小学数学人教版（2024）-试题列表-第700页

1、有甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的

\frac{1}{2}

，乙的棱长是丙的棱长的

\frac{2}{3}

。如果用甲、乙、丙三种木块拼成一个体积尽可能小的大正方体(每种至少用一块)，那么最少需要这三种木块一共块。

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2、在矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=6，将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是。

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3、一个圆形的草地中央有一个与之同心的圆形花坛，在花坛圆周和视频讲解草地圆周上各有3个不同的点，安放了洒水的喷头，现用直管将这些喷头连上，要求任意两个喷头都能被一根直管连通，至少需要（）根直管。(一根直管上可以连接多个喷头)

A、3 B、4 C、5 D、6 E、7 F、8 G、20 H、30

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4、平面内有五条直线两两相交，最多有x个交点，最少有y个交点，则x+y=。

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5、阅读下列材料，并解决后面的问题。

【阅读材料】我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名。

勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 $a^{2} + b^{2} = c^{2},$ 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。请运用“勾股定理”解决以下问题：

(1)、如图①，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中

S_{1} = 144, S_{2} = 25,

则

S_{3} =

。

(2)、如图②，△ABC是直角三角形，

∠ A B C

为直角，以三角形的三条边为直径分别画甲、乙、丙三个半圆，求甲、乙、丙三个半圆之间的面积关系。

(3)、如图③，直角三角形ABC 的两条直角边，AC=4cm，BC=3cm，以AC、BC为边作两个正方形AC-DE和BCFG，再以AB为边作正方形ABMN。若N点刚好落在DE上，BD交MN于P，AF交BM于T，则图中阴影部分的总面积为多少?

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6、勾股定理是一个有关直角三角形三边关系的结论：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。”如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么

a^{2} + b^{2} = c^{2} 。

例如：如图①，在直角 $△ A B C$ 中，两直角边AC和BC的长分别为3和4，则斜边 $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25,$ 所以AB=5；

反过来，“如果一个三角形三条边满足其中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。”

例如：在 $△ A B C$ 中，若.AB=5，AC=3，BC=4，因为 $A C^{2} + B C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25, A B^{2} = 5^{2} = 25,$ 所以. $A C^{2} +$ $B C^{2} = A B^{2},$ 那么 $△ A B C$ 就是直角三角形。

阅读以上材料，解答下面的问题：

(1)、如图②，在正方形ABCD中，AB=4，DE=2，CF=3，求

B E^{2} 、 E F^{2} 、 B F^{2}

的值，并判断三角形BEF 是不是直角三角形；

(2)、如图③，在四边形ABCD中，

∠ B = 9 0^{\circ}, A B = 3, B C = 4, C D = 12, A D = 13

，求四边形ABCD 的面积。

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7、在数学尤其是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究它的小数部分，因而引入高斯记号。用[x]表示不超过x的最大整数，用{x}表示x的非负纯小数，即

\{x\} = x - [x] 。

例如：| $[3.14] = 3, \{3.14\} = 3.14 - 3 = 0.14 。$

(1)、解方程：5x+2[x]=31；

(2)、满足

7 \{x\} + [x] = 20

的所有x的和是多少?

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8、数学期望是描述概率事件的一种重要工具，比如一个标准的骰子六个面，每个面写1到6这六个数之一，扔一次骰子每个面出现的概率都是

\frac{1}{6},

它的数学期望为

E = \frac{1}{6} \times 1 + \frac{1}{6} \times 2 + \frac{1}{6} \times 3 + \frac{1}{6} \times 4 + \frac{1}{6} \times 5 + \frac{1}{6} \times 6 = \frac{7}{2} 。

(1)、一个运动员打靶，他命中10环的概率为0.1，9环的概率为0.2，8环的概率为0.4，7环的概率为0.3，问他打靶的期望为多少?

(2)、在A 中学和B中学两所中学中选取一名男生和一名女生参加比赛，A中学候选人为3男2女，B中学候选人为2男4女，问：A中学入选人数的期望是多少?

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9、邻边互不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……；依此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原长方形为n阶准正方形。(例如，若第3次操作后余下的四边形是正方形，则称原长方形为3阶准正方形)如图①，长方形ABCD中，若AB=1，BC=2，则长方形ABCD为1阶准正方形。

(1)、判断与推理：①小明为了剪去一个正方形，进行如下操作：如图②，把长方形ABCD 沿BE 折叠，使点A 与点 F 重合，则四边形ABFE一定是形；

②如图③，邻边长分别为2和3的长方形是阶准正方形。

(2)、操作、探究与计算：若长方形ABCD的邻边长分别为2，(a(a>2)，且是3阶准正方形，请画出长方形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值。(画出一种即可)

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10、

【阅读理解】如图①， $△ A B C$ 中，沿 $∠ B A C$ 的平分线 $A B_{1}$ 折叠，剪掉重叠部分，将余下部分沿 $∠ B_{1} A_{1} C$ 的平分线 $A_{1} B_{2}$ 折叠，剪掉重叠部分；……；将余下部分沿 $∠ B_{n} A_{n} C$ 的平分线 $A_{n} B_{n + 1}$ 折叠，点Bn与点C 重合。无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称 $∠ B A C$ 是 $△ A B C$ 的“好角”。

小明展示了确定 $∠ B A C$ 是 $△ A B C$ 的好角的两种情形，

情形一：如图②，沿等腰 $△ A B C$ 顶角 $∠ B A C$ 的平分线 $A B_{1}$ 折叠，点B 与点 C 重合；

情形二：如图③，沿 $△ A B C$ 顶角 $∠ B A C$ 的平分线 $A B_{1}$ 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿 $∠ B_{1} A_{1} C$ 的平分线 $A_{1} B_{2}$ 折叠，此时点 $B_{1}$ 与点C重合。

(1)、△ABC中，

∠ B = 2 ∠ C,

，经过两次折叠，问.

∠ B A C

△ABC的好角；(填写“是’或“不是”)

(2)、①小明经过三次折叠发现了.

∠ B A C

是

△ A B C

的好角，请探究

∠ B

与

∠ C

(假设

∠ B > ∠ C)

之间的等量关系为；

②根据以上内容猜想：若经过n次折叠 $∠ B A C$ 是 $△ A B C$ 的好角，则. $∠ B$ 与 $∠ C$ (假设 $∠ B > ∠ C)$ 之间的等量关系为。

(3)、如果一个三角形的最小角是

1 0^{\circ}

，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，求此三角形另外两个角的度数。

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11、如图①，射线 OC 是

∠ A O B

内部的一条射线，若

∠ C O A = \frac{1}{2} ∠ B O C,

则我们称射线 OC 是射线 OA 的伴随线。例如，如图②，

∠ A O B = 6 0^{\circ}, ∠ A O C = ∠ C O D = ∠ B O D = 2 0^{\circ},

，则

∠ A O C = \frac{1}{2} ∠ B O C,

称射线 OC 是射线 OA 的伴随线，同时，由于

∠ B O D = \frac{1}{2} ∠ A O D,

则称射线 OD 是射线OB 的伴随线。

(1)、如图③，若

∠ A O B = 12 0^{\circ},

，射线 OM 是射线 OA 的伴随线，则

∠ A O M =

。

(2)、如图④，

∠ A O B = 18 0^{\circ},

，射线OC与射线OA 重合，并绕点O 以每秒：

3^{\circ}

的速度逆时针旋转，射线OD 与射线OB重合，并绕点O以每秒；

5^{\circ}

的速度顺时针旋转，当射线OD 与射线OA 重合时，运动停止。

①是否存在某个时刻t(秒)，使得 $∠ C O D$ 的度数是 $2 0^{\circ},$ 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

②若射线OD在 $∠ A O B$ 内部，当 $t =$ ▲ 秒时，射线OC、OD、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线。(请直接写出答案)

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12、已知点 M 是锐角三角形内部的一个点，如果以M 点为端点，可以画15 条射线，恰好把△ABC 分割为15个面积相等的小三角形，则称点M是“好点”。

(1)、如图，若点O 是△ABC的一个“好点”，在经过△ABC三个顶点的射线OA、OB、OC 将三角形分成的△OAB、△OBC、△OAC中，若△OAB和△OBC的面积相等，且△ABC的面积为1，则

△ O A C

的面积可能是多少?

(2)、请探索△ABC 内部共有多少个“好点”?

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13、如图①，点Z将线段AB分成AZ和BZ两部分。若AZ=πBZ或BZ=πAZ，则称点Z 是线段AB 的祖冲之点。

(1)、若线段AB=4，Z是线段AB 的祖冲之点，且AZ>BZ，则AZ=；

(2)、若点 M、N均为线段OD 的祖冲之点，求线段MN的长度；

(3)、在图②中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D 出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒。在点P、D、Q三个点中，当点D和P 分别为其余两点所构成线段的祖冲之点时，直接写出t的值。

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14、数学中，由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：

$[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}]$
其中，这m×n个数称为矩阵A的m×n个元素，数 aij位于矩阵A的第i行第j $a_{i j}$ 列，m×n的矩阵A 也记作. $A_{m n} 。$

例如：2×2的矩阵 $A = [\begin{array}{rr} 1 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$ 其中 $a_{11} = 1, a_{12} = - 2, a_{21} = 3, a_{22} = 1 。$

矩阵运算在科学计算中非常重要，矩阵的基本运算包括矩阵的加法，乘法，转置等。

加法：行数和列数分别相等的两个矩阵可以进行加法运算，将两个矩阵各个位置对应元素之和作为和矩阵的元素。如： $[\begin{array}{lll} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{lll} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 1 + 0 & 4 + 0 & 2 + 5 \\ 2 + 7 & 0 + 5 & 1 + 0 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 7 \\ 9 & 5 & 1 \end{array}] 。$

乘法：当第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，两个矩阵可以进行乘法运算，将第一个矩阵的第i行的各个元素与第二个矩阵的第j列的对应元素的乘积之和作为乘积矩阵的第i行第j列的元素。

如： $[\begin{array}{ll} 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}] = [3 \times 2 + 1 \times 4] = [10]$

$[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ - 1 & 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$ = $[\begin{array}{rr} 1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0 \\ - 1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1 & - 1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0 \end{array}]$ = $[\begin{array}{ll} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}]$ 。

转置：把矩阵A的行和列互相交换位置所产生的矩阵称为A 的转置矩阵 $A^{T},$ 如：

${[\begin{matrix} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix}]}^{T} = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}] 。$

请根据以上材料回答下列问题：

(1)、已知矩阵

M = [\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 1 \end{array}]

求

M^{T};

(2)、已知矩阵

A = [\begin{array}{rr} 2 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}], B = [\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array}]

分别求A+B，AB；

(3)、若实数x，y满足：

{[\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]}^{T} [\begin{matrix} x & 2 \\ y & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 2 \end{matrix}],

求x，y的值。

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15、若数p，q满足p+q= pq，则称“p，q”为“等效数对”，如：“2，2”，因为2+2=2×2，所以“2，2”是“等效数对”。

(1)、通过计算判断“3，

\frac{3}{2} ”

是不是“等效数对”；

(2)、若“x+1，4”是“等效数对”，求x的值；

(3)、已知“p，q”是“等效数对”，求代数式2023-2022pq+2022p+2022q的值。

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16、已知：如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=log_aN。其中，a 叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。例如：2

2^{3} = 8,

那么

3 = {l o g}_{2} 8; 5^{4} = 625,

那么

4 = {l o g}_{5} 625 。

对数的性质： ${l o g}_{a} M N = {l o g}_{a} M + {l o g}_{a} N; {l o g}_{a} \frac{M}{N} = {l o g}_{a} M - {l o g}_{a} N; {l o g}_{a} M^{n} = n {l o g}_{a} M; {l o g}_{a} b = \frac{{l o g}_{c} b}{{l o g}_{c} a}$

根据以上材料回答下列问题：

(1)、请计算：

${l o g}_{4} 64 =$ ； ${l o g}_{2014} 2014 =$ 。

(2)、如果

{l o g}_{3} M = 4,

那么M=。

(3)、计算：

\frac{{l o g}_{2} 36}{{l o g}_{2} 6} =

。

(4)、已知a=log₃2，那么

{l o g}_{3} 8 - 2 {l o g}_{3} 6

的结果用a 表示为（）。

A、a-2 B、5a-2 C、

3 a - {(1 + a)}^{2}

D、

3 a - a^{2} - 1

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17、【阅读】数学中，常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想。

(1)、如图①，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形，用两种不同的方法计算梯形的面积，写出你发现的结论：。

(2)、如图②，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n²=。

(3)、n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(m+n)个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形。当n=3，m=3时，如图③，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7。

①当n=4，m=2时，y=；当n=5，m=时，y=9。

②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得 y=(用含m、n的代数式表示)。

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18、在三角形ABC中，三边存在一定的不等关系，具体表示为“三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。如图①所示，有AC-AB<BC<AC+AB。

(1)、村庄B和村庄C之间有一座水库，为了测得水库的宽度，小强想了一个办法：他先另找一个点A，测得B到A的距离为3千米，测得C到A的距离为2千米，如图②所示，则水库的宽度可能的取值为（）。

A、5千米 B、4千米 C、6千米 D、以上都不可能

(2)、如图③，点D 为三角形ABC 内部一点，试用三角形三边关系证明：

D A + D B + D C > \frac{1}{2} (A B + B C + A C) 。

(3)、令三角形三边长分别为a，b，c，其中c最大，由三角形三边关系可以得到

\frac{L}{3} < c < \frac{L}{2}

(L为三角形周长)。请用这个结论解决下列问题：

现有一根铁丝，总长度为20厘米，小张将铁丝剪成三段，且三段长度均为整数厘米，如果这三段恰好能围成一个三角形，那么一共有多少种不同的剪法?(数字之间调换顺序算同一种剪法)

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19、在图①到图④中，已知△ABC的面积为m。

(1)、如图①，延长

△ A B C

的边BC到点 D，使CD=BC，连接DA，若△ACD的面积为S₁ ，则

S_{1} =

。(用含m的式子表示)

(2)、如图②，延长△ABC 的边BC到点D，延长边CA到点E，使(CD=BC，AE=CA，连接DE，若△DEC的面积为S₂ ，则

S_{2} =

。(用含m的式子表示)

(3)、如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S₃ ，则

S_{3} =

▲ (用含m的式子表示)并运用上述⑵的结论写出理由。

(4)、可以发现将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF，如图③，此时我们称

△ A B C

向外扩展了一次，可以发现扩展一次后得到△DEF 的面积是原来△ABC 面积的（）倍。

应用上面的结论解答下面问题：

①如图④，去年在面积为15平方米的△ABC空地上栽种了各种花卉，今年准备扩大种植面积，把 $△ A B C$ 向外进行两次扩展，第一次△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH，求两次扩展的区域(即阴影部分)的面积为多少平方米?

②如图⑤，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，那么图中阴影部分的面积是多少?

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20、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行。受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研究了三种加工方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多地进行精加工，来不及加工的蔬菜在市场上全部销售完；

方案三：将部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好在15天完成。

你认为哪种方案获利最多?为什么?

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