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相关试卷

1、平面向量 $\vec{a} = (0, 2)$ ， $\vec{b} = (4, 2)$ ， $\vec{c} = m \vec{a} + \vec{b} (m \in R)$ ，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $m =$ ．

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2、若一个球的体积为 $4 \sqrt{3} π$ ，则它的表面积为．

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3、在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫 $T r u l l i$ ，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个 $T r u l l i$ 的屋顶，得到圆锥 $S O$ （其中 $S$ 为顶点， $O$ 为底面圆心），母线 $S A$ 的长为 $6 m$ ， $C$ 是母线 $S A$ 的靠近点 $S$ 的三等分点．从点 $A$ 到点 $C$ 绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为 $2 \sqrt{13} m$ ．下面说法正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $12 π m^{2}$ B、过点 $S$ 的平面截此圆锥所得截面面积最大值为 $8 \sqrt{2} m^{2}$ C、圆锥 $S O$ 的外接球的表面积为 $72 π m^{2}$ D、棱长为 $\sqrt{3} m$ 的正四面体在圆锥 $S O$ 内可以任意转动

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4、已知复数 $z = \frac{2}{1 + \sqrt{3} i}$ ，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（）

A、复数z的共轭复数的模为1 B、复数z在复平面内对应的点在第四象限 C、复数z是方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 的解 D、复数 $ω$ 满足 $| ω - z | = 1$ ，则 $| ω |$ 的最大值为2

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5、下列命题中的真命题是（）

A、若直线 $a$ 不在平面 $α$ 内，则 $a / / α$ B、若直线 $l$ 上有无数个点不在平面 $α$ 内，则 $l / / α$ C、若 $l / / α$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 内任何一条直线都没有公共点 D、平行于同一平面的两直线可以相交

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6、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，动点 $E$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上， $F$ ， $M$ 分别是 $A D$ ， $C D$ 的中点，则下列结论中错误的是 $($ $)$

A、 $F M / / A_{1} C_{1}$ B、当E为 $A_{1} C_{1}$ 中点时，BE⊥FM C、三棱锥 $B - C E F$ 的体积为定值 D、存在点 $E$ ，使得平面 $B E F / /$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$

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7、如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8、在正四面体 $P - A B C$ 中，棱长为2，且 $E$ 是棱 $A B$ 中点，则异面直线 $P E$ 与 $B C$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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9、在 $△ A B C$ 中，若 $\frac{c o s A}{c o s B} = \frac{b}{a}$ ，则该三角形的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、等腰直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等边三角形

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10、已知 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11、 $△ A B C$ 按斜二测画法得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，如图所示，其中 $B^{^{'}} O^{^{'}} = C^{^{'}} O^{^{'}} = 1$ ， $A^{'} O^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，那么 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、腰和底边不相等的等腰三角形 D、三边互不相等的三角形

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12、某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 $A B C D$ 内举行机器人拦截挑战赛，在 $E$ 处按 $\vec{E P}$ 方向释放机器人甲，同时在 $A$ 处按 $\vec{A Q}$ 方向释放机器人乙，设机器人乙在 $M$ 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M在矩形区域 $A B C D$ 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知 $A B = 6$ 米， $E$ 为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 $\vec{E P}$ 与 $\vec{E B}$ 的夹角为 $θ (0 < θ < π)$ ， $\vec{A Q}$ 与 $\vec{A B}$ 的夹角为 $α (0 < α < \frac{π}{2})$ .

(1)、若两机器人运动方向的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $A D$ 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；

(2)、已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.
①若 $α = θ = \frac{π}{3}$ ， $A D$ 足够长，求机器人乙能否挑战成功.
②如何设计矩形区域 $A B C D$ 的宽 $A D$ 的长度，才能确保无论 $θ$ 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度 $α$ 使机器人乙挑战成功？

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13、在平面直角坐标系中，设向量 $\vec{p} = (c o s A, s i n A)$ ， $\vec{q} = (s i n B, c o s B)$ ，其中A，B分别是 $△ A B C$ 的两个内角.

(1)、若 $\vec{p} / / \vec{q}$ ，求 $C$ 的值：

(2)、若 $\vec{p} \cdot \vec{q} = s i n 2 C$ ， $A B = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值.

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14、如图，斜坐标系 $x O y$ 中， ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量，且 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $60 °$ ，定义向量 $\vec{O P} = x {\vec{e}}_{1} + y {\vec{e}}_{2}$ 在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标为有序数对 $(x, y)$ .记为 $\vec{O P} = x {\vec{e}}_{1} + y {\vec{e}}_{2} = (x, y)$ .在斜坐标系 $x O y$ 中完成下列问题：

(1)、若 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{c} = (x_{0}, y_{0})$ ，求 $| \vec{c} |$ .

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15、如图，已知 $A (- 2, 1)$ ， $B (1, 3)$ .

(1)、求线段AB的中点M的坐标；

(2)、若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标.

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16、已知复数 $z_{1} = 1 + a i$ （其中 $a \in R$ 且 $a < 0$ ， i为虚数单位），且 $z_{1}^{2}$ 为纯虚数.

(1)、求实数a的值：

(2)、若 $z_{2} = \frac{z_{1}}{1 + i} + 2$ ，求复数 $z_{2}$ 的共轭复数.

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17、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $∠ C = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最大值为.

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18、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为.

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19、已知平面向量 $\vec{a} = (2 m - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 3 m - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| 2 \vec{a} - 3 \vec{b} | =$ .

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20、复数 $z$ 满足 $z = \frac{3 + 4 i}{i}$ ，则 $z$ 的虚部为， $| z | =$ .

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