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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均是 $(0, + \infty)$ ， $x = 2$ 是 $f (x)$ 的唯一零点，且 $(x + 1) f^{'} (x) < f (x)$ ，则（）

A、 $2025 f (2023) > 2024 f (2024)$ B、 $f (1) > 0$ C、 $2026 f (2024) < 2025 f (2025)$ D、 $f (3) > 0$

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2、记等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q，前n项积为 $T_{n}$ ，已知 $a_{1} > 1$ ， $a_{10} a_{11} > 1$ ， $(a_{10} - 1) (a_{11} - 1) < 0$ ，则（）

A、 $q \geq 1$ B、 $T_{21} < 1$ C、 $T_{n}$ 的最大值为 $T_{11}$ D、 $a_{10} + a_{11} > 2$

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3、某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（）

A、该公司2020—2024年快递业务量逐年上升 B、该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件 C、该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9% D、该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58%

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4、已知过点 $A (a, 0)$ 可以作曲线 $y = (x - 1) e^{x}$ 的两条切线，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - e) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$

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5、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $M$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $B M$ 上的动点，则下列式子的值为定值的是（）

A、 $\vec{A_{1} P} \cdot \vec{A_{1} B}$ B、 $\vec{A_{1} P} \cdot \vec{P B}$ C、 $\vec{A_{1} P} \cdot \vec{P M}$ D、 $\vec{A_{1} P} \cdot \vec{A_{1} M}$

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6、已知圆 $C_{1} : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 144$ 与 $C_{2} : {(x + 4)}^{2} + y^{2} = 4$ ，动圆M与圆 $C_{1}$ 内切，且与圆 $C_{2}$ 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{33} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{33} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{33} - \frac{y^{2}}{49} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{33} + \frac{y^{2}}{49} = 1$

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7、设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{10} + a_{12} + 3 a_{9} = 4 - a_{11}$ ，则 $3 S_{19} =$ （）

A、10 B、15 C、21 D、38

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8、已知 $θ \in (0, π)$ ，直线 $l_{1} : x \cos θ - y + 1 = 0$ ， $l_{2} : (2 \cos θ + 3) x + 2 y - 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, λ)$ ， $\vec{b} = (2, 3 λ - 5)$ ，且 $(\vec{b} - \vec{a})$ $//$ $\vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 10$ C、5 D、10

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10、已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $B = \{x| \log_{2} (x + 2) \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${- 1, 0, 1, 2}$ D、 ${1, 2, 3, 4}$

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11、若 $z - z i = 3 + i$ ，则z=（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 + 2 i$ D、 $2 - 2 i$

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12、某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为 $a_{n}$ 万元．

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ ；写出{ $a_{n}$ }的递推公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} - 800$ ，证明数列{ $b_{n}$ }为等比数列；

(3)、求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取 $lg 2 = 0.3$ ）.

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13、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1, 2 S_{n} = (n + 1) a_{n} (n \geq 2)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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14、等差数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数， $a_{1} = 3$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 1$ ，且 $b_{2} S_{2} = 64, b_{3} S_{3} = 960$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；

(2)、证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < \frac{3}{4}$ ．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = a_{n}^{2} + \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, b_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2},$ $b_{n + 1} = \frac{3}{2} a_{n} - \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2},$ 若 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{100} =$ .

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17、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 2, a_{2} + a_{5} + a_{8} = 4, a_{3} + a_{6} + a_{9} =$ .

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18、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，并且满足条件 $0 < a_{1} < 1$ ， $a_{8} a_{9} > 1$ ， $a_{8} a_{9} + 1 < a_{8} + a_{9}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $q > 1$ B、 $a_{8} a_{10} < 1$ C、 $T_{17} > 1$ D、 $T_{n}$ 的最小值为 $T_{9}$

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19、关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（）

A、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 - 2^{n + 1}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 B、若 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n + 2$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列 C、若数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为前 $n$ 项和，则 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}, \dots$ 成等比数列 D、若数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为前 $n$ 项和，则 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}, \dots$ 成等差数列

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，公差 $d = 8$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中每相邻两项之间都插入 $k$ 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 $\{b_{n}\}$ ，以下说法正确的是（）

A、 $a_{n} = 8 n - 6$ B、当 $k = 3$ 时， $b_{n} = 2 n$ C、当 $k = 3$ 时， $b_{29}$ 不是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 D、若 $b_{9}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，则 $k$ 的值可能为7

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