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相关试卷

1、如图1，五边形 $A B C E F$ 中， $A C$ $/ /$ $E F, A C ⊥ C E, A B ⊥ B C, A C = 2 B C = 2 C E = 4$ ．将三角形 $A B C$ 沿 $A C$ 翻折，使得平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C E F$ ，如图2．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、记直线 $A F$ 与平面 $B E F$ 所成角为 $θ$ ．若 $sin θ = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求 $E F$ 的长．

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2、已知函数 $f (x) = cos (\frac{π}{3} - 2 ω x) + 2 {sin}^{2} ω x - 1 (ω > 0)$ ．

(1)、若 $ω = \frac{1}{2}$ ，求 $f (0)$ 及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、已知 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在且唯一确定，求 $f (x)$ 的最小正周期．
条件①： $f (0) + f (\frac{π}{6}) = 0$ ；
条件②： $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 的一个极值点；
条件③： $x = \frac{7 π}{12}$ 是 $f (x)$ 的一个零点．

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3、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $P$ 、 $Q$ 为上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ （包含边界）内的两个动点，且满足 $P Q = 1$ ， $P Q // A B$ ．给出下面四个结论：
①当 $P$ 与 $D_{1}$ 重合时，五面体 $P Q A B C D$ 的体积为 $\frac{10}{3}$ ；
②记直线 $A A_{1}$ 分别与平面 $P A D$ 和平面 $Q B C$ 所成角为 $α$ 、 $β$ ，则 $tan α + tan β$ 的值不变；
③存在 $P$ 、 $Q$ ，使得 $D P ⊥ B Q$ ；
④存在 $P$ 、 $Q$ ，使得五面体 $P Q A B C D$ 中， $A B C D$ 所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等．
其中，所有正确结论的序号为．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + 4}$ ，则 $f (x)$ 的值域为，曲线 $y = f (x)$ 的对称中心为．

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点 $A (2 cos θ, 2 sin θ)$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 可得到点 $B$ ，则 $|A B| =$ ，点 $A, B$ 到直线 $l : x = 2$ 的距离之和的最大值为．

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6、若 $(x + 2 i) i = y - i$ （ $x, y \in R, i$ 为虚数单位），则 $x + y =$ ．

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7、中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）： $L = 5 - 1 g \frac{k d}{D}$ ，其中， $L$ 为被测试眼睛的视力值， $d$ 为该眼睛能分辨清楚的最低一行“ $E$ ”形视标的笔划宽度（单位：毫米）， $D$ 为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示， $k$ 是与 $d, D$ 无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（）（参考数据： $1 g 2 \approx 0.30, 1 g 3 \approx 0.48$ ）

A、4.5 B、4.6 C、4.8 D、5.0

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8、在锐角 $△ A B C$ 中， $cos A = cos 2 B$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的一个可能的取值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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9、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零平面向量，则“ $\vec{a} \cdot \vec{b} < {\vec{a}}^{2}$ ”是“ $|\vec{b}| < |\vec{a}|$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列，其中 $a_{1} = b_{1} = 1, a_{3} = b_{3} = 3$ ，则（）

A、 $a_{4} < b_{4}$ B、 $a_{4} > b_{4}$ C、 $a_{5} < b_{5}$ D、 $a_{5} > b_{5}$

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11、设 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R$ ， $a b c \neq 0$ ，且 $a > b > c$ ，则（）

A、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} > 2$ B、 $\frac{b}{a} + \frac{c}{b} < 2$ C、 $2 a > b + c$ D、 $a + b > c$

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12、圆心为 $(- 1, 2)$ 且与 $x$ 轴相切的圆的方程是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 2$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$

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13、在 ${(x + \frac{a}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为 $- 10$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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14、已知 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ．若动点 $P$ 满足 $|P A| - |P B| = 2$ ，则 $P$ 的轨迹的方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \leq - 1)$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \geq 1)$

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15、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}, B = {x ∣ a < x < 2}$ ．若 $a \in Z$ ，且 $A \cap B = \{1\}$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (x, - 1)$ ．若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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17、函数 $y = f (x)$ 是定义在区间 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $y = 2 x - x^{2}$ .

(1)、求当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的解析式；

(2)、令函数 $g (x) = \frac{f (x) - 1}{x}$ ，求 $g (x)$ 的值域.

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18、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D, A B = 2 C D$ ， $E, F$ 分别为 $A B, C E$ 的中点， $G$ 是线段 $B C$ 上的动点．

(1)、若 $\vec{C G} = \frac{1}{3} \vec{C B}$ ，求证： $A, F, G$ 三点共线；

(2)、若 $A D = C D = 1, ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{A G} \cdot \vec{E G}$ 的最小值．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D = 1, B C = 3, C D = 2, A C = \sqrt{5}, B C ⊥ P C,$ $P C = P D$ ，侧面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、证明： $B C / /$ 平面 $P A D$ ；

(3)、若直线 $B P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积．

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20、已知 $α$ 是第四象限角，且 $\tan α = - 2$ ，计算：
（1） $\frac{3 \sin (\frac{π}{2} - α)}{5 \sin (\frac{π}{2} + α) - \cos (\frac{π}{2} + α)}$ ；
（2） $\sin (π - α) \cdot \cos (π + α) + 3 \cos^{2} α$ .

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