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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，直线 $y = x - \sqrt{6}$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = \frac{3}{2} (a_{n} + 1)$ 交于 $P_{n}, Q_{n} (n \in N^{*})$ 两点，且 $S_{n} = \frac{1}{4} {|P_{n} Q_{n}|}^{2}$ ．若存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $λ a_{n} < 2 n - 7$ 有解，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{81})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{27})$ D、 $(- \infty, \frac{3}{32})$

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B C D = 90^{°}, P A = P B = A B = 2$ ， $D C = B C = 1$ ，在平面 $A B C D$ 内过点 $D$ 作 $D O / / B C$ ，交AB于 $O$ ，连PO.设点 $E$ 是平面 $P O D$ 上的动点，若直线 $A E$ 与平面 $P B C$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $O E$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3、青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图1，是一只内壁光滑的青花瓷大碗，碗口直径为20cm，碗深10cm．忽略瓷碗的厚度，瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线（如图2），则该拋物线的焦点到准线的距离为（）

A、 $\frac{5}{2} cm$ B、5cm C、10cm D、20cm

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = - 15, a_{4} = - 7$ ，则当 $S_{n}$ 取得最小值时， $n$ 的值为（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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5、若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $P$ 到其焦点的距离为5，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(2, \pm 2 \sqrt{2})$ B、 $(3, \pm 2 \sqrt{3})$ C、 $(4, \pm 4)$ D、 $(5, \pm 2 \sqrt{5})$

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6、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相交 C、内切 D、外切

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7、已知直线l的一个方向向量为 $\vec{m} = (- 1, 6, - 2)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (x, - 3, 1)$ ，若直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、20 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 20$

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8、已知点 $A (3, 0)$ ，直线 $l : 3 x - 4 y + 1 = 0$ ，则点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为（）

A、3 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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9、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则 $m =$ （）

A、8 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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10、已知直线l的方程为 $x + 2 y - 1 = 0$ ，则过点 $A (2, 3)$ 且与l垂直的直线方程为（）

A、 $x + 2 y - 8 = 0$ B、 $x + 2 y - 7 = 0$ C、 $2 x - y - 1 = 0$ D、 $2 x - y - 4 = 0$

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11、在空间直角坐标系Oxyz中，点 $P (2, 1, 3)$ 关于原点成中心对称的点的坐标为（）

A、 $(- 2, - 1, - 3)$ B、 $(- 2, 1, - 3)$ C、 $(- 2, - 1, 3)$ D、 $(2, - 1, - 3)$

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12、已知 $2$ 、 $x$ 、 $8$ 成等比数列，则 $x$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $- 4$ C、 $\pm 4$ D、 $5$

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13、已知函数 $f (x) = x \ln x - a x + a$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若对任意 $x > 0$ ，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求a的值；

(3)、若实数m，n满足 $m > n > 0$ ，证明： $\ln n + 1 < \frac{m \ln m - n \ln n}{m - n} < \ln m + 1$ .

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14、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点与 $F_{2}$ 重合，点G是C与E在第一象限的交点，且 $| G F_{2} | = \frac{5}{3}$ .

(1)、求E的方程.

(2)、设过点 $F_{2}$ 的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合.
（ⅰ）若l的倾斜角为45°，求 $\frac{| M N |}{| A B |}$ 的值；
（ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF₂的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，证明： $k_{3}$ 为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 的等差中项.

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为2的等边三角形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ P B$ ， $A B = 4$ .

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $B D ⊥ P C$ ，且 $P C = 2 \sqrt{3}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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16、记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = n a_{n} - \frac{n (n - 1)}{2}$ .

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{1} = 2$ ，证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < \frac{11}{9}$ .

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17、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $f (\frac{2}{3} α + \frac{π}{12}) = \frac{6}{5}$ ，求 $\cos (α - \frac{π}{4})$ 的值.

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18、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，O为坐标原点，以点 $F_{2}$ 为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A，B为 $A F_{1}$ 的中点，若 $\vec{O B} \cdot \vec{B F_{2}} = 0$ ，则C的渐近线的斜率为.

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19、记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} + a_{n} = 4$ ，则 $S_{6} =$ .

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20、若 $9^{a} = 4^{b} = 6$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ .

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