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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、我们称圆心在椭圆 $C$ 上运动且半径为 $\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{3}$ 的圆是椭圆 $C$ 的“环绕圆”.过原点 $O$ 作椭圆 $C$ 的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若直线 $O A, O B$ 的斜率存在，并记为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的取值范围.

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2、已知平面 $α$ 与平面 $β$ 是空间中距离为1的两平行平面， $A B \subset α$ ， $C D \subset β$ ，且 $A B = C D = 2$ ， $A B$ 和 $C D$ 的夹角为 $60 °$ .

(1)、证明：四面体 $A B C D$ 的体积为定值；

(2)、已知异于 $C$ 、 $D$ 两点的动点 $P \in β$ ，且 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 均在半径为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 的球面上.求点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = a x^{2} - ln x, a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $a > 0, g (x) = f (x) + b x$ ，且 $x = 1$ 是 $g (x)$ 的极值点，证明： $2 b +ln a \leq 1 - 2 \ln 2$ .

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4、如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知点C关于直线BD的对称点 $C'$ 在直线AD上， $∠ C B D = ∠ C D B = 30 °$ ， $∠ A C D = 75 °$ ．

(1)、求 $\frac{\sin ∠ B A C}{\sin ∠ A B C}$ 的值；

(2)、设AC=3，求 $A B^{2}$ ．

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5、成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于 $[15, 25]$ 之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若从高度在 $[15, 17)$ 和 $[17, 19)$ 中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在 $[17, 19)$ 内的概率.

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对于任意实数 $x, y$ 均满足 $f (\frac{x + 2 y}{3}) = \frac{f (x) + 2 f (y)}{3}$ ，若 $f (2) = 1$ ， $f (5) = 10$ ，则 $f (724) =$ .

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7、若复数 $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z} \cdot z^{2} =$ .

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8、若存在 $(x, y)$ 满足 $\{\begin{array}{l} 2 x - 3 y + 10 > 0 \\ x + 2 y - 9 > 0 \\ 3 x - y - 6 < 0 \end{array}$ ，且使得等式 $3 x + a (2 y - 4 e x) (\ln y - \ln x) = 0$ 成立，其中 $e$ 为自然对数的底数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup [\frac{3}{2 e}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2 e}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(0, \frac{3}{2 e}]$

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9、如图，射线 $l$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，当射线 $l$ 从 $l_{0}$ 开始在平面上按逆时针方向绕着原点 $O$ 匀速旋转（ $A$ 、 $B$ 分别为 $l_{0}$ 和 $l$ 上的点，转动角度 $α = ∠ A O B$ 不超过 $\frac{π}{4}$ ）时，它被圆 $C$ 截得的线段 $E F$ 长度为 $L (α)$ ，则函数 $L (α)$ 的解析式为（）

A、 $L (α) = \frac{2 cos 2 α}{\sqrt{sin 2 α}}$ B、 $L (α) = 2 \sqrt{cos 2 α}$ C、 $L (α) = 2 \sqrt{sin 2 α}$ D、 $L (α) = \frac{cos 2 α}{\sqrt{sin 2 α}}$

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0), B (2, 3)$ ，向量 $\vec{O C} = m \vec{O A} + n \vec{O B}$ ，且 $m - n - 4 = 0$ .若点 $C$ 的轨迹与双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线相交于两点 $P$ 和 $Q$ （点 $P$ 在 $x$ 轴上方），双曲线右焦点为 $F$ ，则 $\frac{S_{△ P O F}}{S_{△ Q O F}} =$ （）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{19 + 6 \sqrt{2}}{17}$ D、 $\frac{19 - 6 \sqrt{2}}{17}$

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11、甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{13}{16}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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12、佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的 $▱ A B C D$ 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）

A、平行 B、相交 C、异面且垂直 D、异面且不垂直

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 \ln x$ 的图象在 $A (x_{1}, f (x_{1})), B (x_{2}, f (x_{2}))$ 两个不同点处的切线相互平行，则 $x_{1} + x_{2}$ 的取值可以为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、1 C、2 D、 $\frac{10}{3}$

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14、物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为 $P_{b} (n) = \log_{b} \frac{n + 1}{n}$ .应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若 $\sum_{n = k}^{80} P_{10} (n) = \frac{\log_{4} 81}{1 + \log_{2} 5} (k \in N^{*})$ ，则k的值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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15、已知函数 $f (x) = |\sin x \cos x + \frac{1}{4}|$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、 $f (x)$ 的周期为 $π$ C、 $(π, \frac{1}{4})$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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16、如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（）

A、 $x = 9$ B、 $y = 6$ C、乙的成绩的中位数为 $28$ D、乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差

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17、在 $△ A B C$ 中，“ $∠ A C B$ 是钝角”是“ $|\vec{C A} + \vec{C B}| < |\vec{A B}|$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、某校高一、高二、高三的人数之比为 $9 : 7 : 4$ ，从中随机抽取400名学生组成志愿者，若学校中每人被抽中的概率都是 $\frac{1}{5}$ ，则该校高二年级的人数为（）

A、1000 B、900 C、800 D、700

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19、在一个 $n (n \geq 2, n \in N^{*})$ 阶方阵 $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}]$ 中，记第 $i$ 行元素构成的集合为 $R_{i}$ ，第 $i$ 列元素构成的集合为 $C_{i}$ ，集合 $P_{i} = R_{i} \cup C_{i}, i \in \{1, 2, \dots, n\}$ .如果一个 $n$ 阶方阵满足：①对任意 $i, j \in \{1, 2, \dots, n\}, a_{i j} \in \{1, 2, \dots, 2 n - 1\}$ ；②对任意 $i \in \{1, 2, \dots, n\}$ ，都有 $P_{i} = \{1, 2, \dots, 2 n - 1\}$ .则称这个方阵为 $n$ 阶 $S$ 阵.

(1)、已知 $A = [\begin{array}{l} 1 & 4 & 2 & 5 \\ 6 & 2 & 7 & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 4 \\ 7 & 3 & 6 & 2 \end{array}], B = [\begin{array}{l} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 1 & 8 & 3 & 4 \\ 7 & 5 & 1 & 9 & 2 \\ 8 & 9 & 6 & 1 & 3 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 1 \end{array}]$ ，判断 $A, B$ 是否为 $S$ 阵？

(2)、请你构造一个2阶 $S$ 阵 $M_{2}$ .若你构造的 $M_{2} = [\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}]$ ，在 $M_{2}$ 的基础上构造一个4阶 $S$ 阵 $M_{4} = [\begin{matrix} a & b & □ & □ \\ c & d & □ & □ \\ □ & □ & □ & □ \\ □ & □ & □ & □ \end{matrix}]$ 依据上依据上面的构造方法，在 $M_{4}$ 的基础上再构造一个8阶 $S$ 阵 $M_{8}$ ；

(3)、是否存在奇数阶 $S$ 阵？如果存在，写出阶数 $n$ 的最小值；如果不存在，说明理由.

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20、已知 $f (x) = 2 \sqrt{x} - a \ln x - a x - 1$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1, 2)$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 存在两个不同的极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，求证： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ ．

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