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相关试卷

1、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $l \subset$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，直线 $m \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，直线 $n \subset$ 平面 $A B C D$ ，则直线 $l, m, n$ 的位置关系可能是（）

A、 $l, m, n$ 两两垂直 B、 $l, m, n$ 两两平行 C、 $l, m, n$ 两两相交 D、 $l, m, n$ 两两异面

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2、已知 $cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}, sin (\frac{5 π}{4} + β) = - \frac{12}{13} ，$ 其中 $α \in (\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}), β \in (0, \frac{π}{4}) ，$ 则 $\frac{tan α}{tan β} =$ （）

A、 $- \frac{56}{63}$ B、 $\frac{56}{63}$ C、 $- 17$ D、 $17$

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3、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} x + 1, x \leq 0 \\ \sqrt{x} - 1, x > 0 \end{cases}$ ，则方程 $f (f (x)) = 0$ 的实根个数为（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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4、北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）.此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一.某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为 $3$ ， $4$ ，高为 $3$ ，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（）

A、 $21 π, 37 π$ B、 $21 π, 111 π$ C、 $7 \sqrt{10} π, 37 π$ D、 $7 \sqrt{10} π, 111 π$

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5、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且公差不为 $0$ ，若 $a_{4}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ 构成等比数列， $S_{11} = 66$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $8$

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, k), \vec{b} = (2, 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $- 2$

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7、已知复数z满足 $(1 - z) i = 2$ ，则复数z的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $2 i$ D、2

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8、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}, A = \{1, 2, 3\}, B = \{3, 4, 5\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $U$ B、 $\{1, 2, 4, 5\}$ C、 $\{3\}$ D、 $\emptyset$

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9、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{8} = 26, a_{10} = 21$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式和前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\{b_{n + 1} - b_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{1} = 3 b_{1}, a_{3} = b_{3}$ .
（i）若集合 $M = \{n \in N^{*} ∣ λ (b_{n} + 1) < S_{n}\}$ 中恰有2个元素，求实数 $λ$ 的取值范围；
（ii）若对 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $\frac{b_{1} + 1}{b_{1} b_{2}} + \frac{b_{2} + 1}{b_{2} b_{3}} + \dots + \frac{b_{n} + 1}{b_{n} b_{n + 1}} > λ \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{b_{n + 1}}$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，焦距为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程和离心率；

(2)、设 $A$ 为椭圆 $C$ 的右顶点.若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有唯一的公共点 $M$ （ $M$ 在第一象限），直线 $l$ 与 $y$ 轴的正半轴交于点 $N$ ，直线NA与直线OM交于点 $P (O$ 为原点），且 $S_{△ P O A} = \frac{3}{5} S_{△ N O A}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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11、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} D / /$ 平面 $B_{1} C E$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $B_{1} C E$ 的距离；

(3)、求平面 $C D D_{1} C_{1}$ 和平面 $B_{1} C E$ 夹角的余弦值.

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12、已知圆心为 $C (4, 2)$ ，且圆 $C$ 经过点 $A (2, 2)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $B (0, 4)$ 作圆 $C$ 的切线 $l$ ，求切线 $l$ 的方程.

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于点 $A$ ， $B$ .
（1）若 $α = \frac{π}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为；
（2）设弦 $A B$ 的中点为 $M$ ，且 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ .若过原点 $O$ 与点 $M$ 的直线的斜率不小于 $2 \sqrt{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为.

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14、“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世态丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是 $n$ 件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 $\frac{8}{9}$ .
（1）第 $n$ 层的货物的价格为万元：
（2）若这堆货物总价是 $81 - 153 {(\frac{8}{9})}^{n}$ 万元，则 $n$ 的值为.

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15、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点为 $M$ .

（1）设 $\vec{B A} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}, \vec{B B_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C M} =$ （用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示）；
（2）若 $B A = B C = B B_{1}$ ，且 $∠ A B C = ∠ A B B_{1} = ∠ B_{1} B C = 60^{°}$ ，则CM与BA所成角的余弦值为.

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16、已知直线 $l_{1} : x + 2 y + 1 = 0$ 与 $l_{2} : 2 x + m y - 3 = 0$ 互相平行.
（1）实数 $m =$ ；
（2）直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离是.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n} = \frac{2}{3} a_{n - 1} + 1 (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，则 $a_{4} =$ .

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18、椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 上一点 $P$ 到一个焦点的距离等于3，则点 $P$ 到另一个焦点的距离是.

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19、已知向量 $\vec{a} = (3, - 1, 1), \vec{b} = (2, m, - 4)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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20、若直线的倾斜角为 $60^{°}$ ，则该直线的斜率为.

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