 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = - \frac{5 π}{12}$ B、 $f (x) = 1$ 在 $(0, π)$ 有 $2$ 个根 C、 $f (x)$ 与直线 $y = x$ 有 $3$ 个交点 D、 $f (x)$ 关于 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 中心对称

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7、已知点 $P$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左，右焦点，若半径 $b$ 的圆 $M$ 同时与 $F_{1} P$ 的延长线、 $F_{1} F_{2}$ 的延长线以及线段 $P F_{2}$ 相切，若 $\tan ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{4}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、若变量 $x, y$ 满足限制条件 $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} \leq 4 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ ，则目标函数 $z = x - y^{2}$ 的最大值为（）

A、 $2$ B、 $- 1.36$ C、 $1.36$ D、 $- 2$

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9、若圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 恰有 $3$ 个点到直线 $x - y + \sqrt{m} = 0$ 的距离为1，则 $m =$ （）

A、 $4$ B、 $16$ C、 $2$ D、 $8$

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10、如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝ $\frac{3 π}{4}$ ， AB⊥AD，AB＝1．

（1）若AC＝ $\sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（2）若∠ADC＝ $\frac{π}{6}$ ， CD＝4，求sin∠CAD．

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11、如图所示正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中的棱长为 $a$ ，连 $A_{1} C_{1}, A_{1} D, A_{1} B, B D, B C_{1}, C_{1} D$ 得到三棱锥 $A_{1} - B C_{1} D$

(1)、求三棱锥 $A_{1} - B C_{1} D$ 表面积与正方体表面积之比

(2)、求三棱锥 $A_{1} - B C_{1} D$ 的体积

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12、已知 $| \vec{C B} | = n, | \vec{C A} | = m$ 且 $\vec{C B} \cdot \vec{C A} = 0 (m > 0, n > 0)$

(1)、若 $D$ 为 $A B$ 中点，求证： $|\vec{C D}| = \frac{1}{2} |\vec{A B}|$ ；

(2)、若 $E$ 为 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 延长交 $B C$ 于 $F$ ，用 $\vec{C B}, \vec{C A}$ 表示 $\vec{A F}$ ，并求 $| \vec{A F} |$ .

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13、已知复数 $z = b i (b \in R)$ ， $\frac{z - 2}{1 + i}$ 是纯虚数

(1)、求复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$

(2)、若复数 ${(m + z)}^{2}$ 所对应的点在第二象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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14、 $△ A B C$ 中有 $b^{2} = a c, a^{2} + b c = c^{2} + a c$ ，则 $\frac{c}{b \sin B} =$ .

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15、已知 $a$ 是实数， $\frac{a - i}{2 + i}$ 是纯虚数，则 $a =$ .

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16、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点均在球 $O$ 的表面上， $A B = B C = C A = 2$ ，且球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离等于球半径的 $\frac{1}{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、球 $O$ 的表面积为 $6 π$ B、球 $O$ 的内接正方体的棱长为1 C、球 $O$ 的外切正方体的棱长为 $\frac{4}{3}$ D、球 $O$ 的内接正四面体的棱长为2

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17、下列关于点、线、面的位置关系的说法中不正确的是（）

A、若两个平面有三个公共点，则它们一定重合 B、空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 C、直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线 a，b是异面直线 D、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 是 $B_{1} D_{1}$ 的中点，直线 $A_{1} C$ 交平面 $A B_{1} D_{1}$ 于点 $M$ ，则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面

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18、在 $△ A B C$ 中已知 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ 则 $△$ 为（）

A、等腰 $△$ B、直角 $△$ C、等边 $△$ D、三边均不相等的 $△$

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19、 $△ A B C$ 中 $∠ A = 60 °$ ，若 $S_{△ A B C} = \frac{3}{2} \sqrt{3}$ 且 $2 \sin B = 3 \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、 $10 + \sqrt{7}$ B、12 C、 $5 + \sqrt{7}$ D、 $5 + 2 \sqrt{7}$

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20、圆台的上、下底半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的表面积为（）

A、 $81π$ B、 $100π$ C、 $14π$ D、 $168π$

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网民类型	在直播间购买大米的情况		合计
网民类型	在甲直播间购买	在乙直播间购买	合计
本地区网民
外地区网民	30		45
合计		20	100

a	0.1	0.05	0.01	0.005
$x_{n}$	2.706	3.841	6.635	7.879