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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = |sin ω x| + ω cos 2 ω x$ ，则（）

A、对于任意的 $ω, f (x)$ 均为偶函数 B、当 $ω = 1$ 时， $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、当 $ω ⩽ 1$ 时， $f (x) ⩾ 0$ D、当 $ω > 1$ 时， $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{ω}, \frac{8 π}{ω})$ 上有12个零点

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2、设 $a + b = 1$ ，则函数 $f (x) = {(x + sin a)}^{2} + {(x + sin b)}^{2}$ 的极小值点可能是（）

A、0 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3、掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（）

A、平均数为4，中位数为5 B、平均数为4，众数为3 C、平均数为4，方差为1.6 D、平均数为5，标准差为2

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4、如图，一个体积为1的四面体 $A B C D$ 靠在一个足够大的正方体容器中（厚度不计），点 $A$ 在底面上，现向该正方体缓慢注水，已知液面经过 $B, C, D$ 时的高度分别为 $h, 2 h, 3 h$ ，每次经过四面体顶点时的液面将该四面体分割成的三部分几何体中，表面积最大的体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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5、记抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ 的准线为 $l$ ，焦点为 $F, A, B$ 为 $E$ 上两点，直线 $A B$ 过 $F$ ，点 $C$ 在 $l$ 上，若 $\vec{A F} = \frac{12}{5} \vec{B C}$ ，设 $O$ 为坐标原点，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、 $\frac{9}{2}$

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6、在 $△ A B C$ 中， $cos A = \frac{1}{3}$ ，记 $A D$ 为 $B C$ 边上的高，若 $A D = \frac{\sqrt{2}}{4} B C$ ，则 $cos (B - C) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7、已知 $P$ 是曲线 $y = x^{3}$ 上一点， $Q (4, 0)$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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8、二项式 ${(x - 2)}^{7}$ 展开式中，系数最大值为（）

A、280 B、448 C、560 D、672

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9、在正六边形 $A B C D E F$ 中，若 $\vec{A E} = λ \vec{A C} + μ \vec{A F}$ ，则 $λ - μ =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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10、若 $\frac{z}{z + i} = 1 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11、记集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{4, 5, 6\}$ D、 $\{- 1, 0, 4, 5, 6\}$

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12、如图，从正六边形 $A B C D E F$ 的顶点和该正六边形的中心 $O$ 这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是（）

A、 $\frac{13}{16}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{24}{35}$ D、 $\frac{26}{35}$

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13、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列命题中正确的是（）

A、 $- 1$ 是 $f (x)$ 的极值点 B、 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, - 3)$ 上单调递增 C、 $- 3$ 是 $f (x)$ 在区间 $[- 4, 1]$ 上的最小值点 D、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线斜率小于零

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14、已知 $2^{{log}_{2} a} = 3$ ， ${log}_{5} 5^{b} = 2$ ，则 $a - b =$ （）

A、3 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 3$

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15、已知曲线 $C : |y| = \sqrt{x}$ ，点 $F_{0} (\frac{1}{4}, 0)$ ，曲线 $C$ 上一点 $P_{1} (x_{1}, y_{1}) (x_{1} > \frac{1}{4}, y_{1} > 0)$ ，直线 $F_{0} P_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $P_{0}$ .按照如下方式依次构造点 $P_{2 k - 1}, P_{2 k}, P_{2 k + 1}, F_{2 k} (k = 1, 2, 3, \dots)$ ，过 $P_{2 k - 1}$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $F_{2 k - 1}$ ，垂线与 $C$ 的另一个交点为 $P_{2 k}$ .作直线 $P_{2 k - 2} F_{2 k - 1}$ ，与 $C$ 的另一个交点为 $P_{2 k + 1}$ ，直线 $P_{2 k} P_{2 k + 1}$ 与 $x$ 轴的交点为 $F_{2 k}$ .记 $P_{n} (x_{n}, y_{n}), F_{n} (m_{n}, 0), m_{1} = m, (n = 0, 1, 2, 3, \dots)$ .

(1)、若 $P_{1} (1, 1)$ ，求 $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ ；

(2)、求证：数列 $\{m_{n}\}$ 是等比数列，并用 $m$ 表示 $\{m_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、对任意的正整数 $k, △ P_{2 k - 2} P_{2 k - 1} F_{2 k - 1}$ 与 $△ F_{2 k - 1} P_{2 k} P_{2 k + 1}$ 的面积之比是否为定值？若是，请用 $m$ 表示该定值；若不是，请说明理由.

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16、已知函数 $f (x) = ln \frac{x + 1}{1 - x} + a x^{3} - 2 x$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、对于点 $P (x_{0}, f (x_{0})), f (x)$ 在 $P$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，若对任意 $x \in (- 1, 1)$ ，都有 $(x - x_{0}) [f (x) - g (x)] \geq 0$ ，则称 $P$ 为“好”点.当 $a = - \frac{2}{3}$ 时，求 $f (x)$ 的“好”点 $P$ .（只要求写出结果，不需说明理由）

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17、如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C_{1}, A B = B C = 2, B_{1} C_{1} = 1, D$ ， $E$ 分别是棱 $A C, B C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积大于2，且直线 $B C_{1}$ 与平面 $D E C_{1}$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求平面 $D E C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} E$ 所成角的余弦值.

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18、为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占 $\frac{5}{6}$ ；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占 $\frac{3}{5}$ .假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的.

(1)、填写如下 $2 \times 2$ 列联表，并根据列联表及 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计

(2)、用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为 $X$ ，当 $P (X = k) (0 \leq k \leq 100, k \in N)$ 取最大值时，求 $k$ .
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量）
参考数据：
$α$
0.1
0.05
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
7.879
10.828

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 1, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a$ .

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20、从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 中任取4个不同的数，组成无重复数字的四位数.若该四位数能被3整除的概率为 $p$ ；若取出的4个数按从小到大排列，中间两个数的和为7的概率为 $q$ ，则 $p + q =$ .

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抗体	指标值		合计
抗体	小于60	不小于60	合计
有抗体
没有抗体
合计

$α$	0.1	0.05	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	7.879	10.828