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相关试卷

1、已知函数 $y = f (x)$ 满足： $f (\sqrt{x - 1}) = x^{2} + 1$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $x^{4} + 2 x^{2} + 2, (x \geq 0)$ B、 $x, (x \geq 0)$ C、 $x^{4} + 2 x^{2} + 2, (x \geq 1)$ D、 $x, (x \geq 1)$

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2、若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为实数，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b <0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若a＜b＜0，则 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$

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3、设集合 $M = {x | - 1 \leq x \leq 2$ 且 $x \in Z}$ ， $N = {x | y = \lg (x + 1)},$ 则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${1, 2}$

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4、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l : x = 2 \sqrt{3}$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $G$ 的方程；

(2)、已知直线 $x = m y + 3$ 与轨迹 $G$ 交于 $P, Q$ 两点．
①求 $m$ 的取值范围；
②已知点 $D (2, 1)$ ，直线 $D P, D Q$ 与直线 $x = 3$ 分别交于点 $M, N$ ，平面内是否存在一定点 $H$ ，使得四边形 $D M H N$ 为平行四边形？若存在，求出点 $H$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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5、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $D B = D C = B C = 2$ ， $A D = \sqrt{7}$ ， $A B = \sqrt{5},$ 平面 $A C B ⊥$ 平面 $D C B, E$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A E ⊥ B C$ .

(2)、点 $F$ 满足 $\vec{E F} = λ \vec{D A} (0 < λ < 1)$ ，且 $C D //$ 平面 $F A B$ .
（i）求 $λ$ 的值；
（ii）求平面 $D A B$ 与平面 $F A B$ 的夹角的余弦值.

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6、已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，左焦点为 $F (- 2 ， 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、经过椭圆 $C$ 的右焦点且斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，求 $M N$ 的长．

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7、点 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ 上任意一点， $E F$ 为圆 $N : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的任意一条直径，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的取值范围是

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8、已知直线 $l : (1 + 2 m) x + (m - 2) y + 6 - 3 m = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则下列说法正确的有（）

A、当 $|A B|$ 最大时， $m = - 8$ B、当 $△ A B C$ 面积最大时， $|A B| = 2 \sqrt{2}$ C、直线 $l$ 过定点 $P$ ，且 $|P A| \cdot |P B| = 3$ D、若直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} + k_{2} = \frac{4}{3}$

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为8 B、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、椭圆 $C$ 上存在两个点，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ D、 $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{1}{|P F_{2}|}$ 的最小值为1

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10、某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了50名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（）

A、频率分布直方图中 $a$ 的值为0.005 B、估计这50名学生的竞赛成绩的上四分位数为85 C、估计这50名学生的竞赛成绩的众数为80 D、估计总体中成绩落在 $[60, 70)$ 内的学生人数为150

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ ，该椭圆上一点到直线 $x - y = 0$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、已知直线 $x + y + a = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ O A B$ 为正三角形，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{6}$ 或 $\sqrt{6}$

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13、连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{36}$ B、A与C相互独立 C、A与C对立 D、B与C互斥

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14、如图，空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在 $\vec{O A}$ 上，且满足 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ，点N为BC的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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15、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1$ 过点 $(\sqrt{3}, 1)$ ，则该椭圆的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{6}$

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16、我们知道，若 $a, b \in (0, + \infty)$ ，则有不等式 ${(\frac{a + b + c}{3})}^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$ 成立（当且仅当 $a = b = c$ 时等号成立）．从 ${(\frac{a + b + c}{3})}^{2} - \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a}{9} \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$ $= \frac{- 2 a^{2} - 2 b^{2} - 2 c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a}{9} = \frac{{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}}{9} \leq 0$ 可以得到．即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题：

(1)、求代数式 $2 \sqrt{2 + t} + \sqrt{3 - 2 t}$ 的最大值；

(2)、已知 $x > 0, y > 0, z > 0$ ，若不等式 $m (\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}) \leq \sqrt{x + y + z}$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、若a，b， $c \in (0, + \infty)$ ，证明： ${(\frac{a + b + c}{3})}^{4} \leq \frac{a^{4} + b^{4} + c^{4}}{3}$ ．

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17、已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (2 + x) - \log_{\frac{1}{3}} (2 - x)$ ， $g (x) = 2 x^{2} - m x + 3$ ．

(1)、求方程 $f (x) = 0$ 的解；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性与单调性；

(3)、对 $\forall x_{1} \in [- 1, 1]$ ， $\exists x_{2} \in [- 1, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数m的取值范围．

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18、已知函数 $f (x) = 4^{x} - (m + 1) \cdot 2^{x} - 1$ ．

(1)、若 $m = 0$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上的值域；

(2)、若 $m = - 1$ ，设 $g (x) = \frac{f (x)}{2^{x}}$ ，若对任意实数 $x$ ，不等式 $g (x - 1) + g (x^{2} + t) > 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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19、已知 $m \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 6 m - 8, x \geq 1 \\ - x^{2} + m x + m^{2}, x < 1 \end{array}$ ，若对于任意实数a，方程 $f (x) = a$ 有且只有一个实数根，且 $f (2) < 8$ ，函数 $y = |f (x)|$ 的图象与函数 $y = m x + t$ 的图象有三个不同的交点，则t的取值范围为．

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20、已知角 $α$ 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点 $A (m, \frac{1}{3})$ ，则 $\cos 2 α =$ ．

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