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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P (1, \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，且 $P F$ 垂直于 $x$ 轴．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 斜率存在，交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点， $A, B, F$ 三点不共线，且直线 $A F$ 和直线 $B F$ 关于 $P F$ 对称．
（ⅰ）证明：直线 $l$ 过定点；
（ⅱ）求 $△ A B F$ 面积的最大值．

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2、如图所示，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A = S C = \frac{A B}{2} = 2$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $S B = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证：平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $\vec{D S} = \frac{1}{5} \vec{B S}$ ，求直线 $C D$ 与平面 $S A B$ 所成角的正弦值．

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $(a + \frac{1}{2} c) s i n A + (c + \frac{1}{2} a) s i n C = b s i n B$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $b = 7 ， △ A B C$ 的周长为15，求 $B D$ 的长．

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4、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 2, a_{5} + a_{9} = 5 a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1, a_{n} b_{n} = a_{n + 2} b_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，求 ${b_{n}}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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5、若函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1) - b x + b$ 有两个零点，则正整数 $b$ 的最小值为．（其中 $e$ 是自然对数的底数，参考数据： $e^{\frac{1}{2}} \approx 1.65$ ， $e^{\frac{3}{2}} \approx 4.49$ ）

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6、甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，每天有且仅有一人值班，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出不同的值班表数为．

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7、已知点 $A (5, 3)$ ，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, P$ 为抛物线上的点，则 $△ A P F$ 周长的最小值为．

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8、已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1} = 1$ ，且 $9 a_{n} a_{n + 1} = a_{n} - 4 a_{n + 1}$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 、数列 ${4^{n} a_{n} a_{n + 1}} 、$ 数列 ${\frac{n a_{n}}{1 + 3 a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} 、 R_{n} 、 T_{n}$ ，则（）

A、 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < \frac{1}{5}$ B、 $S_{n} < \frac{4^{n + 1}}{3} - 4$ C、 $R_{n} < \frac{1}{3}$ D、 $T_{n} < \frac{4}{9} - \frac{n + 1}{4^{n + 1}}$

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $B_{1} C_{1}, B B_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $A, B, E, D_{1}$ 四点共面 B、 $D F ⊥ B E$ C、直线 $A F$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{5}$ D、点 $E$ 到直线 $D_{1} F$ 的距离为1

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10、已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图像的一条对称轴 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, 0]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, 0]$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, O$ 为坐标原点， $P$ 为 $C$ 左支上一点， $P F_{2}$ 与 $C$ 的右支交于点 $Q, Q F_{1}$ 中点为 $M$ ，若 $P M ⊥ Q F_{1}, M O ⊥ Q O$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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12、若斜率为1的直线 $l$ 与曲线 $y = l n (x + a)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 都相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、0或2 B、0或 $- 1$ C、2 D、 $- 1$

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13、 “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知 $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米 $38 k g$ ，则该“方斗”可盛米的总质量为（）

A、 $152 k g$ B、 $133 k g$ C、 $114 k g$ D、 $112 k g$

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14、在 $(3 x - 1) {(x + 1)}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、20 B、25 C、30 D、35

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15、若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} （ n \geq 3$ 且 $n \in N^{*} ）$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、3 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、若角 $α$ 的终边经过点 $(1, - 1)$ ，则 $\frac{s i n α + 3 c o s α}{6 c o s α - 2 s i n α}$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、1 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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17、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 3 + 5 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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18、已知实数 $t < 0$ ，函数 $f (x) = \frac{b - 3^{x}}{3^{x + 1} + t}$ 是定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 的奇函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若对于 $\forall x_{1}^{}$ ， $x_{2} \in [1,4]$ ，使得 $f (x_{1}) + \frac{11}{3} \geq a^{x_{2} - 2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量 $Q ($ 万件 $)$ 与广告费 $x ($ 万元 $)$ 之间的关系式为 $Q = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x \geq 0) .$ 已知生产此产品的年固定投入为 $3$ 万元，每生产 $1$ 万件此产品仍需再投入 $32$ 万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的 $150 %$ ”与“年平均每件所占广告费的 $50 %$ ”之和．

(1)、试写出年利润 $W ($ 万元 $)$ 与年广告费 $x ($ 万元 $)$ 的关系式；

(2)、当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？

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20、已知 $f (x) = \frac{s i n (3 π - x) s i n (x - π) c o s (π + x)}{c o s (π - x) c o s (\frac{π}{2} + x) s i n (x - \frac{3 π}{2})}$ ．

(1)、化简函数 $f (x)$ ，并求 $f (\frac{5 π}{3})$ 的值；

(2)、若 $f (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $f (α) = \frac{1}{3}$ ，求 $f (2 α - β)$ 的值．

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