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相关试卷

1、抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点（点 $M$ 在 $y$ 轴的左侧），若 $2 \vec{M F} = \vec{F N}$ ，则 $M N$ 的斜率为.

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2、若双曲线 $x^{2} - 2 y^{2} = 1$ 的弦被点 $(3, 1)$ 平分，则此弦所在直线的方程为.

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3、在空间四边形 $O A B C$ 中，已知空间内一点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{5} \vec{O B} + λ \vec{O C} (λ \in R)$ ，若 $\vec{P A}$ ， $\vec{P B}$ ， $\vec{P C}$ 共面，则 $λ =$ .

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4、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : k x - y + 4 - 4 k = 0$ 恒过定点 $M$ ，则下列结论正确的是（）

A、若直线 $l$ 与圆 $O$ 相切，则 $k = \frac{1}{3}$ 或 $k = 3$ B、若直线 $M A$ ， $M B$ 为圆 $O$ 的两条切线，且 $A$ ， $B$ 为切点，则直线 $A B$ 的方程为 $x + y = 1$ C、若直线 $l$ 与圆 $O$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最小值为 $- 4$ D、若直线 $l$ 与圆 $O$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，则当 $S_{△ O P Q}$ 取最大值时， $k = \frac{8 \pm \sqrt{15}}{7}$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \{\begin{cases} 4 n - 2, n 为奇数 \\ {(- 3)}^{n}, n 为偶数 \end{cases}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{6} = 729$ B、 $a_{4} > a_{5}$ C、 $S_{6} < S_{5}$ D、若 $b_{n} = a_{2 n}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前100项和为 $- \frac{9}{8} + \frac{9^{101}}{8}$

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6、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 2, 1)$ ， $\vec{b} = (3, - 2, 1)$ ， $\vec{c} = (- 6, 4, - 2)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{6}$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 28$ D、 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 能构成空间的一个基底

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7、已知公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ， $S_{12} = 3 (a_{1} + a_{4} + a_{6} + a_{k})$ ，且 $S_{n} \leq S_{k}$ ，则 $d$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{2}{15} \leq d \leq \frac{1}{14}$ B、 $- \frac{1}{7} \leq d \leq - \frac{1}{15}$ C、 $- \frac{1}{7} \leq d \leq - \frac{2}{15}$ D、 $- \frac{2}{15} \leq d \leq - \frac{1}{8}$

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8、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上， $∠ F_{1} P F_{2} = 30 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， $E$ 为线段 $B C_{1}$ 上一点，且 $B E = \frac{1}{3} B C_{1}$ ，则 $\vec{D_{1} E} =$ （）

A、 $\vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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10、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 2$ ， $S_{6} = 8$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9} =$ （）

A、40 B、32 C、24 D、18

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11、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, 2, 2)$ ， $A (1, 0, - 1)$ 是平面 $α$ 内一点， $P (3, 1, - 2)$ 是平面 $α$ 外一点，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、2 C、 $\frac{2}{3}$ D、3

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12、点 $P$ 在抛物线 $x^{2} = 8 y$ 上，若点 $P$ 到点 $(0, 2)$ 的距离为5，则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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13、已知空间中三点 $A (1, 0, 2)$ ， $B (2, 3, 1)$ ， $C (3, 4, 2)$ ，则 $\vec{B C} - 3 \vec{A C} =$ （）

A、 $(1, 3, - 1)$ B、 $(- 1, - 3, 1)$ C、 $(5, 11, - 1)$ D、 $(- 5, - 11, 1)$

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，已知 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{3} + a_{6} = a_{10}$ ，则 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、 $\frac{1}{2}$

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15、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6}) cos φ + cos (2 x + \frac{π}{6}) sin φ (0 < φ < π)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称．

(1)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的最值及取最值时的 $x$ 的值；

(2)、若 $0 < α < π$ ，且 $f (\frac{α}{2}) = \frac{1}{4}$ ，求 $cos (α + φ)$ ．

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16、某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 $n (n \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 n^{2} - 2 n)$ 万元，每年的销售收入98万元．

(1)、估计该设备从第几年开始实现总盈利；

(2)、使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．
哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额 $= \frac{总盈利额}{年度}$ ）

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17、已知 $\frac{π}{4} \leq α \leq \frac{π}{2}, π \leq β \leq \frac{3 π}{2}, sin 2 α = \frac{4}{5}, cos (α + β) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ .

(1)、求 $cos 2 α$ ；

(2)、求 $β - α$ .

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18、科学家研究发现，地震时释放出的能量 $E$ （单位：焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系为 $\lg E = 4.8 + 1.5 M$ ，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的倍.

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19、已知 $\tan α = 2$ ， $\tan (α + β) = - 2$ ，则 $\tan (α - β) =$ .

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20、已知函数 $f (x) = sin 2 ω x cos φ + cos 2 ω x sin φ (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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